La théorie restreinte de la relativité

L'ABC de la relativité de Bertrand Russells fait partie de la série HackerNoon Books. Vous pouvez sauter à n'importe quel chapitre de ce livre ici . VI. LA THÉORIE SPÉCIALE DE LA RELATIVITÉ

VI. LA THÉORIE SPÉCIALE DE LA RELATIVITÉ

La théorie spéciale de la relativité est apparue comme un moyen de rendre compte des faits de l'électromagnétisme. Nous avons là une histoire un peu curieuse. Au XVIIIe et au début du XIXe siècle, la théorie de l'électricité était entièrement dominée par l'analogie newtonienne. Deux charges électriques s'attirent si elles sont de nature différente, l'une positive et l'autre négative, mais se repoussent si elles sont de même nature ; dans chaque cas, la force varie comme l'inverse du carré de la distance, comme dans le cas de la gravitation. Cette force était conçue comme une action à distance, jusqu'à ce que Faraday, par un certain nombre d'expériences remarquables, démontre l'effet du milieu intervenant. Faraday n'était pas mathématicien ; Clerk Maxwell a d'abord donné une forme mathématique aux résultats suggérés par les expériences de Faraday. De plus, Clerk Maxwell a donné des raisons de penser que la lumière est un phénomène électromagnétique, [Pg 72] consistant en ondes électromagnétiques. Le milieu de transmission des effets électromagnétiques pourrait donc être considéré comme l'éther, qui a longtemps été supposé pour la transmission de la lumière. L'exactitude de la théorie de la lumière de Maxwell a été prouvée par les expériences de Hertz dans la fabrication d'ondes électromagnétiques ; ces expériences ont fourni la base de la télégraphie sans fil. Jusqu'à présent, nous avons enregistré des progrès triomphants, dans lesquels la théorie et l'expérience assument tour à tour le rôle principal. A l'époque des expériences de Hertz, l'éther semblait solidement établi, et dans une position aussi forte que toute autre hypothèse scientifique non susceptible de vérification directe. Mais un nouvel ensemble de faits a commencé à être découvert et, progressivement, tout le tableau a changé.

Le mouvement qui culmina avec Hertz fut un mouvement pour que tout soit continu. L'éther était continu, les vagues qu'il contenait étaient continues, et on espérait que la matière serait constituée d'une structure continue dans l'éther. Puis vint la découverte de l'électron, une petite unité finie d'électricité négative, et du proton, une petite unité finie d'électricité positive. L'opinion la plus moderne est que l'électricité ne se trouve jamais que sous la forme d'[Pg 73]électrons et de protons ; tous les électrons ont la même quantité d'électricité négative et tous les protons ont une quantité exactement égale et opposée d'électricité positive. Il est apparu qu'un courant électrique, qui avait été considéré comme un phénomène continu, se compose d'électrons voyageant dans un sens et d'ions positifs voyageant dans l'autre sens ; il n'est pas plus strictement continu que le flux de personnes montant et descendant un escalator. Puis vint la découverte des quanta, qui semble montrer une discontinuité fondamentale dans tous les processus naturels qui peuvent être mesurés avec une précision suffisante. Ainsi la physique a dû digérer de nouveaux faits et faire face à de nouveaux problèmes.

Mais les problèmes posés par l'électron et le quantique ne sont pas ceux que la théorie de la relativité peut résoudre, en tout cas à l'heure actuelle ; pour l'instant, elle ne jette aucune lumière sur les discontinuités qui existent dans la nature. Les problèmes résolus par la théorie restreinte de la relativité sont caractérisés par l'expérience de Michelson-Morley. En supposant l'exactitude de la théorie de l'électromagnétisme de Maxwell, il aurait dû y avoir certains effets découvrables du mouvement à travers l'éther ; en fait, il n'y en avait pas. Puis [Pg 74]il y avait le fait observé qu'un corps en mouvement très rapide semble augmenter sa masse; l'augmentation est dans le rapport OP sur MP dans la figure du chapitre précédent . Des faits de ce genre se sont accumulés progressivement, jusqu'à ce qu'il devienne impératif de trouver une théorie qui les expliquerait tous.

La théorie de Maxwell se réduisait à certaines équations, appelées « équations de Maxwell ». A travers toutes les révolutions qu'a subies la physique depuis cinquante ans, ces équations sont restées debout ; en effet, ils ont continuellement gagné en importance aussi bien qu'en certitude, car les arguments de Maxwell en leur faveur étaient si fragiles que l'exactitude de ses résultats doit presque être attribuée à l'intuition. Or, ces équations étaient, bien sûr, obtenues à partir d'expériences dans des laboratoires terrestres, mais il y avait une hypothèse tacite selon laquelle le mouvement de la terre à travers l'éther pouvait être ignoré. Dans certains cas, comme l'expérience de Michelson-Morley, cela n'aurait pas dû être possible sans erreur mesurable ; mais cela s'est avéré toujours possible. Les physiciens ont été confrontés à l'étrange difficulté que les équations de Maxwell étaient plus précises qu'elles ne devraient l'être. Une difficulté très similaire a été expliquée par Galilée au tout début de la physique moderne [Pg 75]. La plupart des gens pensent que si vous laissez tomber un poids, il tombera verticalement. Mais si vous tentez l'expérience dans la cabine d'un navire en mouvement, le poids tombe, par rapport à la cabine, comme si le navire était au repos ; par exemple, s'il part du milieu du plafond, il tombera au milieu du sol. C'est-à-dire que du point de vue d'un observateur sur le rivage, il ne tombe pas verticalement, puisqu'il partage le mouvement du navire. Tant que le mouvement du navire est régulier, tout se passe à l'intérieur du navire comme si le navire ne bougeait pas. Galilée a expliqué comment cela se passe, à la grande indignation des disciples d'Aristote. Dans la physique orthodoxe, dérivée de Galilée, un mouvement uniforme en ligne droite n'a aucun effet détectable. C'était, en son temps, une forme de relativité aussi étonnante que celle d'Einstein l'est pour nous. Einstein, dans la théorie restreinte de la relativité, s'est mis au travail pour montrer comment les phénomènes électromagnétiques pourraient ne pas être affectés par un mouvement uniforme à travers l'éther s'il y avait un éther. C'était un problème plus difficile, qui ne pouvait pas être résolu en adhérant simplement aux principes de Galilée.

L'effort vraiment difficile requis pour résoudre ce problème était dans [Pg 76]en ce qui concerne le temps. Il a fallu introduire la notion de temps « propre » que nous avons déjà évoquée, et abandonner la vieille croyance en un temps universel unique. Les lois quantitatives des phénomènes électromagnétiques sont exprimées dans les équations de Maxwell, et ces équations s'avèrent vraies pour tout observateur, quel que soit son mouvement. [3] C'est un problème mathématique simple de savoir quelles différences il doit y avoir entre les mesures appliquées par un observateur et les mesures appliquées par un autre, si, malgré leur mouvement relatif, elles doivent trouver les mêmes équations vérifiées . La réponse est contenue dans la « transformation de Lorentz », trouvée sous forme de formule par Lorentz, mais interprétée et rendue intelligible par Einstein.

La transformation de Lorentz nous dit quelle estimation des distances et des périodes de temps sera faite par un observateur dont le mouvement relatif est connu, quand on nous donne ceux d'un autre observateur. Nous pouvons supposer que vous êtes dans un train sur une voie ferrée qui voyage plein est. Vous avez voyagé pendant un temps qui, d'après les horloges de la gare d'où vous êtes parti, est t. À une distance x de votre point de départ, telle que mesurée par les personnes sur la ligne, un événement se produit à ce [Pg 77]moment—disons que la ligne est frappée par la foudre. Vous avez voyagé tout le temps avec une vitesse uniforme v. La question est : à quelle distance de vous jugerez-vous que cet événement a eu lieu, et combien de temps après avoir commencé sera-t-il par votre montre, en supposant que votre montre est correcte du point de vue d'un observateur dans le train ?

Notre solution à ce problème doit satisfaire certaines conditions. Il doit faire ressortir le résultat que la vitesse de la lumière est la même pour tous les observateurs, quelle que soit la manière dont ils se déplacent. Et il doit faire en sorte que les phénomènes physiques, en particulier ceux de l'électromagnétisme, obéissent aux mêmes lois pour différents observateurs, quelle que soit la manière dont ils trouveront leurs mesures de distances et de temps affectées par leur mouvement. Et il doit rendre réciproques tous ces effets sur la mesure. C'est-à-dire que si vous êtes dans un train et que votre mouvement affecte votre estimation des distances à l'extérieur du train, il doit y avoir un changement exactement similaire dans l'estimation que les personnes à l'extérieur du train font des distances à l'intérieur. Ces conditions sont suffisantes pour déterminer la solution du problème, mais la [Pg 78]méthode d'obtention de la solution ne peut être expliquée sans plus de mathématiques que ce qui est possible dans le présent travail.

Avant d'aborder la question en termes généraux, prenons un exemple. Supposons que vous soyez dans un train sur une longue voie ferrée droite, et que vous voyagiez aux trois cinquièmes de la vitesse de la lumière. Supposons que vous mesuriez la longueur de votre train et que vous trouviez qu'il mesure cent mètres. Supposons que les personnes qui vous aperçoivent au passage parviennent, par des méthodes scientifiques habiles, à faire des observations qui leur permettent de calculer la longueur de votre train. S'ils font leur travail correctement, ils trouveront qu'il fait quatre-vingts mètres de long. Tout dans le train leur paraîtra plus court dans le sens du train qu'à vous. Les assiettes plates, que vous voyez comme des assiettes circulaires ordinaires, apparaîtront à l'extérieur comme si elles étaient ovales : elles sembleront seulement quatre cinquièmes aussi larges dans la direction dans laquelle le train se déplace que dans la direction de la largeur du train. . Et tout cela est réciproque. Supposons que vous voyiez par la fenêtre un homme portant une canne à pêche qui, selon sa mesure, mesure quinze pieds de long. S'il le tient debout, vous le verrez comme lui ; ainsi vous [Pg 79] s'il le tient horizontalement perpendiculairement au chemin de fer. Mais s'il la pointe le long de la voie ferrée, elle vous semblera n'avoir que douze pieds de long. Toutes les longueurs dans le sens du mouvement sont diminuées de vingt pour cent, tant pour ceux qui regardent le train de l'extérieur que pour ceux qui regardent le train de l'intérieur.

Mais les effets sur le temps sont encore plus étranges. Cette question a été expliquée avec une lucidité presque idéale par Eddington dans Space, Time and Gravitation. Il suppose un aviateur voyageant, relativement à la terre, à une vitesse de 161 000 miles par seconde, et il dit :

« Si nous observions attentivement l'aviateur, nous devrions en déduire qu'il était exceptionnellement lent dans ses mouvements ; et les événements dans le véhicule se déplaçant avec lui seraient pareillement retardés, comme si le temps avait oublié de continuer. Son cigare dure deux fois plus longtemps que l'un des nôtres. J'ai délibérément dit « déduire » ; on assisterait à un ralentissement du temps encore plus extravagant ; mais cela s'explique aisément, car l'aviateur s'éloigne rapidement de nous et les impressions lumineuses mettent de plus en plus de temps à nous parvenir. Le retard le plus modéré auquel il est fait référence demeure après que nous ayons tenu compte du temps de transmission de la lumière [Pg 80]. Mais ici encore la réciprocité entre en jeu, car pour l'aviateur c'est nous qui roulons à 161 000 milles par seconde devant lui ; et quand il a fait toutes les concessions, il trouve que c'est nous qui sommes paresseux. Notre cigare dure deux fois plus longtemps que le sien.

Quelle situation pour l'envie! Chacun pense que le cigare de l'autre dure deux fois plus longtemps que le sien. Cependant, il peut être réconfortant de se dire que les visites de l'autre chez le dentiste durent également deux fois plus longtemps.

Cette question de temps est assez complexe, du fait que des événements qu'un homme juge simultanés, un autre considère comme séparés par un laps de temps. Afin d'essayer de faire comprendre comment le temps est affecté, je reviendrai à notre train de chemin de fer voyageant plein est à un taux de trois cinquièmes de celui de la lumière. Par souci d'illustration, je suppose que la terre est grande et plate, au lieu d'être petite et ronde.

Si nous prenons des événements qui se produisent en un point fixe de la terre et que nous nous demandons combien de temps après le début du voyage ils apparaîtront au voyageur, la réponse est qu'il y aura ce retard dont parle Eddington, c'est-à-dire dans ce cas que ce qui semble une heure dans la vie de la personne à l'arrêt est jugé être une heure et quart par celui qui l'observe du train. Réciproquement, ce qui paraît une heure dans la vie de celui qui est dans le train est jugé par celui qui l'observe du dehors comme une heure et quart. Chacun rend les périodes de temps observées dans la vie de l'autre un quart aussi longues qu'elles le sont pour la personne qui les traverse. La proportion est la même pour les temps que pour les longueurs.

Mais quand, au lieu de comparer des événements au même endroit sur la terre, nous comparons des événements à des endroits très éloignés, les résultats sont encore plus étranges. Prenons maintenant tous les événements le long de la voie ferrée qui, du point de vue d'une personne immobile sur la terre, se produisent à un instant donné, disons l'instant où l'observateur dans le train croise la personne immobile. Parmi ces événements, ceux qui se produisent aux points vers lesquels le train se dirige sembleront au voyageur déjà arrivés, tandis que ceux qui se produisent aux points situés en arrière du train seront, pour lui, encore à venir. Quand je dis que les événements dans la direction vers l'avant sembleront déjà arrivés, je dis quelque chose qui n'est pas strictement exact, parce qu'il ne les aura pas encore vus ; mais quand il les verra, il arrivera, après avoir tenu compte de la vitesse de la lumière, à la conclusion qu'ils doivent s'être produits avant le moment en question. Un événement qui se produit dans le sens direct le long de la voie ferrée, et que l'observateur à l'arrêt juge être maintenant (ou plutôt, jugera avoir été maintenant lorsqu'il en aura connaissance), s'il se produit à une distance le long de la ligne qui la lumière pourrait voyager en une seconde, sera jugée par le voyageur comme s'étant produite il y a trois quarts de seconde. S'il se produit à une distance des deux observateurs que l'homme sur la terre juge que la lumière puisse parcourir en un an, le voyageur jugera (quand il en aura connaissance) qu'il s'est produit neuf mois plus tôt que le moment où il est passé l'habitant de la terre. Et généralement, il antidatera les événements dans le sens direct le long de la voie ferrée de trois quarts du temps qu'il faudrait à la lumière pour se rendre d'eux à l'homme sur la terre qu'il ne fait que passer, et qui soutient que ces événements se produisent maintenant - ou plutôt, soutiendront qu'ils se sont produits maintenant lorsque la lumière d'eux l'atteindra. Les événements qui se produisent sur la voie ferrée derrière le train seront postdatés d'un montant exactement égal.[Pg 83]

Nous avons donc une double correction à apporter à la date d'un événement quand nous passons de l'observateur terrestre au voyageur. Nous devons d'abord prendre les cinq quarts du temps estimé par l'habitant de la terre, puis soustraire les trois quarts du temps qu'il faudrait à la lumière pour se rendre de l'événement en question à l'habitant de la terre.

Prenez un événement dans une partie éloignée de l'univers, qui devient visible pour l'habitant de la terre et le voyageur au moment où ils se croisent. L'habitant de la terre, s'il sait à quelle distance l'événement s'est produit, peut juger depuis combien de temps il s'est produit, puisqu'il connaît la vitesse de la lumière. Si l'événement s'est produit dans la direction vers laquelle le voyageur se dirige, le voyageur en déduira qu'il s'est produit il y a deux fois plus longtemps que le pense l'habitant de la terre. Mais si cela s'est produit dans la direction d'où il vient, il soutiendra que cela s'est produit il y a seulement la moitié de ce que pense l'habitant de la terre. Si le voyageur se déplace à une vitesse différente, ces proportions seront différentes.

Supposons maintenant que (comme cela se produit parfois) deux nouvelles étoiles se soient soudainement allumées et soient devenues visibles pour le voyageur et pour l'habitant de la terre qu'il croise. Soit l'un d'eux dans la direction vers laquelle se dirige le train, l'autre dans la direction d'où il est venu. Supposons que l'habitant de la terre soit capable, d'une certaine manière, d'estimer la distance des deux étoiles, et d'en déduire que la lumière met cinquante ans pour lui parvenir de celle dans la direction vers laquelle se dirige le voyageur, et cent ans pour l'atteindre de l'autre. Il soutiendra ensuite que l'explosion qui a produit la nouvelle étoile dans la direction vers l'avant s'est produite il y a cinquante ans, tandis que l'explosion qui a produit l'autre nouvelle étoile s'est produite il y a cent ans. Le voyageur inversera exactement ces chiffres : il en déduira que l'explosion vers l'avant s'est produite il y a cent ans, et celle vers l'arrière il y a cinquante ans. Je suppose que les deux argumentent correctement sur des données physiques correctes. En fait, les deux ont raison, à moins qu'ils s'imaginent que l'autre doit avoir tort. Il convient de noter que les deux auront la même estimation de la vitesse de la lumière, car leurs estimations des distances des deux nouvelles étoiles varieront exactement dans la même proportion que leurs estimations des temps écoulés depuis les explosions. En effet, l'un des principaux motifs de toute cette théorie est de s'assurer que la vitesse de la lumière doit être la même pour tous les observateurs, quel que soit leur mouvement. Ce fait, établi par l'expérience, était incompatible avec les anciennes théories, et obligeait absolument à admettre quelque chose de surprenant. La théorie de la relativité est aussi peu surprenante que compatible avec les faits. En effet, au bout d'un moment, cela cesse de paraître surprenant du tout.

Il y a une autre caractéristique d'une très grande importance dans la théorie que nous avons considérée, c'est que, bien que les distances et les temps varient pour différents observateurs, nous pouvons en déduire la quantité appelée "intervalle", qui est la même pour tous les observateurs. L'« intervalle », dans la théorie restreinte de la relativité, s'obtient comme suit : prendre le carré de la distance entre deux événements, et le carré de la distance parcourue par la lumière dans le temps entre les deux événements ; soustrayez le plus petit de ceux-ci du plus grand, et le résultat est défini comme le carré de l'intervalle entre les événements. L'intervalle est le même pour tous les observateurs et représente une véritable relation physique entre les deux événements, ce que le temps et la distance ne font pas. Nous avons déjà donné une construction géométrique de l'intervalle à la fin du chapitre IV ; cela donne le même résultat que la règle ci-dessus. L'intervalle est « temporel » lorsque le temps entre les événements est plus long que [Pg 86]la lumière mettrait pour voyager du lieu de l'un au lieu de l'autre ; dans le cas contraire, il est "semblable à l'espace". Lorsque le temps entre les deux événements est exactement égal au temps mis par la lumière pour se rendre de l'un à l'autre, l'intervalle est nul ; les deux événements sont alors situés sur des parties d'un même rayon lumineux, à moins qu'aucune lumière ne passe par là.

Quand nous en viendrons à la théorie de la relativité générale, nous aurons à généraliser la notion d'intervalle. Plus nous pénétrons profondément dans la structure du monde, plus ce concept devient important ; nous sommes tentés de dire qu'elle est la réalité dont les distances et les durées sont des représentations confuses. La théorie de la relativité a modifié notre vision de la structure fondamentale du monde ; c'est la source à la fois de sa difficulté et de son importance.

Le reste de ce chapitre peut être omis par les lecteurs qui n'ont même pas la connaissance la plus élémentaire de la géométrie ou de l'algèbre. Mais, à l'intention de ceux dont l'éducation n'a pas été entièrement négligée, j'ajouterai quelques explications sur la formule générale dont je n'ai donné jusqu'ici que des exemples particuliers. La formule générale en question est la « transformation de Lorentz », qui indique, lorsqu'un corps se déplace d'une manière donnée relativement à un autre, comment déduire les mesures de longueurs et de temps propres à un corps de celles qui conviennent à L'autre. Avant de donner les formules algébriques, je donnerai une construction géométrique. Comme précédemment, nous supposerons qu'il y a deux observateurs, que nous appellerons O et O′, dont l'un est immobile sur la terre tandis que l'autre se déplace à une vitesse uniforme le long d'un chemin de fer rectiligne. Au début de l'époque considérée, les deux observateurs se trouvaient au même point de la voie ferrée, mais maintenant ils sont séparés d'une certaine distance. Un éclair frappe un point X de la voie ferrée, et O juge qu'au moment où l'éclair a lieu l'observateur dans le train a atteint le point O'. Le problème est : à quelle distance O' jugera-t-il qu'il est de l'éclair, et combien de temps après le début du voyage (quand il était à O) jugera-t-il que l'éclair a eu lieu ? On est supposé connaître les estimations de O′, et on veut calculer celles de O′.

Dans le temps qui, d'après O, s'est écoulé depuis le début du trajet, soit OC la distance que la lumière aurait parcourue le long de la voie ferrée. Décrivez un cercle autour de O, avec OC comme rayon, et par O ′ tracez une perpendiculaire à la voie ferrée, rencontrant le cercle en D. Sur OD, prenez un point Y tel que OY est égal à OX (X est le point de la voie ferrée où la foudre tombe). Dessinez YM perpendiculairement à la voie ferrée et OS perpendiculairement à OD. Laissez YM et OS se rencontrer en S. Laissez également DO′ produit et OS produit se rencontrer en R. Par X et C tracez des perpendiculaires à [Pg 89]la voie ferrée rencontrant OS produite en Q et Z respectivement. Alors RQ (mesuré par O) est la distance à laquelle O′ se croira être du flash, et non O′X comme il le serait selon l'ancienne vision. Et tandis que O pense que, dans le temps écoulé depuis le début du trajet jusqu'à l'éclair, la lumière parcourrait une distance OC, O' pense que le temps écoulé est celui nécessaire à la lumière pour parcourir la distance SZ (mesurée par O). L'intervalle mesuré par O est obtenu en soustrayant le carré sur OX du carré sur OC ; l'intervalle mesuré par O′ est obtenu en soustrayant le carré sur RQ du carré sur SZ. Un peu de géométrie très élémentaire montre que ceux-ci sont égaux.

Les formules algébriques incarnées dans la construction ci-dessus sont les suivantes : Du point de vue de O, qu'un événement se produise à une distance x le long de la voie ferrée, et à un instant t après le début du trajet (lorsque O′ était à O ). Du point de vue de O′, supposons que le même événement se produise à une distance x′ le long de la voie ferrée, et à un instant t′ après le début du trajet. Soit c la vitesse de la lumière, et v la vitesse de O′ par rapport à O. Posons

C'est la transformation de Lorentz, à partir de laquelle tout dans ce chapitre peut être déduit.

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Ce livre fait partie du domaine public. Bertrand Williams (2004). L'ABC DE LA RELATIVITÉ. Urbana, Illinois : Projet Gutenberg. Extrait en octobre 2022 de https://www.gutenberg.org/files/67104/67104-h/67104-h.htm

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