Portfolio Optimization සඳහා දත්ත විද්‍යාව: Markowitz Mean-Variance Theory

ආයෝජන කළඹක් යනු පුද්ගලයෙකු ආයෝජනය කරන කොටස්, බැඳුම්කර හෝ ගුප්තකේතන මුදල් වැනි මූල්‍ය වත්කම්වල එකතුවකි. ආයෝජනයක් බොහෝ දුරට හඳුනාගනු ලබන්නේ එහි අවදානම (වටිනාකම කෙතරම් වාෂ්පශීලීද යන්න) සහ එහි ප්‍රතිලාභය (අපේක්‍ෂිත ලාභය කොපමණද යන්න) මගිනි. ආයෝජකයින් ඉලක්ක කරන්නේ ප්‍රතිලාභ උපරිම කරන අතරම අවදානම අවම කරන කළඹක් ගොඩනැගීමයි.

ආයෝජන යනු සංඛ්‍යා අවබෝධ කර ගැනීම බැවින්, විශේෂඥ වෙළෙන්දෝ ඔවුන්ගේ ආයෝජන උපාය මාර්ග ප්‍රශස්ත කිරීම සඳහා දත්ත විද්‍යා ශිල්පීය ක්‍රම සහ ආකෘති භාවිතා කරති. එවැනි එක් ආකෘතියක් වන්නේ මාර්කොවිට්ස් මධ්‍යන්‍ය-විචල්‍ය න්‍යාය ලෙසින් ද හඳුන්වනු ලබන නවීන පෝට්ෆෝලියෝ න්‍යාය (එම්පීටී) ය. මෙම ආකෘතිය අවදානම් තක්සේරුව භාවිතා කරමින් ප්‍රශස්ත ආයෝජන කළඹක් සපයන අතර ආයෝජකයාට ප්‍රතිලාභය උපරිම කරයි.

කාර්යක්ෂම ආයෝජන සිදු කිරීමේදී දත්ත විද්‍යාවේ කාර්යභාරය අවබෝධ කර ගනිමු, නවීන කළඹ න්‍යාය සවිස්තරාත්මකව බලමු, දත්ත විද්‍යා ආකෘති හා සම්බන්ධ උපකල්පන සහ අවදානම් සාකච්ඡා කරමු.

Markowitz මධ්යන්ය-විචල්යතා න්යාය පිළිබඳ වැඩි විස්තර

Markowitz Mean-Variance Theory ප්‍රථම වරට Harry Markowitz විසින් 1952 දී ප්‍රකාශයට පත් කරන ලදී. මෙම සිද්ධාන්තය අවදානම් සහ ප්‍රතිලාභ තක්සේරු කිරීම සඳහා මූල්‍ය ප්‍රවණතා විශ්ලේෂණය කරන දත්ත පදනම් වූ ආකෘතියක් ඉදිරිපත් කරයි. රීතියක් ලෙස, ආයෝජන අඩු අවදානම්, අඩු ප්‍රතිලාභ සහ ඉහළ අවදානම්, ඉහළ ප්‍රතිලාභ ලෙස වර්ගීකරණය කර ඇත. සරලව කිවහොත්, ඉහළ අවදානම් සාධකයක් සහිත ආයෝජන ඉහළ ත්‍යාගයක් සහ අනෙක් අතට ගෙන යන බව එය තහවුරු කරයි.

MPT විසින් ප්‍රතිලාභ සඳහා අවදානම සමතුලිත කරන ආයෝජනවල ප්‍රශස්ත තේරීමක් සපයයි. ආයෝජනවල අවසාන තේරීම සහ කළඹ තුළ ඒවායේ කොටස දත්ත ප්‍රවණතා මත පදනම් වූ කදිම ආයෝජන උපාය මාර්ගයක් නියෝජනය කරයි.

නවීන පෝට්ෆෝලියෝ න්‍යාය පිටුපස ඇති විද්‍යාව

MPT පිටුපස ඇති ගණිතය තේරුම් ගනිමු. කෙසේ වෙතත්, පළමුව, අපි ගණිතමය ආකෘතිය හැකි වන මූලික පද කිහිපයක් තේරුම් ගත යුතුය.

• අපේක්ෂිත ප්‍රතිලාභය: මෙය ආයෝජනයකින් බලාපොරොත්තු වන ප්‍රතිශත ප්‍රතිලාභයයි. එය ඓතිහාසික ප්‍රවණතා පිළිබඳ සංඛ්‍යානමය විශ්ලේෂණයක් භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක.

• සම්මත අපගමනය: මෙය විශේෂිත මූල්ය වත්කමක අස්ථාවරත්වය ගණනය කරයි. එය ආයෝජනයක් හා සම්බන්ධ අවදානම් මිනුමකි, එනම් ඉහළ විචල්‍ය වත්කමක් ඉහළ අවදානමක් සහ ඉහළ විපාකයක් දරයි. දත්ත ප්‍රවණතා පිළිබඳ සංඛ්‍යානමය විශ්ලේෂණයක් භාවිතයෙන් ද එය ඇස්තමේන්තු කර ඇත.

• Covariance: මෙය විවිධ වත්කම් අතර සම්බන්ධය ඇස්තමේන්තු කරයි. Covariance, covariances මත පදනම්ව වත්කම් බර වෙනස් කිරීම මගින් portfolio බෙදාහැරීම ප්‍රශස්ත කිරීමට උපකාරී වේ.

A, B සහ C යන කොටස් තුනක් ලබා දී, අපි කළඹක් ගොඩනඟමු. ආයෝජකයෙකු අරමුණු කරන්නේ කොටස් දෙකකින් කොපමණ අරමුදල් වෙන් කළ යුතුද යන්න සොයා බැලීමයි. ලබා දී ඇති කොටස් සඳහා, එක් එක් කොටස් පහත සඳහන් ලක්ෂණ ඇති බව උපකල්පනය කරමු.

මුළු ආයෝජන මුදල $1000 නම්, $200 Stock A සඳහා, $300 B සඳහා සහ $500 C සඳහා වේ. බෙදාහැරීම අනුව, මධ්‍යන්‍ය කළඹ ප්‍රතිලාභය ලැබේ.

ප්‍රතිපාදන ප්‍රතිශත පැතිකඩෙහි බර ලෙස සලකනු ලබන්නේ කුමන වත්කමට කොපමණ ආයෝජනය කරන්නේද යන්න තීරණය කරන බැවිනි.

මෙහිදී සලකා බැලිය යුතු දෙවන වැදගත් සාධකය වන්නේ කළඹෙහි විචලනය හෝ අවදානමයි. විවිධ වත්කම්වල සහජීවනය සලකන බැවින් Portfolio අවදානම ගණනය කිරීම උපක්‍රමශීලී වේ. Markowitz ආකෘතිය යටතේ ප්‍රශස්ත කළඹකට ඍණ සහසම්බන්ධයක් සහිත වත්කම් ඇතුළත් වේ. යම් වත්කමක් පහත වැටේ නම්, තවත් එකක් ඉහළ ගොස් එහි අලාභයට ප්‍රතිරෝධය දක්වයි, සමස්ත කළඹේ අවදානම අඩු කරයි.

කළඹ විචලනය සඳහා සූත්‍රය බවට පත් වේ

කළඹ තුළ ඇති එක් එක් වත්කම් යුගල සඳහා සහජීවනය ගණනය කළ යුතුය. අපගේ වත්කම්වලට පහත සහසම්බන්ධතා අනුකෘතිය ඇතැයි උපකල්පනය කරමු.

සහසම්බන්ධතා අගයන් සහ ඉහත සම්මත අපගමනය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට පහත සූත්‍රය භාවිතයෙන් කෝවිචල්‍ය ගණනය කළ හැක:

covariance matrix බවට පත් වේ

ඉහත ගණනය කළ අගයන් භාවිතයෙන්, අපගේ කළඹ සම-විචලනය බවට පත් වේ

කාර්යක්ෂම මායිම්

ඉහත උදාහරණය ආයෝජන කළඹක් සඳහා එක් හැකියාවක් පෙන්වයි. Markowitz ගේ න්‍යාය විවිධ විසර්ජන (බර) අගයන් භාවිතා කරමින් එවැනි කළඹවල බහු සංයෝජන නිර්මාණය කරයි. ලබා දී ඇති අවදානම් අගයක් (විචලනය) සඳහා විවිධ කළඹ විවිධ මට්ටමේ ප්‍රතිලාභ පෙන්වයි. මෙම විවිධ කළඹ කාර්යක්ෂම මායිම් ලෙස හැඳින්වෙන ප්‍රස්ථාරයක දෘශ්‍යමාන වේ.

වක්‍රය නියෝජනය කරන්නේ ආයෝජකයින් රේඛාවට ඉහළින් ඇති සියල්ල ගැන උනන්දුවක් දක්වන අවදානම්-ප්‍රතිලාභ වෙළඳාමකි. මෙම ප්‍රස්ථාරයේ තවත් සිත්ගන්නා කරුණක් වන්නේ අවදානම්-නිදහස් ලක්ෂ්‍යයේ (ශුන්‍ය සම්මත-අපගමනය) සිට දිවෙන සහ වක්‍රය හරහා ස්පර්ශකයක් සාදන ප්‍රාග්ධන වෙන් කිරීමේ රේඛාව (CAL) වේ. ස්පර්ශක ලක්ෂ්‍යයට ඉහළම ත්‍යාග-අවදානම අනුපාතය ඇති අතර ආයෝජනය සඳහා හැකි හොඳම කළඹ වේ.

ප්රධාන රැගෙන යාම

ආයෝජන කළඹක් කොටස් සහ බැඳුම්කර වැනි විවිධ වත්කම් වලින් සමන්විත වේ. සෑම ආයෝජකයෙක්ම ස්ථාවර ආයෝජන ප්‍රාග්ධනයකින් ආරම්භ කරන අතර එක් එක් වත්කම් සඳහා කොපමණ මුදලක් ආයෝජනය කළ යුතුද යන්න තීරණය කරයි. Markowitz මධ්‍යන්‍ය-විචල්‍යතා න්‍යාය වැනි දත්ත විද්‍යා ශිල්පීය ක්‍රම ප්‍රශස්ත කළඹක් ගොඩනැගීම සඳහා ප්‍රශස්ත කොටස් වෙන් කිරීම තීරණය කිරීමට උපකාරී වේ.

දී ඇති අවදානම් මට්ටමක් සඳහා උපරිම ප්‍රතිලාභ ලබා ගැනීම සඳහා වත්කම් වෙන් කිරීම් ප්‍රශස්ත කිරීම සඳහා න්‍යාය ගණිතමය ආකෘතියක් සකස් කරයි. එය විවිධ මූල්‍ය වත්කම් විශ්ලේෂණය කරන අතර ඒවායේ ඓතිහාසික ප්‍රවණතා අනුව ඒවායේ ප්‍රතිලාභ අනුපාතය සහ අවදානම් සාධක සලකා බලයි. ප්‍රතිලාභ අනුපාතය යනු යම් කාල සීමාවක් තුළ වත්කම උපයා ගන්නා ලාභයේ ආසන්න අගයකි. වත්කම් අගයේ සම්මත අපගමනය භාවිතයෙන් අවදානම් සාධකය ප්‍රමාණනය කෙරේ. ඉහළ අපගමනය වාෂ්පශීලී වත්කමක් සහ එබැවින් ඉහළ අවදානමක් නියෝජනය කරයි.

ප්‍රතිලාභ සහ අවදානම් අගයන් විවිධ කළඹ සංයෝජන සඳහා ගණනය කරනු ලබන අතර ඒවා කාර්යක්ෂම මායිම් වක්‍රය මත නිරූපණය කෙරේ. වක්‍රය ආයෝජකයින්ට ඔවුන්ගේ තෝරාගත් අවදානමට එරෙහිව ඉහළම ප්‍රතිලාභ තීරණය කිරීමට උපකාරී වේ.