A Teoria Especial da Relatividade

O ABC da Relatividade, de Bertrand Russells, faz parte da série de livros HackerNoon. Você pode pular para qualquer capítulo deste livro aqui . VI. A TEORIA ESPECIAL DA RELATIVIDADE

VI. A TEORIA ESPECIAL DA RELATIVIDADE

A teoria especial da relatividade surgiu como uma forma de explicar os fatos do eletromagnetismo. Temos aqui uma história um tanto curiosa. Nos séculos XVIII e XIX, a teoria da eletricidade foi totalmente dominada pela analogia newtoniana. Duas cargas elétricas se atraem se forem de tipos diferentes, uma positiva e outra negativa, mas se repelem se forem do mesmo tipo; em cada caso, a força varia com o inverso do quadrado da distância, como no caso da gravitação. Esta força foi concebida como uma ação à distância, até que Faraday, por uma série de experimentos notáveis, demonstrou o efeito do meio interveniente. Faraday não era matemático; Clerk Maxwell primeiro deu uma forma matemática aos resultados sugeridos pelos experimentos de Faraday. Além disso Clerk Maxwell deu motivos para pensar que a luz é um fenômeno eletromagnético, [Pg 72] consistindo de ondas eletromagnéticas. O meio para a transmissão dos efeitos eletromagnéticos poderia, portanto, ser considerado o éter, que há muito se supunha para a transmissão da luz. A correção da teoria da luz de Maxwell foi provada pelos experimentos de Hertz na fabricação de ondas eletromagnéticas; esses experimentos forneceram a base para a telegrafia sem fio. Até agora, temos um histórico de progresso triunfante, em que teoria e experimento assumem alternadamente o papel principal. Na época dos experimentos de Hertz, o éter parecia firmemente estabelecido e em uma posição tão forte quanto qualquer outra hipótese científica não passível de verificação direta. Mas um novo conjunto de fatos começou a ser descoberto e gradualmente todo o quadro mudou.

O movimento que culminou com Hertz foi um movimento para tornar tudo contínuo. O éter era contínuo, as ondas nele eram contínuas, e esperava-se que a matéria consistisse em alguma estrutura contínua no éter. Então veio a descoberta do elétron, uma pequena unidade finita de eletricidade negativa, e do próton, uma pequena unidade finita de eletricidade positiva. A visão mais moderna é que a eletricidade nunca é encontrada, exceto na forma de elétrons e prótons; todos os elétrons têm a mesma quantidade de eletricidade negativa e todos os prótons têm uma quantidade exatamente igual e oposta de eletricidade positiva. Parecia que uma corrente elétrica, que tinha sido considerada um fenômeno contínuo, consiste em elétrons viajando em uma direção e íons positivos viajando na outra direção; não é mais estritamente contínuo do que o fluxo de pessoas subindo e descendo uma escada rolante. Então veio a descoberta dos quanta, que parecem mostrar uma descontinuidade fundamental em todos os processos naturais que podem ser medidos com precisão suficiente. Assim, a física teve de digerir novos fatos e enfrentar novos problemas.

Mas os problemas levantados pelo elétron e pelo quantum não são aqueles que a teoria da relatividade pode resolver, pelo menos no momento; por enquanto, não lança nenhuma luz sobre as descontinuidades que existem na natureza. Os problemas resolvidos pela teoria especial da relatividade são tipificados pelo experimento de Michelson-Morley. Assumindo a exatidão da teoria do eletromagnetismo de Maxwell, deveria haver certos efeitos detectáveis do movimento através do éter; na verdade, não havia nenhum. Então [Pg 74] houve o fato observado de que um corpo em movimento muito rápido parece aumentar sua massa; o aumento está na proporção de OP para MP na figura do capítulo anterior . Fatos desse tipo gradualmente se acumularam, até que se tornou imperativo encontrar alguma teoria que explicasse todos eles.

A teoria de Maxwell se reduzia a certas equações, conhecidas como “equações de Maxwell”. Através de todas as revoluções pelas quais a física passou nos últimos cinquenta anos, essas equações permaneceram de pé; na verdade, eles cresceram continuamente em importância, bem como em certeza — pois os argumentos de Maxwell a seu favor eram tão instáveis que a exatidão de seus resultados quase deve ser atribuída à intuição. Essas equações foram, é claro, obtidas de experimentos em laboratórios terrestres, mas havia uma suposição tácita de que o movimento da Terra através do éter poderia ser ignorado. Em certos casos, como o experimento de Michelson-Morley, isso não deveria ter sido possível sem um erro mensurável; mas acabou sendo sempre possível. Os físicos enfrentaram a estranha dificuldade de as equações de Maxwell serem mais precisas do que deveriam. Uma dificuldade muito semelhante foi explicada por Galileu no início da física moderna. A maioria das pessoas pensa que, se você deixar cair um peso, ele cairá verticalmente. Mas se você fizer a experiência na cabine de um navio em movimento, o peso cai, em relação à cabine, como se o navio estivesse parado; por exemplo, se começar no meio do teto, cairá no meio do chão. Ou seja, do ponto de vista de um observador na praia, ele não cai verticalmente, pois compartilha o movimento do navio. Enquanto o movimento do navio é constante, tudo acontece dentro do navio como se o navio não estivesse se movendo. Galileu explicou como isso acontecia, para grande indignação dos discípulos de Aristóteles. Na física ortodoxa, derivada de Galileu, um movimento uniforme em linha reta não tem efeitos detectáveis. Isso foi, em sua época, uma forma de relatividade tão surpreendente quanto a de Einstein é para nós. Einstein, na teoria especial da relatividade, começou a trabalhar para mostrar como os fenômenos eletromagnéticos poderiam não ser afetados pelo movimento uniforme através do éter se houvesse um éter. Este era um problema mais difícil, que não poderia ser resolvido simplesmente aderindo aos princípios de Galileu.

O esforço realmente difícil necessário para resolver este problema foi [Pg 76]em relação ao tempo. Foi necessário introduzir a noção de tempo “próprio” que já consideramos e abandonar a velha crença em um tempo universal. As leis quantitativas dos fenômenos eletromagnéticos são expressas nas equações de Maxwell, e essas equações são verdadeiras para qualquer observador, não importa como ele esteja se movendo. [3] É um problema matemático direto descobrir quais diferenças devem existir entre as medidas aplicadas por um observador e as medidas aplicadas por outro, se, apesar de seu movimento relativo, eles devem encontrar as mesmas equações verificadas . A resposta está contida na “transformação de Lorentz”, encontrada como fórmula por Lorentz, mas interpretada e tornada inteligível por Einstein.

A transformação de Lorentz nos diz qual estimativa de distâncias e períodos de tempo será feita por um observador cujo movimento relativo é conhecido, quando nos são dadas as de outro observador. Podemos supor que você está em um trem em uma ferrovia que viaja para o leste. Você está viajando há um tempo que, pelos relógios da estação de onde você partiu, é t. A uma distância x do seu ponto de partida, medido pelas pessoas na linha, ocorre um evento neste [Pg 77]momento - digamos que a linha é atingida por um raio. Você esteve viajando o tempo todo com uma velocidade uniforme v. A questão é: a que distância você julgará que este evento ocorreu e quanto tempo depois de começar, seu relógio estará certo, assumindo que seu relógio está correto do ponto de vista de um observador no trem?

Nossa solução deste problema deve satisfazer certas condições. Tem que trazer o resultado de que a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores, não importa como eles estejam se movendo. E tem que fazer com que os fenômenos físicos – em particular, os do eletromagnetismo – obedeçam às mesmas leis para diferentes observadores, por mais que eles tenham suas medidas de distâncias e tempos afetadas por seu movimento. E tem de fazer com que todos esses efeitos na medição sejam recíprocos. Ou seja, se você está em um trem e seu movimento afeta sua estimativa das distâncias fora do trem, deve haver uma mudança exatamente semelhante na estimativa que as pessoas de fora do trem fazem das distâncias dentro dele. Estas condições são suficientes para determinar a solução do problema, mas o [Pg 78]método de obtenção da solução não pode ser explicado sem mais matemática do que é possível no presente trabalho.

Antes de abordar o assunto em termos gerais, vamos dar um exemplo. Suponhamos que você esteja em um trem em uma longa linha férrea reta e que esteja viajando a três quintos da velocidade da luz. Suponha que você meça o comprimento de seu trem e descubra que ele tem cem metros. Suponha que as pessoas que vislumbram você quando você passa conseguem, por meio de métodos científicos hábeis, fazer observações que lhes permitam calcular o comprimento de seu trem. Se fizerem seu trabalho corretamente, descobrirão que ela tem oitenta metros de comprimento. Tudo no trem parecerá mais curto para eles na direção do trem do que para você. Pratos de jantar, que você vê como pratos circulares comuns, parecerão ovais para quem está de fora: eles parecerão apenas quatro quintos tão largos na direção em que o trem está se movendo quanto na direção da largura do trem. . E tudo isso é recíproco. Suponha que você veja pela janela um homem carregando uma vara de pescar que, segundo suas medidas, tem quinze pés de comprimento. Se ele o estiver segurando na vertical, você o verá como ele; então você [Pg 79] o fará se ele estiver segurando-o horizontalmente em ângulos retos com a ferrovia. Mas se ele estiver apontando ao longo da ferrovia, parecerá ter apenas doze pés de comprimento. Todos os comprimentos na direção do movimento são diminuídos em vinte por cento, tanto para aqueles que olham para o trem de fora quanto para aqueles que olham para fora do trem de dentro.

Mas os efeitos em relação ao tempo são ainda mais estranhos. Este assunto foi explicado com uma lucidez quase ideal por Eddington em Space, Time and Gravitation. Ele supõe um aviador viajando, relativamente à Terra, a uma velocidade de 161.000 milhas por segundo, e diz:

“Se observássemos o aviador cuidadosamente, deduziríamos que ele era extraordinariamente lento em seus movimentos; e os eventos no transporte que se moviam com ele seriam igualmente retardados - como se o tempo tivesse esquecido de passar. O charuto dele dura o dobro do nosso. Eu disse 'inferir' deliberadamente; deveríamos ver uma desaceleração ainda mais extravagante do tempo; mas isso é facilmente explicado, porque o aviador está aumentando rapidamente sua distância de nós e as impressões luminosas demoram cada vez mais para nos alcançar. O retardamento mais moderado referido permanece depois de termos permitido o tempo de transmissão da luz [Pg 80]. Mas aqui novamente entra a reciprocidade, porque na opinião do aviador somos nós que viajamos a 161.000 milhas por segundo além dele; e quando ele faz todas as concessões, descobre que somos nós que somos lentos. Nosso charuto dura o dobro do dele.

Que situação para inveja! Cada homem pensa que o charuto do outro dura o dobro do seu. Pode, entretanto, servir de consolo refletir que as visitas do outro homem ao dentista também duram o dobro do tempo.

Essa questão do tempo é bastante intricada, pelo fato de que eventos que um homem julga serem simultâneos, outro considera separados por um lapso de tempo. Para tentar esclarecer como o tempo é afetado, voltarei ao nosso trem ferroviário viajando para o leste a uma velocidade de três quintos da velocidade da luz. Para fins de ilustração, presumo que a Terra seja grande e plana, em vez de pequena e redonda.

Se tomarmos eventos que acontecem em um ponto fixo da terra e nos perguntarmos quanto tempo depois do início da jornada eles parecerão ao viajante, a resposta é que haverá aquele retardo de que fala Eddington, o que significa neste caso, o que parece uma hora na vida da pessoa parada é julgado como uma hora e um quarto pelo homem que a observa do trem. Reciprocamente, o que parece uma hora na vida da pessoa no trem é julgada pelo homem que a observa de fora como uma hora e quinze. Cada um torna os períodos de tempo observados na vida do outro um quarto do tempo que eles são para a pessoa que os vive. A proporção é a mesma em relação aos tempos e comprimentos.

Mas quando, em vez de comparar eventos no mesmo lugar da Terra, comparamos eventos em locais muito distantes, os resultados são ainda mais estranhos. Tomemos agora todos os eventos ao longo da ferrovia que, do ponto de vista de uma pessoa parada na Terra, acontecem em um dado instante, digamos, o instante em que o observador no trem passa pela pessoa parada. Desses eventos, aqueles que ocorrem em pontos para onde o trem está se movendo parecerão ao viajante já ocorridos, enquanto aqueles que ocorrem em pontos atrás do trem serão, para ele, ainda no futuro. Quando digo que os eventos na direção direta parecem já ter acontecido, estou dizendo algo não estritamente preciso, porque ele ainda não os terá [Pg 82] visto; mas quando ele os vir, ele, depois de considerar a velocidade da luz, chegará à conclusão de que eles devem ter acontecido antes do momento em questão. Um evento que ocorre na direção direta ao longo da ferrovia e que o observador parado julga ser agora (ou melhor, julgará ter ocorrido agora quando souber disso), se ocorrer a uma distância ao longo da linha que luz poderia viajar em um segundo, será julgado pelo viajante como tendo ocorrido três quartos de segundo atrás. Se ocorrer a uma distância dos dois observadores que o homem na terra julga que a luz poderia viajar em um ano, o viajante julgará (quando souber disso) que ocorreu nove meses antes do momento em que ele passou o habitante da terra. E geralmente, ele antecipará os eventos na direção à frente ao longo da ferrovia em três quartos do tempo que levaria luz para viajar deles para o homem na terra por quem ele está passando, e que sustenta que esses eventos estão acontecendo agora - ou melhor, sustentarão que aconteceram agora quando a luz deles o atinge. Os eventos que acontecem na ferrovia atrás do trem serão datados exatamente na mesma data.[Pg 83]

Temos assim uma dupla correcção a fazer na data de um acontecimento quando passamos do observador terrestre ao viajante. Devemos primeiro levar cinco quartos do tempo estimado pelo morador da terra e, em seguida, subtrair três quartos do tempo que a luz levaria para viajar do evento em questão até o morador da terra.

Considere algum evento em uma parte distante do universo, que se torna visível para o habitante da terra e para o viajante assim que eles passam um pelo outro. O habitante da terra, se souber a que distância ocorreu o evento, pode julgar há quanto tempo ocorreu, pois conhece a velocidade da luz. Se o evento ocorreu na direção para a qual o viajante está se movendo, o viajante inferirá que aconteceu há duas vezes mais tempo do que o habitante da terra pensa. Mas se ocorreu na direção de onde ele veio, ele argumentará que aconteceu há apenas metade do tempo que o habitante da terra pensa. Se o viajante se mover a uma velocidade diferente, essas proporções serão diferentes.

Suponha agora que (como às vezes ocorre) duas novas estrelas surgiram repentinamente e acabaram de se tornar visíveis para o viajante e para o morador da terra por quem ele está passando. Deixe um deles estar na direção em que o trem está viajando, o outro na direção de onde ele veio. Suponha que o morador da terra seja capaz de, de alguma forma, estimar a distância das duas estrelas e inferir que a luz leva cinquenta anos para alcançá-lo daquela na direção em que o viajante está se movendo, e cem anos para alcançá-lo. alcançá-lo do outro. Ele então argumentará que a explosão que produziu a nova estrela na direção frontal ocorreu cinquenta anos atrás, enquanto a explosão que produziu a outra nova estrela ocorreu cem anos atrás. O viajante inverterá exatamente esses números: inferirá que a explosão frontal ocorreu há cem anos e a retrógrada há cinqüenta anos. Presumo que ambos argumentam corretamente sobre dados físicos corretos. Na verdade, ambos estão certos, a menos que imaginem que o outro deve estar errado. Deve-se notar que ambos terão a mesma estimativa da velocidade da luz, porque suas estimativas das distâncias das duas novas estrelas irão variar exatamente na mesma proporção que suas estimativas dos tempos desde as explosões. De fato, um dos principais motivos de toda essa teoria é garantir que a velocidade da luz seja a mesma para todos os observadores, por mais que estejam se movendo. Este fato, estabelecido pela experiência, era incompatível [Pg 85] com as velhas teorias, e tornou absolutamente necessário admitir algo surpreendente. A teoria da relatividade é tão pouco surpreendente quanto compatível com os fatos. De fato, depois de um tempo, deixa de parecer surpreendente.

Há outra característica de grande importância na teoria que estamos considerando, e é que, embora as distâncias e os tempos variem para diferentes observadores, podemos derivar deles a quantidade chamada “intervalo”, que é a mesma para todos os observadores. O “intervalo”, na teoria especial da relatividade, é obtido da seguinte forma: tome o quadrado da distância entre dois eventos e o quadrado da distância percorrida pela luz no tempo entre os dois eventos; subtraia o menor deles do maior, e o resultado é definido como o quadrado do intervalo entre os eventos. O intervalo é o mesmo para todos os observadores e representa uma relação física genuína entre os dois eventos, o que o tempo e a distância não representam. Já demos uma construção geométrica para o intervalo no final do Capítulo IV ; isso dá o mesmo resultado que a regra acima. O intervalo é “semelhante ao tempo” quando o tempo entre os eventos é maior do que [Pg 86]a luz levaria para viajar do local de um para o local do outro; no caso contrário, é “semelhante ao espaço”. Quando o tempo entre os dois eventos é exatamente igual ao tempo que a luz leva para ir de um ao outro, o intervalo é zero; os dois eventos são então situados em partes de um raio de luz, a menos que nenhuma luz passe por ali.

Quando chegarmos à teoria geral da relatividade, teremos de generalizar a noção de intervalo. Quanto mais profundamente penetramos na estrutura do mundo, mais importante se torna esse conceito; somos tentados a dizer que é a realidade da qual distâncias e períodos de tempo são representações confusas. A teoria da relatividade alterou nossa visão da estrutura fundamental do mundo; essa é a fonte tanto de sua dificuldade quanto de sua importância.

O restante deste capítulo pode ser omitido por leitores que não têm nem mesmo o conhecimento mais elementar de geometria ou álgebra. Mas, para benefício daqueles cuja educação não foi totalmente negligenciada, acrescentarei algumas explicações da fórmula geral da qual dei até agora apenas exemplos particulares. A fórmula geral em questão é a “transformação de Lorentz”, que diz, quando [Pg 87] um corpo está se movendo de uma determinada maneira em relação a outro, como inferir as medidas de comprimentos e tempos apropriados para um corpo daqueles apropriados para o outro. Antes de dar as fórmulas algébricas, darei uma construção geométrica. Como antes, vamos supor que existem dois observadores, que chamaremos de O e O', um dos quais está parado na Terra enquanto o outro está viajando com velocidade uniforme ao longo de uma linha férrea. No início do tempo considerado, os dois observadores estavam no mesmo ponto da ferrovia, mas agora estão separados por uma certa distância. Um relâmpago atinge um ponto X na ferrovia, e O julga que, no momento em que o relâmpago ocorre, o observador no trem alcançou o ponto O'. O problema é: a que distância O' julgará que está do flash, e quanto tempo após o início da jornada (quando ele estava em O) ele julgará que o flash ocorreu? Devemos conhecer as estimativas de O e queremos calcular as de O'.

No tempo que, segundo O, decorreu desde o início da viagem, seja OC a distância que a luz teria percorrido ao longo do caminho-de-ferro. Descreva um círculo em torno de O, com OC como raio, e através de O' desenhe uma perpendicular à ferrovia, encontrando o círculo em D. Em OD, pegue um ponto Y tal que OY seja igual a OX (X é o ponto da ferrovia onde os relâmpagos). Desenhe YM perpendicular à ferrovia e OS perpendicular ao OD. Deixe YM e OS se encontrarem em S. Também deixe DO' produzido e OS produzidos se encontrarem em R. Através de X e C, desenhe perpendiculares para [Pg 89]a ferrovia encontrando OS produzidos em Q e Z, respectivamente. Então RQ (medido por O) é a distância na qual O' acreditará estar do flash, não O'X como seria de acordo com a visão antiga. E enquanto O pensa que, no tempo desde o início da jornada até o flash, a luz percorreria uma distância OC, O' pensa que o tempo decorrido é o necessário para a luz percorrer a distância SZ (medida por O). O intervalo medido por O é obtido subtraindo o quadrado de OX do quadrado de OC; o intervalo medido por O' é obtido subtraindo-se o quadrado de RQ do quadrado de SZ. Um pouco de geometria muito elementar mostra que eles são iguais.

As fórmulas algébricas incorporadas na construção acima são as seguintes: Do ponto de vista de O, deixe um evento ocorrer a uma distância x ao longo da ferrovia e em um tempo t após o início da viagem (quando O' estava em O ). Do ponto de vista de O', suponha que o mesmo evento ocorra a uma distância x' ao longo da ferrovia e a um tempo t' após o início da viagem. Seja c a velocidade da luz e v a velocidade de O' em relação a O. Coloque

Esta é a transformação de Lorentz, da qual tudo neste capítulo pode ser deduzido.

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Este livro faz parte do domínio público. Bertrand Williams (2004). O ABC DA RELATIVIDADE. Urbana, Illinois: Projeto Gutenberg. Recuperado em outubro de 2022, em https://www.gutenberg.org/files/67104/67104-h/67104-h.htm

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