Data Science for Portfolio Optimization: Markowitz Mean-Variance Theory

Ένα επενδυτικό χαρτοφυλάκιο είναι μια συλλογή χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων, όπως μετοχές, ομόλογα ή κρυπτονομίσματα, στα οποία επενδύει ένα άτομο. Μια επένδυση προσδιορίζεται κυρίως από τον κίνδυνο (πόσο ασταθής είναι η αξία) και την απόδοση της (ποιο είναι το αναμενόμενο κέρδος). Οι επενδυτές στοχεύουν στη δημιουργία ενός χαρτοφυλακίου που ελαχιστοποιεί τον κίνδυνο μεγιστοποιώντας παράλληλα την απόδοση.

Δεδομένου ότι οι επενδύσεις αφορούν την κατανόηση των αριθμών, οι ειδικοί έμποροι χρησιμοποιούν τεχνικές και μοντέλα επιστήμης δεδομένων για να βελτιστοποιήσουν την επενδυτική τους στρατηγική. Ένα τέτοιο μοντέλο είναι η σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου (MPT), γνωστή και ως Θεωρία Μέσης Διακύμανσης Markowitz. Το μοντέλο παρέχει το βέλτιστο επενδυτικό χαρτοφυλάκιο χρησιμοποιώντας αξιολόγηση κινδύνου και μεγιστοποιεί την απόδοση για τον επενδυτή.

Ας κατανοήσουμε τον ρόλο της επιστήμης δεδομένων στην πραγματοποίηση αποδοτικών επενδύσεων, ας δούμε λεπτομερώς τη σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου και ας συζητήσουμε τις υποθέσεις και τους κινδύνους που σχετίζονται με τα μοντέλα επιστήμης δεδομένων.

Περισσότερα για τη θεωρία μέσης διακύμανσης Markowitz

Η Θεωρία Μέσης Διακύμανσης Markowitz δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά από τον Harry Markowitz το 1952. Η θεωρία παρουσιάζει ένα μοντέλο που βασίζεται σε δεδομένα που αναλύει τις οικονομικές τάσεις για την εκτίμηση του κινδύνου και της απόδοσης. Κατά κανόνα, οι επενδύσεις κατηγοριοποιούνται σε χαμηλού κινδύνου, χαμηλής απόδοσης και υψηλού κινδύνου, υψηλής απόδοσης. Με απλούστερους όρους, καθιερώνει ότι οι επενδύσεις με υψηλότερο παράγοντα κινδύνου έχουν υψηλότερη ανταμοιβή και αντίστροφα.

Το MPT παρέχει μια βέλτιστη επιλογή επενδύσεων που εξισορροπεί τον κίνδυνο για ανταμοιβή. Η τελική επιλογή των επενδύσεων και το μερίδιό τους στο χαρτοφυλάκιο αντιπροσωπεύει την ιδανική επενδυτική στρατηγική με βάση τις τάσεις των δεδομένων.

Η επιστήμη πίσω από τη σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου

Ας καταλάβουμε τα μαθηματικά πίσω από το MPT. Ωστόσο, πρώτα, πρέπει να κατανοήσουμε μερικούς βασικούς όρους που καθιστούν δυνατό το μαθηματικό μοντέλο.

• Αναμενόμενη απόδοση: Αυτό είναι το ποσοστό απόδοσης που αναμένεται από μια επένδυση. Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας στατιστική ανάλυση των ιστορικών τάσεων.

• Τυπική απόκλιση: Αυτό ποσοτικοποιεί τη μεταβλητότητα ενός συγκεκριμένου χρηματοοικονομικού περιουσιακού στοιχείου. Είναι το μέτρο του κινδύνου που σχετίζεται με μια επένδυση, δηλαδή, ένα περιουσιακό στοιχείο υψηλής διακύμανσης φέρει υψηλό κίνδυνο και υψηλή ανταμοιβή. Εκτιμάται επίσης χρησιμοποιώντας στατιστική ανάλυση των τάσεων των δεδομένων.

• Συνδιακύμανση: Εκτιμά τη σχέση μεταξύ των διαφορετικών περιουσιακών στοιχείων. Η συνδιακύμανση βοηθά στη βελτιστοποίηση της κατανομής του χαρτοφυλακίου αλλάζοντας τους συντελεστές στάθμισης του ενεργητικού ανάλογα με τις συνδιακυμάνσεις.

Δεδομένων τριών μετοχών, Α, Β και Γ, ας δημιουργήσουμε ένα χαρτοφυλάκιο. Ένας επενδυτής στοχεύει να καταλάβει πόσα κεφάλαια θα διαθέσει σε κάθε μετοχή. Για τις δεδομένες μετοχές, ας υποθέσουμε ότι κάθε μετοχή έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά.

Εάν το συνολικό ποσό της επένδυσης είναι $1000, $200 είναι για το απόθεμα A, $300 για το B και $500 για το C. Δεδομένης της διανομής, η μέση απόδοση χαρτοφυλακίου φαίνεται να είναι.

Τα ποσοστά κατανομής θεωρούνται επίσης τα βάρη του προφίλ καθώς καθορίζουν πόση επένδυση πηγαίνει σε ποιο περιουσιακό στοιχείο.

Ο δεύτερος σημαντικός παράγοντας που πρέπει να ληφθεί υπόψη εδώ είναι η διακύμανση ή ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου. Ο κίνδυνος χαρτοφυλακίου είναι πιο δύσκολο να υπολογιστεί καθώς λαμβάνει υπόψη τη συνδιακύμανση των διαφορετικών περιουσιακών στοιχείων. Ένα βέλτιστο χαρτοφυλάκιο σύμφωνα με το μοντέλο Markowitz περιλαμβάνει περιουσιακά στοιχεία με αρνητική συσχέτιση. Εάν ένα συγκεκριμένο περιουσιακό στοιχείο υποχωρήσει, ένα άλλο θα αυξηθεί και θα αντιμετωπίσει τη ζημία του, μειώνοντας τον κίνδυνο του συνολικού χαρτοφυλακίου.

Ο τύπος για μια διακύμανση χαρτοφυλακίου γίνεται

Η συνδιακύμανση πρέπει να υπολογιστεί για κάθε ζεύγος περιουσιακών στοιχείων στο χαρτοφυλάκιο. Ας υποθέσουμε ότι τα περιουσιακά μας στοιχεία έχουν τον ακόλουθο πίνακα συσχέτισης.

Λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές συσχέτισης και την παραπάνω τυπική απόκλιση, μπορούμε να υπολογίσουμε τις συνδιακυμάνσεις χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Ο πίνακας συνδιακύμανσης γίνεται

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω υπολογισμένες τιμές, γίνεται η συνδιακύμανση του χαρτοφυλακίου μας

Αποτελεσματικό Σύνορο

Το παραπάνω παράδειγμα δείχνει μια πιθανότητα για ένα επενδυτικό χαρτοφυλάκιο. Η θεωρία του Markowitz δημιουργεί πολλαπλούς συνδυασμούς τέτοιων χαρτοφυλακίων χρησιμοποιώντας διαφορετικές τιμές κατανομής (βαρών). Τα διαφορετικά χαρτοφυλάκια εμφανίζουν διάφορα επίπεδα αποδόσεων για μια δεδομένη τιμή κινδύνου (διακύμανση). Αυτά τα διαφορετικά χαρτοφυλάκια απεικονίζονται σε ένα γράφημα που ονομάζεται Efficient Frontier.

Η καμπύλη αντιπροσωπεύει μια αντιστάθμιση κινδύνου-ανταμοιβής όπου οι επενδυτές ενδιαφέρονται για οτιδήποτε είναι πάνω από τη γραμμή. Ένας άλλος ενδιαφέρον παράγοντας αυτού του γραφήματος είναι η γραμμή Κατανομής Κεφαλαίου (CAL) που εκτείνεται από το σημείο χωρίς κίνδυνο (Μηδέν Τυπική Απόκλιση) και σχηματίζει μια εφαπτομένη σε όλη την καμπύλη. Το σημείο εφαπτομένης έχει την υψηλότερη αναλογία ανταμοιβής προς κίνδυνο και είναι το καλύτερο δυνατό χαρτοφυλάκιο για επένδυση.

Βασικά Takeaways

Ένα επενδυτικό χαρτοφυλάκιο περιλαμβάνει διάφορα περιουσιακά στοιχεία όπως μετοχές και ομόλογα. Κάθε επενδυτής ξεκινά με ένα σταθερό επενδυτικό κεφάλαιο και αποφασίζει πόσα θα επενδύσει σε κάθε περιουσιακό στοιχείο. Οι τεχνικές επιστήμης δεδομένων, όπως η θεωρία μέσης διακύμανσης Markowitz, βοηθούν στον προσδιορισμό της βέλτιστης κατανομής μεριδίων για τη δημιουργία του βέλτιστου χαρτοφυλακίου.

Η θεωρία διατυπώνει ένα μαθηματικό μοντέλο για να βελτιστοποιήσει τις κατανομές περιουσιακών στοιχείων για να κερδίσει τη μέγιστη απόδοση για ένα δεδομένο επίπεδο κινδύνου. Αναλύει διαφορετικά χρηματοοικονομικά περιουσιακά στοιχεία και λαμβάνει υπόψη το ποσοστό απόδοσης και τους παράγοντες κινδύνου, δεδομένων των ιστορικών τάσεων τους. Το ποσοστό απόδοσης είναι μια προσέγγιση του πόσο κέρδος θα δημιουργήσει το περιουσιακό στοιχείο σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Ο παράγοντας κινδύνου ποσοτικοποιείται χρησιμοποιώντας την τυπική απόκλιση της αξίας του ενεργητικού. Μια υψηλότερη απόκλιση αντιπροσωπεύει ένα ευμετάβλητο περιουσιακό στοιχείο και, ως εκ τούτου, υψηλότερο κίνδυνο.

Οι αξίες απόδοσης και κινδύνου υπολογίζονται για διάφορους συνδυασμούς χαρτοφυλακίου και αντιπροσωπεύονται στην αποδοτική συνοριακή καμπύλη. Η καμπύλη βοηθά τους επενδυτές να καθορίσουν τις υψηλότερες αποδόσεις έναντι του επιλεγμένου κινδύνου τους.