
 
 Regjisori: Kevin Buzzard Regjisori: Kevin Buzzard Table Of Links Tavolina e majtë abstraktë 
 
 Njoftime & Hyrje Njoftime & Hyrje 2. Universal properties 2.Propagimi i përgjithshëm 3. Products in practice Produktet në praktikë 4. Universal properties in algebraic geometry Pronat universale në gjeometrinë algjebrike 5. The problem with Grothendieck’s use of equality. Problemi me përdorimin e barazisë së Grothendieck. 6. More on “canonical” maps Më shumë në hartat “kanonike” 7. Canonical isomorphisms in more advanced mathematics Izomorphisms kanonike në matematikë më të avancuar 8. Summary And References 8. përmbledhje dhe referenca Abstract abstraktë Ne diskutojmë se si koncepti i barazisë është përdorur nga matematikanët (duke përfshirë Grothendieck), dhe çfarë efekti kjo ka kur përpiqet për të formalizuar matematikë. Overview Shumë objekte dhe ndërtime matematikore janë të karakterizuara në mënyrë unike nga disa lloje të pronës përcaktuese. Për shembull, numrat realë janë fusha unike e urdhëruar e plotë e Archimedes, dhe shumë ndërtime në algjebër (lokalizime, produkte tensori. . . ) dhe topologji (produkt i hapësirave topologjike, përfundimi i një hapësie metrike ose uniforme. . . ) janë të karakterizuara në mënyrë unike nga një pronë universale. Për të qenë më të saktë, unë do të doja të diskutoj pronat që përcaktojnë një objekt matematik deri në izomorfizëm unik. Kjo është një deklaratë shumë e fortë: për të dhënë një jo- shembull, ne mund të konsiderojmë pronën e të qenit një grup i rendit 5. Ekziston vetëm një grup i tillë, deri në izomorfizëm, megjithatë ky grup ka automorfizëm (për shembull harta dërgon një element në katrorin e tij), që do të thotë se është unik por vetëm deri në izomorfizëm jo unik, dhe prandaj pronësia e të qenit një grup i rendit 5 nuk është lloji i pronësisë për të cilën bëhet fjalë në këtë letër. Ju mund (dhe ndoshta duhet) të zhvilloni teorinë e objekteve të karakterizuara nga P duke përdorur vetëm supozimin P, dhe ju nuk keni nevojë të shqetësoheni për ndonjë ndërtim të veçantë të objektit (përveçse duke ditur se ekziston një ndërtim që kënaq P, dhe për këtë arsye që teoria juaj nuk është bosh). Assertion 1. Çdo dy objekte matematikore që plotësojnë P mund të supozohet në praktikë të jenë të barabarta, sepse çdo pretendim matematikisht i domosdoshëm i kënaqur nga njëri është gjithashtu i kënaqur nga tjetri. Assertion 2. Më përgjithësisht, nëse keni dy objekte që janë kanonikisht izomorfe, atëherë këto objekte në praktikë mund të supozohet se janë të barabarta. Assertion 3. Le të marrim një shembull.Ndërsa ekzistojnë disa ndërtime të ndryshme të numrave realë nga racionalet (sekuencat Cauchy, prerjet Dedekind, plotësimi i njëanshëm i hapësirës Bourbaki. . . . ), e gjithë analiza themelore e mësuar në një kurs të parë universitar është zhvilluar duke përdorur vetëm aksiomat e Arkimedës dhe plotësisë të kënaqur nga realet. Një matematikan nuk do të ëndërronte të thoshte se cila përkufizim i numrave realë që po përdornin – kjo do të ishte absurde. Në të vërtetë, Njutoni, Euleri dhe Gausi ishin të lumtur duke përdorur “numrat” realë shumë kohë para se Cauchy, Dedekind dhe Bourbaki të vinin së bashku me modelet e tyre të ndryshme: sec Unë do të them më shumë për lokalizimet më vonë, por ka edhe disa ndërtime të ndryshme të lokalizimit R[1/S] të një unazë komutative në një nënshkrim shumëzues (një koeficient i R×S, një koeficient i një unazë polinomiale multivariable. . . ) dhe një matematikan kurrë nuk do të thotë saktësisht se çfarë ndërtimi ata janë duke përdorur kur ata shkruajnë R[1/S]; ne e dimë se kjo është e parëndësishme. Në këtë artikull unë argumentoj se pretendimi i parë i mësipërm është i rremë, i dyti është i rrezikshëm, dhe i treti është pa kuptim. pretendimet 2 dhe 3 duket se janë përdorur në shumë vende në letërsinë e gjeometrisë algjebrike – në të vërtetë ne do të diskutojmë përdorimin e Grothendieck të simbolit të = në një thellësi më vonë. megjithatë, si një matematikan që punon unë jam gjithashtu i vetëdijshëm se ka diçka më të thellë duke ndodhur këtu, të cilën unë e gjej të vështirë për të vënë gishtin tim në. Koncepti se dy objekte janë kanonikisht izomorfe dhe për këtë arsye mund të identifikohen është një i rëndësishëm në praktikë; është një parim i dobishëm organizativ, zvogëlon ngarkesën njohëse dhe në praktikë nuk paraqet gabime në argumente, të paktën nëse autori e di se çfarë po bëjnë.Në mënyrë të ngjashme, duke bërë përkufizime dhe duke provuar teorema për objekte duke përdorur një ndërtim të qartë dhe jo pronën universale është një mjet praktik që përdoret në të gjithë matematikën (për shembull, duke zgjedhur një bazë të një hapësirë vektor për të bërë një përkufizim dhe pastaj duke vëzhguar se përkufizimi është i pavarur nga zgjedhja). Le të themi se dikush po përpiqet të formalizojë disa matematikë në një kompjuter (dmth. duke përkthyer matematikën nga letërsia e letrës në gjuhën e një proveri interaktiv teoremash – një program kompjuterik që i njeh aksiomat e matematikës dhe rregullat e logjikës). Kur dikush është i detyruar të shkruajë atë që do të thotë në të vërtetë dhe nuk mund të fshihet prapa fjalëve të tilla të papërcaktuara si "kanonike", ose pretendimet se gjërat jo të barabarta janë të barabarta, dikush nganjëherë gjen se dikush duhet të bëjë punë shtesë, ose madje të rishikojë se si duhet të paraqiten idetë e caktuara. Me ardhjen e formalizimit të matematikës rreth gjeometrisë algjebrike dhe aritmetike duke përdorur proverat e teoremave kompjuterike, për shembull puna që vjen nga komuniteti i proverave Lean ([BCM20], [Liv23], [dFF23], [AX23], [Zha23],. . . ) dhe puna e lidhur në Isabelle ([BPL21]) dhe Agda kubike ([ZM23]), këto gjëra do të fillojnë të kenë rëndësi. 
 
 Ky dokument është i disponueshëm në arkiv nën licencën CC BY 4.0 DEED. Ky dokument është i disponueshëm në arkiv nën licencën CC BY 4.0 DEED. Në dispozicion në arkiv

Part of HackerNoon's growing list of open-source research papers, promoting free access to academic material.

MediaBias.TECH

We publish deeply researched (and often vastly underread) academic papers about our collective omnipresent media bias.

MediaBias's

Kjo audio është prodhuar në gjuhën origjinale të tregimit!

Grothendieck, barazia dhe vështirësia e formalizimit të argumenteve matematikore

About Author

KOMENTE

VARUR TAGS

KY ARTIKU U PARAQIT NË

Related Stories

Light-Mode

Classic

Newspaper

Minty

Dark-Mode

Neon Noir

Minty

HN StartUps