Data Science for Portfolio Optimization: Markowitz Mean-Varianance Theory

Investiční portfolio je soubor finančních aktiv, jako jsou akcie, dluhopisy nebo kryptoměna, do kterých jednotlivec investuje. Investice je většinou identifikována podle jejího rizika (jak volatilní je hodnota) a jejího výnosu (jaký je očekávaný zisk). Cílem investorů je vytvořit portfolio, které minimalizuje riziko a zároveň maximalizuje výnos.

Vzhledem k tomu, že investice jsou o pochopení čísel, expertní obchodníci využívají techniky a modely datové vědy k optimalizaci své investiční strategie. Jedním z takových modelů je moderní teorie portfolia (MPT), známá také jako teorie Markowitzovy střední odchylky. Model poskytuje optimální investiční portfolio pomocí hodnocení rizik a maximalizuje návratnost pro investora.

Pojďme pochopit roli datové vědy při efektivních investicích, podrobně se podívat na moderní teorii portfolia a probrat předpoklady a rizika spojená s modely datové vědy.

Více o teorii Markowitzovy střední odchylky

The Markowitz Mean-Varianance Theory byla poprvé publikována Harrym Markowitzem v roce 1952. Tato teorie představuje model založený na datech, který analyzuje finanční trendy za účelem odhadu rizika a výnosu. Obecně lze říci, že investice jsou kategorizovány jako nízkorizikové, s nízkou návratností a vysoce rizikové s vysokou návratností. Jednodušeji řečeno, stanoví, že investice s vyšším rizikovým faktorem přinášejí vyšší výnos a naopak.

MPT poskytuje optimální výběr investic, které vyvažují riziko za odměnu. Konečný výběr investic a jejich podíl v portfoliu představuje ideální investiční strategii na základě datových trendů.

Věda v pozadí moderní teorie portfolia

Pojďme pochopit matematiku za MPT. Nejprve však musíme pochopit několik klíčových pojmů, které umožňují matematický model.

• Očekávaný výnos: Toto je procentuální výnos očekávaný z investice. Lze jej vypočítat pomocí statistické analýzy historických trendů.

• Standardní odchylka: Tato kvantifikuje volatilitu konkrétního finančního aktiva. Je to míra rizika spojeného s investicí, tj. aktivum s vysokým rozptylem nese vysoké riziko a vysokou odměnu. Odhaduje se také pomocí statistické analýzy trendů dat.

• Kovariance: Odhaduje vztah mezi různými aktivy. Kovariance pomáhá optimalizovat rozložení portfolia změnou vah aktiv v závislosti na kovariancích.

Vzhledem ke třem akciím, A, B a C, sestavme portfolio. Investor se snaží zjistit, kolik finančních prostředků přidělit jedné z akcií. Pro dané akcie předpokládejme, že každá akcie má následující vlastnosti.

Pokud je celková výše investice 1 000 USD, 200 USD je pro akcie A, 300 USD pro akcie B a 500 USD pro C. Vzhledem k distribuci vychází průměrná návratnost portfolia.

Procenta alokace jsou také považována za váhu profilu, protože určují, kolik investic jde do kterého aktiva.

Druhým důležitým faktorem, který je zde třeba vzít v úvahu, je rozptyl portfolia nebo riziko. Výpočet portfoliového rizika je složitější, protože bere v úvahu kovarianci různých aktiv. Optimální portfolio podle Markowitzova modelu zahrnuje aktiva s negativní korelací. Pokud určité aktivum poklesne, jiné se zvedne a vyrovná jeho ztrátu, čímž se sníží celkové riziko portfolia.

Vzorec pro odchylku portfolia se stává

Kovarianci je třeba vypočítat pro každý pár aktiv v portfoliu. Předpokládejme, že naše aktiva mají následující korelační matici.

S ohledem na hodnoty korelace a výše uvedenou směrodatnou odchylku můžeme vypočítat kovariance pomocí následujícího vzorce:

Kovarianční matice se stává

S použitím výše vypočtených hodnot se naše portfolio stane kovariancí

Efektivní Frontier

Výše uvedený příklad ukazuje jednu možnost pro investiční portfolio. Markowitzova teorie vytváří více kombinací takových portfolií pomocí různých alokačních (váh) hodnot. Různá portfolia vykazují různé úrovně výnosů pro danou hodnotu rizika (rozptyl). Tato různá portfolia jsou vizualizována na grafu zvaném Efficient Frontier.

Křivka představuje kompromis mezi rizikem a odměnou, kdy se investoři zajímají o vše nad čarou. Dalším zajímavým faktorem tohoto grafu je linie kapitálové alokace (CAL), která běží od bezrizikového bodu (nulová standardní odchylka) a tvoří tečnu napříč křivkou. Tečný bod má nejvyšší poměr odměny k riziku a je to nejlepší možné portfolio pro investici.

Klíčové věci

Investiční portfolio zahrnuje různá aktiva, jako jsou akcie a dluhopisy. Každý investor začíná s fixním investičním kapitálem a rozhoduje se, kolik investuje do každého aktiva. Techniky datové vědy, jako je Markowitzova teorie středních rozptylů, pomáhají určit optimální alokaci akcií pro vytvoření optimálního portfolia.

Tato teorie formuluje matematický model pro optimalizaci alokace aktiv pro dosažení maximální návratnosti pro danou úroveň rizika. Analyzuje různá finanční aktiva a zvažuje jejich míru návratnosti a rizikové faktory vzhledem k jejich historickým trendům. Míra návratnosti je přibližným odhadem toho, jaký zisk bude aktivum generovat za dané časové období. Rizikový faktor je kvantifikován pomocí směrodatné odchylky hodnoty aktiva. Vyšší odchylka představuje volatilní aktivum, a tedy vyšší riziko.

Hodnoty výnosu a rizika jsou vypočítány pro různé kombinace portfolia a jsou znázorněny na efektivní hraniční křivce. Křivka pomáhá investorům určit nejvyšší výnosy oproti zvolenému riziku.