
 
 Tekijä: Kevin Buzzard Tekijä: Kevin Buzzard Table Of Links Pöytä vasemmalla abstrakti 
 
 Tunnustukset & Johdanto Tunnustukset & Johdanto 2. Universal properties 2. Yleiset ominaisuudet 3. Products in practice Tuotteet käytännössä 4. Universal properties in algebraic geometry Universaalit ominaisuudet algebraisessa geometriassa 5. The problem with Grothendieck’s use of equality. 5. Grothendieckin tasa-arvon käytön ongelma. 6. More on “canonical” maps 6. Lisää ”kanonisia” karttoja 7. Canonical isomorphisms in more advanced mathematics 7. Kanoniset isomorfismit kehittyneessä matematiikassa 8. Summary And References 8. Yhteenveto ja viittaukset Abstract abstrakti Keskustelemme siitä, miten matemaatikot (mukaan lukien Grothendieck) käyttävät tasa-arvon käsitettä, ja mitä vaikutusta sillä on, kun yritämme muodollistaa matematiikkaa. Overview Monet matemaattiset esineet ja rakenteet ovat ainutlaatuisesti ominaista jonkinlainen määrittelevä ominaisuus. Esimerkiksi todelliset luvut ovat ainutlaatuinen täydellinen Archimedean järjestetty kenttä, ja monet rakenteet algebra (lokalisoinnit, tensorituotteet, . . . ) ja topologia (tuote topologisten tilojen, täydentäminen metrinen tai yhtenäinen tila, . . . ) ovat ainutlaatuisesti ominaista yleismaailmallinen ominaisuus. Tarkemmin sanottuna, haluan keskustella ominaisuuksista, jotka määrittelevät matemaattisen esineen ainutlaatuiseen isomorfismiin. Tämä on erittäin vahva lausunto: antaa ei-esimerkki, voisimme harkita ominaisuutta olla ryhmä järjestyksessä 5. On vain yksi tällainen ryhmä, isomorfismiin asti, mutta tällä ryhmällä on automorfismit (esimerkiksi kartta lähettää elementin neliöön), mikä tarkoittaa, että se on ainutlaatuinen, mutta vain ei-yksilölliseen isomorfismiin asti, ja siksi ominaisuus olla ryhmä järjestyksessä 5 ei ole sellainen ominaisuus, josta tämä paperi on kyse. Voit (ja todennäköisesti pitäisi) kehittää teorian kohteista, joille on ominaista P, käyttämällä vain oletusta P, ja sinun ei tarvitse huolehtia minkäänlaisesta kohteen erityisestä rakentamisesta (paitsi tietäen, että on olemassa jotain rakennetta, joka tyydyttää P: n, ja siksi teidän teorianne ei ole tyhjä). Assertion 1. Käytännössä voidaan olettaa, että kaksi matemaattista objektia, jotka tyydyttävät P:n, ovat tasavertaisia, koska jokainen matemaattisesti merkityksellinen väite, jonka toinen tyydyttää, tyydytetään myös toisella. Assertion 2. Yleisemmin, jos sinulla on kaksi esineitä, jotka ovat kanonisesti isomorfisia, niin nämä esineet voidaan käytännössä olettaa olevan samanarvoisia. Assertion 3. Harkitse esimerkkiä. Vaikka on olemassa useita erilaisia rakenteita todellisia lukuja rationaaleista (Cauchy-sekvenssit, Dedekind-leikkaukset, Bourbakin yhtenäinen avaruuden loppuunsaattaminen. . . . ), kaikki perusanalyysi opetetaan ensimmäisessä perustutkintoon kehitetään käyttämällä vain Archimedean ja täydellisyyden aksioomit tyydytetään todellisia. matemaatikko ei unelmoisi sanoa, mitä määritelmää todellisia lukuja he käyttivät - tämä olisi järjetöntä. Itse asiassa Newton, Euler ja Gauss käyttivät onnellisesti "reaalilukuja" kauan ennen kuin Cauchy, Dedekind ja Bourbaki tuli yhdessä niiden eri malleja: kukin määritelmät järjestetty kenttä R on ainutlaatuisesti Kerron lisää lokalisoinneista myöhemmin, mutta on olemassa myös useita eri rakenteita komutatiivisen renkaan lokalisoinnista R[1/S] multiplikaatiosarjassa (R×S:n kvootiivi, multivarianttisen polynomisen renkaan kvootiivi. . . ) ja matemaatikko ei koskaan sanoisi tarkasti, mitä rakennetta he käyttävät kirjoittaessaan R[1/S]; tiedämme, että tämä on merkityksetöntä. Tässä artikkelissa väitän, että edellä mainittu ensimmäinen väite on väärä, toinen on vaarallinen ja kolmas on merkityksetön. Väitteet 2 ja 3 näyttävät olevan käytössä monissa paikoissa algebraisen geometrian kirjallisuudessa – itse asiassa keskustelemme Grothendieckin käytöstä =-symboliin jossain syvyydessä myöhemmin. Ajatus siitä, että kaksi objektia ovat kanonisesti isomorfisia ja siksi voidaan tunnistaa, on käytännössä erittäin tärkeä; se on hyödyllinen organisatorinen periaate, se vähentää kognitiivista taakkaa, eikä se käytännössä tuo argumentteihin virheitä, ainakin jos tekijä tietää, mitä he tekevät. Sanotaanpa, että joku yrittää virallistaa jotakin matematiikkaa tietokoneella (eli kääntää matematiikan paperikirjallisuudesta vuorovaikutteisen teoreemakokeen kielelle – tietokoneohjelma, joka tuntee matematiikan aksioomat ja logiikan säännöt). Kun joku on pakotettu kirjoittamaan, mitä todella tarkoittaa ja ei voi piiloutua sellaisten epätarkkojen sanojen takana kuin "kanoninen", tai väittää, että eriarvoiset asiat ovat tasa-arvoisia, joskus huomaa, että on tehtävä ylimääräistä työtä tai jopa harkittava uudelleen, miten tietyt ideat tulisi esittää. Kun matematiikan muodollistaminen algebraisen ja aritmeettisen geometrian ympärillä tapahtuu käyttämällä tietokoneteoreemakokeita, esimerkiksi Lean Prover -yhteisön ([BCM20], [Liv23], [dFF23], [AX23], [Zha23], . . . ) ja siihen liittyviä töitä Isabelle ([BPL21]) ja kuutio Agda ([ZM23]), nämä asiat alkavat olla merkityksellisiä. 
 
 Tämä artikkeli on saatavilla arkivissä CC BY 4.0 DEED -lisenssillä. Tämä paperi on Käyttöoikeus on CC BY 4.0 DEED. available on arxiv Saatavilla arkistoinnissa

Part of HackerNoon's growing list of open-source research papers, promoting free access to academic material.

MediaBias.TECH

We publish deeply researched (and often vastly underread) academic papers about our collective omnipresent media bias.

MediaBias's

Tämä ääni on tuotettu tarinan alkuperäisellä kielellä!

Grothendieck, Tasa-arvo ja vaikeus muodollistaa matemaattisia argumentteja

About Author

KOMMENTIT

RIPUTA TAGSIA

TÄMÄ ARTIKKELI ESITETTIIN

Related Stories

PENANCE

About Bitcoin And “Web 2.5,” HackerNoon’s First Documentary

The #bitcoin Writing Contest by Rootstock and HackerNoon: Final Round Results🎉

Meet Filestack: HackerNoon Company of the Week

PENANCE

About Bitcoin And “Web 2.5,” HackerNoon’s First Documentary

The #bitcoin Writing Contest by Rootstock and HackerNoon: Final Round Results🎉

Meet Filestack: HackerNoon Company of the Week

Light-Mode

Classic

Newspaper

Minty

Dark-Mode

Neon Noir

Minty

HN StartUps