Data Science per l'ottimizzazione del portafoglio: teoria media-varianza di Markowitz

Un portafoglio di investimenti è una raccolta di asset finanziari, come azioni, obbligazioni o criptovalute, in cui un individuo investe. Un investimento è per lo più identificato dal suo rischio (quanto è volatile il valore) e dal suo rendimento (qual è il guadagno previsto). Gli investitori mirano a costruire un portafoglio che minimizzi il rischio massimizzando il rendimento.

Poiché gli investimenti riguardano tutti la comprensione dei numeri, i trader esperti utilizzano tecniche e modelli di data science per ottimizzare la loro strategia di investimento. Uno di questi modelli è la Modern Portfolio Theory (MPT), nota anche come Markowitz Mean-Variance Theory. Il modello fornisce il portafoglio di investimento ottimale utilizzando la valutazione del rischio e massimizza il rendimento per l'investitore.

Comprendiamo il ruolo della scienza dei dati nell'effettuare investimenti efficienti, esaminiamo in dettaglio la moderna teoria del portafoglio e discutiamo le ipotesi e i rischi associati ai modelli di scienza dei dati.

Ulteriori informazioni sulla teoria media-varianza di Markowitz

La teoria media-varianza di Markowitz è stata pubblicata per la prima volta da Harry Markowitz nel 1952. La teoria presenta un modello basato sui dati che analizza le tendenze finanziarie per stimare il rischio e il rendimento. Come regola generale, gli investimenti sono classificati come a basso rischio, basso rendimento e ad alto rischio, alto rendimento. In termini più semplici, stabilisce che gli investimenti con un fattore di rischio più elevato comportano una ricompensa più elevata e viceversa.

MPT fornisce una selezione ottimale di investimenti che bilancia il rischio per la ricompensa. La selezione finale degli investimenti e la loro quota nel portafoglio rappresentano la strategia di investimento ideale basata sui trend dei dati.

La scienza alla base della moderna teoria del portafoglio

Cerchiamo di capire la matematica dietro MPT. Tuttavia, prima, dobbiamo capire alcuni termini chiave che rendono possibile il modello matematico.

• Rendimento atteso: è la percentuale di rendimento attesa da un investimento. Può essere calcolata utilizzando l'analisi statistica dei trend storici.

• Deviazione standard: quantifica la volatilità di un particolare asset finanziario. È la misura del rischio associato a un investimento, ovvero un asset ad alta varianza comporta un rischio elevato e un rendimento elevato. Viene anche stimato utilizzando l'analisi statistica delle tendenze dei dati.

• Covarianza: stima la relazione tra i diversi asset. La covarianza aiuta a ottimizzare la distribuzione del portafoglio modificando i pesi degli asset in base alle covarianze.

Dati tre titoli, A, B e C, creiamo un portafoglio. Un investitore mira a capire quanti fondi allocare a uno dei due titoli. Per i titoli dati, supponiamo che ogni titolo abbia le seguenti caratteristiche.

Se l'importo totale dell'investimento è di $ 1000, $ 200 sono per l'azione A, $ 300 per B e $ 500 per C. Data la distribuzione, il rendimento medio del portafoglio risulta essere:

Le percentuali di allocazione sono anche considerate i pesi del profilo, in quanto determinano la quantità di investimento destinata a ciascun asset.

Il secondo fattore importante da considerare qui è la varianza o il rischio del portafoglio. Il rischio del portafoglio è più complicato da calcolare poiché considera la covarianza dei diversi asset. Un portafoglio ottimale secondo il modello di Markowitz include asset con una correlazione negativa. Se un asset particolare diminuisce, un altro salirà e contrasterà la sua perdita, riducendo il rischio complessivo del portafoglio.

La formula per la varianza del portafoglio diventa

La covarianza deve essere calcolata per ogni coppia di asset nel portafoglio. Supponiamo che i nostri asset abbiano la seguente matrice di correlazione.

Considerando i valori di correlazione e la deviazione standard sopra indicata, possiamo calcolare le covarianze utilizzando la seguente formula:

La matrice di covarianza diventa

Utilizzando i valori calcolati sopra, la nostra covarianza di portafoglio diventa

Frontiera efficiente

L'esempio sopra mostra una possibilità per un portafoglio di investimenti. La teoria di Markowitz crea molteplici combinazioni di tali portafogli utilizzando diversi valori di allocazione (pesi). I diversi portafogli mostrano vari livelli di rendimenti per un dato valore di rischio (varianza). Questi diversi portafogli sono visualizzati su un grafico chiamato Frontiera efficiente.

La curva rappresenta un trade-off rischio-rendimento in cui gli investitori sono interessati a tutto ciò che si trova sopra la linea. Un altro fattore interessante di questo grafico è la linea di allocazione del capitale (CAL) che parte dal punto privo di rischio (deviazione standard zero) e forma una tangente attraverso la curva. Il punto tangente ha il rapporto rischio-rendimento più elevato ed è il miglior portafoglio possibile per l'investimento.

Punti chiave

Un portafoglio di investimenti comprende vari asset come azioni e obbligazioni. Ogni investitore inizia con un capitale di investimento fisso e decide quanto investire in ogni asset. Le tecniche di data science come la teoria media-varianza di Markowitz aiutano a determinare l'allocazione ottimale delle azioni per costruire il portafoglio ottimale.

La teoria formula un modello matematico per ottimizzare le allocazioni delle attività per ottenere il massimo rendimento per un dato livello di rischio. Analizza diverse attività finanziarie e considera il loro tasso di rendimento e i fattori di rischio, dati i loro trend storici. Il tasso di rendimento è un'approssimazione di quanto profitto l'attività genererà in un dato periodo di tempo. Il fattore di rischio è quantificato utilizzando la deviazione standard del valore dell'attività. Una deviazione più elevata rappresenta un'attività volatile e, quindi, un rischio più elevato.

I valori di rendimento e rischio vengono calcolati per varie combinazioni di portafoglio e sono rappresentati sulla curva di frontiera efficiente. La curva aiuta gli investitori a determinare i rendimenti più elevati rispetto al rischio selezionato.