מדע נתונים עבור אופטימיזציה של תיקים: תיאוריית השונות הממוצעת של מרקוביץ

תיק השקעות הוא אוסף של נכסים פיננסיים, כגון מניות, אגרות חוב או מטבעות קריפטוגרפיים, שבהם אדם משקיע. השקעה מזוהה בעיקר לפי הסיכון שלה (עד כמה הערך תנודתי) והתשואה שלה (מהו הרווח הצפוי). משקיעים שואפים לבנות תיק שימזער סיכון תוך מיקסום התשואה.

מכיוון שהשקעות עוסקות בהבנת המספרים, סוחרים מומחים משתמשים בטכניקות ובמודלים של מדעי הנתונים כדי לייעל את אסטרטגיית ההשקעה שלהם. מודל אחד כזה הוא תיאוריית הפורטפוליו המודרנית (MPT), הידועה גם בתור תיאוריית השונות הממוצעת של מרקוביץ. המודל מספק את תיק ההשקעות האופטימלי באמצעות הערכת סיכונים וממקסם תשואה למשקיע.

בואו נבין את תפקידו של מדעי הנתונים בביצוע השקעות יעילות, נסתכל על תיאוריית תיקי ההשקעות המודרנית בפירוט, ונדון בהנחות ובסיכונים הקשורים למודלים של מדעי הנתונים.

עוד על תיאוריית השונות הממוצעת של מרקוביץ

The Markowitz Mean-variance Theory פורסמה לראשונה על ידי הארי מרקוביץ בשנת 1952. התיאוריה מציגה מודל מבוסס נתונים המנתח מגמות פיננסיות כדי להעריך סיכון ותשואה. ככלל אצבע, השקעות מסווגות כבעלי סיכון נמוך, תשואה נמוכה וסיכון גבוה, תשואה גבוהה. במילים פשוטות יותר, הוא קובע שהשקעות עם גורם סיכון גבוה יותר נושאות תגמול גבוה יותר ולהיפך.

MPT מספק מבחר אופטימלי של השקעות שמאזן את הסיכון לתגמול. הבחירה הסופית של ההשקעות וחלקן בתיק מייצגת את אסטרטגיית ההשקעה האידיאלית המבוססת על מגמות הנתונים.

המדע שמאחורי תורת הפורטפוליו המודרנית

בואו נבין את המתמטיקה מאחורי MPT. עם זאת, ראשית, עלינו להבין כמה מונחי מפתח המאפשרים את המודל המתמטי.

• תשואה צפויה: זהו אחוז התשואה הצפוי מהשקעה. ניתן לחשב אותו באמצעות ניתוח סטטיסטי של מגמות היסטוריות.

• סטיית תקן: זו מכמתת את התנודתיות של נכס פיננסי מסוים. זהו מדד הסיכון הקשור להשקעה, כלומר, נכס בעל שונות גבוהה נושא סיכון גבוה ותגמול גבוה. היא נאמדת גם באמצעות ניתוח סטטיסטי של מגמות הנתונים.

• שיתוף פעולה: זה מעריך את הקשר בין הנכסים השונים. שונות משותפת עוזרת לייעל את התפלגות התיק על ידי שינוי משקלי הנכס בהתאם לשונות.

בהינתן שלוש מניות, A, B ו-C, בואו נבנה תיק. משקיע שואף להבין כמה כספים להקצות לשתי המניות. עבור המניות הנתונות, נניח שכל מניה מכילה את התכונות הבאות.

אם סכום ההשקעה הכולל הוא $1000, $200 הם עבור מניה A, $300 עבור B ו-$500 עבור C. בהתחשב בהתפלגות, התשואה הממוצעת של התיק מתקבלת.

אחוזי ההקצאה נחשבים גם למשקלים של הפרופיל שכן הם קובעים כמה השקעה נכנסת לאיזה נכס.

הגורם החשוב השני שיש לקחת בחשבון כאן הוא השונות או הסיכון של התיק. קשה יותר לחשב את סיכון התיק מכיוון שהוא לוקח בחשבון את השונות של הנכסים השונים. תיק אופטימלי לפי מודל מרקוביץ כולל נכסים בעלי מתאם שלילי. אם נכס מסוים יורד, נכס אחר יעלה ויתנגד להפסד שלו, ויפחית את הסיכון הכולל של התיק.

הנוסחה עבור שונות תיק הופך

יש לחשב את השונות המשותפת עבור כל צמד נכסים בתיק. הבה נניח שלנכסים שלנו יש את מטריצת המתאם הבאה.

בהתחשב בערכי המתאם ובסטיית התקן לעיל, נוכל לחשב את השונות באמצעות הנוסחה הבאה:

מטריצת השונות הופכת

באמצעות הערכים שחושבו לעיל, השונות המשותפת של התיק שלנו הופכת

Frontier יעיל

הדוגמה לעיל מציגה אפשרות אחת לתיק השקעות. התיאוריה של מרקוביץ יוצרת שילובים מרובים של תיקים כאלה תוך שימוש בערכי הקצאה (משקלים) שונים. התיקים השונים מציגים רמות שונות של תשואות עבור ערך סיכון נתון (שונות). תיקים שונים אלה מוצגים בתרשים הנקרא הגבול היעיל.

העקומה מייצגת החלפת סיכון-תגמול שבו המשקיעים מעוניינים בכל מה שמעל לקו. גורם מעניין נוסף בתרשים זה הוא קו הקצאת ההון (CAL) העובר מנקודת הסיכון (אפס סטיית תקן) ויוצר משיק על פני העקומה. לנקודת המשיק יש את יחס התגמול לסיכון הגבוה ביותר והיא התיק הטוב ביותר להשקעה.

טייק אווי מפתח

תיק השקעות כולל נכסים שונים כגון מניות ואיגרות חוב. כל משקיע מתחיל בהון השקעה קבוע ומחליט כמה להשקיע בכל נכס. טכניקות של מדעי נתונים כגון תיאוריית השונות הממוצעת של מרקוביץ עוזרות לקבוע את הקצאת המניות האופטימלית כדי לבנות את התיק האופטימלי.

התיאוריה מגבשת מודל מתמטי כדי לייעל את הקצאות הנכסים כדי להשיג את התשואה המקסימלית עבור רמת סיכון נתונה. הוא מנתח נכסים פיננסיים שונים ומתחשב בשיעור התשואה ובגורמי הסיכון שלהם, בהתחשב במגמות ההיסטוריות שלהם. שיעור התשואה הוא הערכה של כמה רווח הנכס יפיק במשך פרק זמן נתון. גורם הסיכון מוכמת באמצעות סטיית התקן של שווי הנכס. סטייה גבוהה יותר מייצגת נכס תנודתי ולפיכך סיכון גבוה יותר.

ערכי התשואה והסיכון מחושבים עבור שילובי תיקים שונים ומיוצגים על עקומת הגבול היעילה. העקומה עוזרת למשקיעים לקבוע את התשואות הגבוהות ביותר מול הסיכון שנבחר.