
 
 Žymė: Kevin Buzzard Žymė: Kevin Buzzard Table Of Links Stalas kairėje Abstrakcijos 
 
 Pripažinimai ir įvadas Pripažinimai ir įvadas 2. Universal properties II. Visuotinės nuosavybės 3. Products in practice Produktai praktikoje 4. Universal properties in algebraic geometry Visuotinės savybės algebrinėje geometrijoje 5. The problem with Grothendieck’s use of equality. Grothendieck panaudojimo lygybės problema. 6. More on “canonical” maps Daugiau apie „kanoninius“ žemėlapius 7. Canonical isomorphisms in more advanced mathematics Kanoniniai izomorfizmai pažangesnėje matematikoje 8. Summary And References 8 Santrauka ir nuorodos Abstract Abstrakcijos Mes diskutuojame apie tai, kaip matematikai (įskaitant Grothendiecką) naudoja lygybės sąvoką ir kokį poveikį tai turi bandant formalizuoti matematiką. Overview Daugelis matematinių objektų ir konstrukcijų yra unikaliai apibūdinami tam tikra apibrėžiančia savybe. Pavyzdžiui, tikrieji skaičiai yra unikalus pilnas Archimedejaus tvarkingas laukas, o daugelis konstrukcijų algebroje (localizations, tensor produktai. . . ) ir topologija (topologinių erdvių produktas, metrinės ar vienodos erdvės užbaigimas. . . ) yra unikaliai apibūdinami visuotine savybe. Kad būtų tiksliau, norėčiau aptarti savybes, kurios apibrėžia matematinį objektą iki unikalios izomorfizmo. Yra tik viena tokia grupė, iki izomorfizmo, tačiau ši grupė turi automorfizmų (pavyzdžiui, žemėlapis siunčia elementą į savo kvadratą), o tai reiškia, kad jis yra unikalus, bet tik iki ne unikalus izomorfizmas, taigi 5 eilės grupės savybė nėra tokio pobūdžio savybė, apie kurią kalbama šiame dokumente. Jūs galite (ir turbūt turėtumėte) sukurti objektų, kuriems būdingas P, teoriją, naudodami tik prielaidą P, ir jums nereikia nerimauti dėl jokios konkrečios objekto konstrukcijos (be to, žinant, kad egzistuoja tam tikra konstrukcija, kuri tenkina P, taigi jūsų teorija nėra tuščia). Assertion 1. Bet kurie du matematiniai objektai, patenkinantys P, praktiškai gali būti laikomi lygiaverčiais, nes bet koks matematiniu požiūriu reikšmingas teiginys, kurį patenkina vienas, yra patenkintas ir kitu. Assertion 2. Apskritai, jei turite du objektus, kurie yra kanoniškai izomorfiniai, tuomet šie objektai praktiškai gali būti laikomi lygiaverčiais. Assertion 3. Apsvarstykime vieną pavyzdį. Nors yra keletas skirtingų realiųjų skaičių konstrukcijų iš racionalų (Kaučio sekos, Dedekindo pjūviai, Bourbaki vienodas erdvės užbaigimas. . . . ), visa pagrindinė analizė, mokoma pirmojo bakalauro kurso metu, yra sukurta naudojant tik Archimediejaus ir išsamumo aksiomas, patenkintas realiuosius. Matematikas nebūtų svajojęs pasakyti, kokį realiųjų skaičių apibrėžimą jie naudojo – tai būtų absurdiška. Iš tikrųjų Newtonas, Euleris ir Gaussas laimingai naudojo „realiuosius skaičius“ ilgai prieš tai, kai Cauchy, Dedekindas ir Bourbaki atėjo kartu su savo skirtingais modeliais: kiekvienas iš jų Daugiau apie lokalizacijas pasakysiu vėliau, tačiau yra ir keletas skirtingų komutacinio žiedo R[1/S] lokalizacijos konstrukcijų padaugintame poskyryje (R×S koeficientas, multivariato polinominio žiedo koeficientas. . . ) ir matematikas niekada tiksliai nenurodytų, kokią konstrukciją jie naudoja rašydami R[1/S]; mes žinome, kad tai yra nereikšminga. Šiame straipsnyje aš tvirtinu, kad pirmasis teiginys yra neteisingas, antrasis yra pavojingas, o trečiasis yra beprasmis. Teiginiai 2 ir 3 atrodo, kad yra naudojami daugelyje vietų algebrinės geometrijos literatūroje – iš tikrųjų mes aptarsime Grothendieck'o naudojimąsi = simboliu šiek tiek giliau vėliau. tačiau, kaip dirbantis matematikas, aš taip pat žinau, kad čia vyksta kažkas giliau, kurį man sunku įdėti pirštą. Koncepcija, kad du objektai yra kanoniškai izomorfiniai ir todėl gali būti identifikuojami, yra labai svarbi praktikoje; tai yra naudingas organizacinis principas, jis sumažina pažintinę apkrovą ir praktiškai neįveda argumentų klaidų, bent jau jei autorius žino, ką jie daro. Tarkime, kad kažkas bando formalizuoti tam tikrą matematiką kompiuteryje (t. y. išversti matematiką iš popierinės literatūros į interaktyvaus teoremo bandymo kalbą – kompiuterinę programą, kuri žino matematikos aksiomas ir logikos taisykles). Kai žmogus yra priverstas parašyti, ką jis iš tikrųjų reiškia ir negali pasislėpti už tokių netinkamai apibrėžtų žodžių kaip „kanoninis“, arba teigia, kad nelygios dalykai yra lygūs, kartais jis randa, kad jis turi padaryti papildomą darbą, ar net persvarstyti, kaip tam tikros idėjos turėtų būti pateiktos. Su matematikos formalizavimo atsiradimo aplink algebrinės ir aritmetinės geometrijos naudojant kompiuterinių teoremų bandymų, pavyzdžiui, iš Lean bandymo bendruomenės ([BCM20], [Liv23], [dFF23], [AX23], [Zha23],. . . ) ir susijusių darbų Isabelle ([BPL21]) ir kubinis Agda ([ZM23]), šie dalykai pradės reikšmės. 
 
 Šis dokumentas yra prieinamas archive pagal CC BY 4.0 DEED licenciją. Šis popierius yra Pagal licenciją CC BY 4.0. available on arxiv Prieinama archyve

Part of HackerNoon's growing list of open-source research papers, promoting free access to academic material.

MediaBias.TECH

We publish deeply researched (and often vastly underread) academic papers about our collective omnipresent media bias.

MediaBias's

Šis garso įrašas sukurtas originalia istorijos kalba!

Grothendieck, lygybė ir matematinių argumentų formalizavimo problema

About Author

KOMENTARAI

PABAIGTI ŽYMES

ŠIS STRAIPSNIS BUVO PRISTATYMAS

Related Stories

Light-Mode

Classic

Newspaper

Minty

Dark-Mode

Neon Noir

Minty

HN StartUps