
 
 Szerző: Kevin Buzzard Szerző: Kevin Buzzard Table Of Links Baloldali asztal absztrakt 
 
 Elismerések & Bevezetés Elismerések & Bevezetés 2. Universal properties 2. Univerzális tulajdonságok 3. Products in practice Termékek a gyakorlatban 4. Universal properties in algebraic geometry Egyetemes tulajdonságok az algebrai geometriában 5. The problem with Grothendieck’s use of equality. 5. A Grothendieck egyenlőséggel kapcsolatos problémája. 6. More on “canonical” maps Többet a „kanonikus” térképekről 7. Canonical isomorphisms in more advanced mathematics 7. Kanonikus izomorfizmusok a fejlettebb matematikában 8. Summary And References 8. Összefoglaló és hivatkozások Abstract absztrakt Megvitatjuk, hogyan használják az egyenlőség fogalmát a matematikusok (beleértve Grothendieckot is), és milyen hatással van ez a matematika formalizálására. Overview Például a valós számok az egyedülálló teljes Archimedes rendelt mező, és sok konstrukció algebra (helymeghatározások, tenszor termékek, . . . ) és topológia (termék topológiai tér, befejezését méter vagy egységes tér, . . . ) jellemzi egyedülállóan egy egyetemes tulajdonság. Pontosabban, azt szeretném megvitatni tulajdonságok, amelyek meghatározzák a matematikai objektum egészen egyedi izomorfizmus. Csak egy ilyen csoport létezik, egészen az izomorfizmusig, azonban ennek a csoportnak van automorfizmusa (például a térkép elküldi az elemet a négyzetébe), ami azt jelenti, hogy egyedülálló, de csak egészen a nem-egyedi izomorfizmusig, és így az 5. rendű csoport tulajdonsága nem az a fajta tulajdonság, amiről ez a papír szól. Lehet (és valószínűleg kell) kifejleszteni a P által jellemzett objektumok elméletét, csak a P feltételezést használva, és nem kell aggódnia az objektum bármilyen konkrét felépítésével kapcsolatban (mellett, hogy tudnia kell, hogy létezik olyan felépítés, amely kielégíti P-t, és így az elméleted nem üres). Assertion 1. Bármely két P-t kielégítő matematikai tárgyat a gyakorlatban egyenlőnek lehet tekinteni, mert az egyik által kielégített minden matematikai értelemben vett állítást a másik is kielégíti. Assertion 2. Általánosságban elmondható, hogy ha két objektum van, amelyek kanonikusan izomorfok, akkor ezek az objektumok a gyakorlatban egyenlőnek tekinthetők. Assertion 3. Vegyünk egy példát. Bár a valós számok több különböző konstrukciója létezik a racionálistól (Cauchy-szekvenciák, Dedekind-vágások, Bourbaki egységes térteljesítmény. . . . ), az első egyetemi tanfolyamon tanított összes alapvető elemzést csak az archimédiai és a valósok által kielégített teljesség-axiómák felhasználásával fejlesztették ki. A matematikus nem álmodna arról, hogy megmondja, hogy a valós számok melyik meghatározását használják – ez abszurd lenne. Valóban Newton, Euler és Gauss boldogan használta a „valódi számokat” jóval azelőtt, hogy Cauchy, Dedekind és Bourbaki különböző modelljeikkel együtt jöttek: a rendelt R meghatározásaik mindegyike egyedülálló Többet fogok mondani a lokalizációkról később, de van néhány különböző konstrukció is a komutációs gyűrű R[1/S] lokalizációjára egy szorzó alösszegben (az R×S kvótája, egy multivariáns polinóm gyűrű kvótája. . . ) és egy matematikus soha nem mondaná meg pontosan, hogy melyik konstrukciót használják, amikor R[1/S] írnak; tudjuk, hogy ez irreleváns. Ebben a cikkben azt állítom, hogy a fenti első állítás hamis, a második veszélyes, a harmadik pedig értelmetlen. Úgy tűnik, hogy a 2. és 3. állításokat sok helyen használják az algebrai geometriai irodalomban – valójában Grothendieck által a = szimbólum használatát később megvitatjuk. Az a fogalom, hogy két objektum kanonikusan izomorf és ezért azonosítható, rendkívül fontos a gyakorlatban; ez egy hasznos szervezeti elv, csökkenti a kognitív terhelést, és a gyakorlatban nem vezet be hibákat az érvekben, legalábbis ha a szerző tudja, mit csinálnak. Tegyük fel, hogy megpróbálunk néhány matematikát formalizálni egy számítógépen (vagyis lefordítjuk a matematikát a papíralapú irodalomból egy interaktív elméletvizsgálat nyelvére – egy számítógépes programra, amely ismeri a matematika axiómáit és a logika szabályait). Amikor arra kényszerülünk, hogy leírjuk, mit jelent valójában, és nem tudunk elrejteni olyan rosszul meghatározott szavak mögött, mint a „kanonikus”, vagy azt állítják, hogy az egyenlőtlen dolgok egyenlők, néha úgy találjuk, hogy extra munkát kell végezni, vagy akár átgondoljuk, hogyan kell bemutatni bizonyos ötleteket. Az algebrai és aritmetikai geometria körüli matematikai formalizáció megjelenésével számítógépes elméletvizsgálatokkal, például a Lean próba közösségből ([BCM20], [Liv23], [dFF23], [AX23], [Zha23]. . . ) és a kapcsolódó munkákkal Isabelle-ben ([BPL21]) és a köbös Agda-ban ([ZM23]) ezek a dolgok elkezdenek jelentőséggel bírni. 
 
 Ez a dokumentum a CC BY 4.0 DEED licenc alatt érhető el. Ez a papír az CC BY 4.0 DEED licenc alatt. available on arxiv Elérhető archívum

Part of HackerNoon's growing list of open-source research papers, promoting free access to academic material.

MediaBias.TECH

We publish deeply researched (and often vastly underread) academic papers about our collective omnipresent media bias.

MediaBias's

Ez a hanganyag a történet eredeti nyelvén készült!

Grothendieck: Az egyenlőség és a matematikai érvek formalizálásának nehézsége

About Author

HOZZÁSZÓLÁSOK

HANG TAGOK

EZT A CIKKET BEMUTATTA

Related Stories

THE LAST DAY OF NEW YORK

On OpenAI Failed Board Coup of Sam Altman & the Danger of Leaving AI Fate in the Hands of a Few

A SECOND ENIGMA

THE HABITS OF INSECTS IN RELATION TO THE FERTILISATION OF FLOWERS

THE LAST DAY OF NEW YORK

On OpenAI Failed Board Coup of Sam Altman & the Danger of Leaving AI Fate in the Hands of a Few

A SECOND ENIGMA

THE HABITS OF INSECTS IN RELATION TO THE FERTILISATION OF FLOWERS

Light-Mode

Classic

Newspaper

Minty

Dark-Mode

Neon Noir

Minty

HN StartUps