
 
 مصنف: KEVIN BUZZARD مصنف: KEVIN BUZZARD Table Of Links میزیں بائیں abstract کے 
 
 تسلیمات & Introduction تسلیمات & Introduction 2. Universal properties ۲۔ عالمی ملکیت 3. Products in practice 3۔ عمل میں مصنوعات 4. Universal properties in algebraic geometry Algebraic Geometry میں Universal Properties 5. The problem with Grothendieck’s use of equality. 5۔ Grothendieck کی مساوات کا استعمال کرنے کا مسئلہ۔ 6. More on “canonical” maps 6۔ “canonical” نقشے پر مزید 7. Canonical isomorphisms in more advanced mathematics اعلی درجے کی ریاضی میں Canonical isomorphisms in more advanced mathematics 8. Summary And References 8۔ خلاصہ اور ملاحظات Abstract abstract کے ہم بحث کرتے ہیں کہ ریاضیات (Grothendieck سمیت) کی طرف سے مساوات کا تصور کس طرح استعمال کیا جاتا ہے، اور یہ ریاضی کو منظم کرنے کی کوشش کرتے وقت اس کا کیا اثر ہے. Overview بہت سے ریاضیاتی اشیاء اور تعمیروں کو منفرد طور پر کچھ قسم کے تعیناتی خصوصیات کی طرف سے خصوصیات ہیں. مثال کے طور پر حقیقی اعداد و شمار ایک منفرد مکمل آرچیمڈین کی ترتیب کے میدان ہیں، اور بہت سے algebra میں تعمیرات (مقالات، ٹینسر کی مصنوعات، . . . ) اور تپولوژیا (تپولوژیکی جگہوں کی پیداوار، ایک میٹرک یا یکساں جگہ کی تکمیل، . . . ) کو منفرد طور پر ایک عام خصوصیات کی طرف سے خصوصیات ہیں. زیادہ درست کرنے کے لئے، میں ایک ریاضیاتی اشیاء کو منفرد isomorphism تک تعریف کرنے والے خصوصیات پر بحث کرنا چاہوں گا. یہ ایک بہت مضبوط بیان ہے: ایک غیر مثال دینے کے لئے، ہم ایک گروپ کی ترتیب 5 کی خصوصیات پر غور کر سکتے ہیں. اس طرح کے گروپ میں صرف ایک ہی ہے، isomorphism تک، تاہم اس گروپ میں automorphisms ہے (مثال کے طور پر نقشہ اس کے مربع پر ایک عنصر بھیجتا ہے)، اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ منفرد ہے لیکن صرف غیر منفرد isomorphism تک، اور اس وجہ سے ایک نظم 5 گروپ ہونے کی خصوصیات اس قسم کی خصوصیات نہیں ہے کہ اس مضمون کے بارے میں ہے. آپ کو صرف فرض P کا استعمال کرتے ہوئے P کی خصوصیات پر مبنی اشیاء کا نظریہ تیار کر سکتے ہیں اور آپ کو اس اشیاء کے کسی خاص تعمیر کے بارے میں فکر کرنے کی ضرورت نہیں ہے (اس کے علاوہ یہ جاننے کی ضرورت ہے کہ کچھ تعمیر موجود ہے جو P کو پورا کرتا ہے، اور اس وجہ سے آپ کا نظریہ خالی نہیں ہے). Assertion 1. کسی بھی دو ریاضی اشیاء جو P کو پورا کرتے ہیں، عملی طور پر برابر سمجھا جا سکتا ہے، کیونکہ کسی بھی ریاضی طور پر قابل ذکر بیان جو ایک کی طرف سے پورا کیا جاتا ہے، دوسرے کی طرف سے بھی پورا کیا جاتا ہے. Assertion 2. زیادہ عام طور پر، اگر آپ کے پاس دو اشیاء ہیں جو کینونی طور پر isomorphic ہیں، تو ان اشیاء کو عملی طور پر برابر سمجھا جا سکتا ہے. Assertion 3. ہم ایک مثال پر غور کریں. اگرچہ ریشنالوں سے حقیقی اعداد کے کئی مختلف تعمیر ہیں (کاکی سیگنالوں، ڈڈیکنڈ کاٹنے، بوربیکی مساوی مکمل کرنے کے. . . )، ایک ابتدائی سافٹ ویئر کورس میں سکھایا تمام بنیادی تجزیہ صرف آرکیمڈین اور مکمل طور پر حقیقیوں کی طرف سے مطمئن ایکسیومز کا استعمال کرتے ہوئے تیار کیا جاتا ہے. ایک ریاضی دان کو یہ بتانے کا خواب نہیں ہوتا کہ وہ حقیقی اعداد کی کس تعریف کا استعمال کرتے ہیں - یہ غیر معمولی ہو جائے گا. حقیقت یہ ہے کہ نیوٹن، ایلر اور گوسس نے حقیقی اعداد کو بہت پہلے ہی استعمال کیا تھا، جب تک کہ کاکی، ڈڈیکنڈ اور بوربی اپنے مختلف ماڈلوں کے ساتھ آتے ہیں: ان میں سے ہر میں جگہوں کے بارے میں مزید بات کروں گا بعد میں، لیکن کئی مختلف تعمیروں کے لئے ایک متبادل حلقے کی جگہ R[1/S] ایک متغیر ذیلی سیٹ پر (R×S کا ایک کرنسی، ایک multivariable polynomial حلقے کا ایک کرنسی. . . ) اور ایک ریاضی نے کبھی صحیح طور پر یہ ظاہر نہیں کیا جائے گا کہ وہ R[1/S] لکھتے ہیں جب وہ استعمال کر رہے ہیں؛ ہم جانتے ہیں کہ یہ اہم نہیں ہے. اس دستاویز میں میں اس بات کا دعوی کرتا ہوں کہ اوپر کا پہلا قول غلط ہے، دوسرا خطرناک ہے، اور تیسرے کوئی معنی نہیں ہے. دعویٰ 2 اور 3 algebraic geometry لائبریری میں بہت سے جگہوں میں استعمال کیا جاتا ہے لگتا ہے – حقیقت میں ہم Grothendieck کی = علامت کے استعمال کے بارے میں کچھ گہری بعد میں بحث کریں گے. تاہم، ایک کام کرنے والا ریاضی کے طور پر میں بھی اس بات کا علم ہے کہ یہاں کچھ زیادہ گہری ہو رہا ہے، جس میں مجھے یہ لگتا ہے کہ میرے ہاتھ پر ڈالنے کے لئے مشکل ہے. خیال یہ ہے کہ دو اشیاء کینونی طور پر isomorphic ہیں اور اس کے نتیجے میں شناخت کیا جا سکتا ہے کہ یہ عملی طور پر ایک انتہائی اہم ہے؛ یہ ایک مفید تنظیم کے اصول ہے، یہ شناختی بھاری کو کم کرتا ہے، اور یہ عملی طور پر بات چیت میں غلطیاں داخل نہیں کرتا، کم از کم اگر مصنف جانتا ہے کہ وہ کیا کر رہے ہیں. مثال کے طور پر، آپ کو ایک کمپیوٹر پر کچھ ریاضیات کو سرکاری کرنے کی کوشش کر رہے ہیں (اس کا مطلب یہ ہے کہ کاغذات میں سے ریاضیات کو ایک انٹرایکٹ ٹیسٹنگ ٹیسٹنگ کی زبان میں ترجمہ کرنا ہے - ایک کمپیوٹر پروگرامنگ جو ریاضی اور منطق کے قوانین کو جانتا ہے). جب کوئی اس بات کو لکھنے کے لئے مجبور ہو جاتا ہے کہ وہ واقعی کیا مطلب ہے اور اس طرح کے غلط طور پر بیان کردہ الفاظ کے پیچھے چھپا نہیں کر سکتے ہیں جیسے "کونونیک"، یا دعوی کرتے ہیں کہ غیر مساوی چیزیں برابر ہیں، کبھی کبھی ایک کو اضافی کام کرنا پڑتا ہے، یا یہاں تک کہ دوبارہ سوچنا پڑتا ہے کہ کس طرح کچھ خیالات پیش کیا جانا چاہئے. حقیقت میں، کبھی کبھی کبھی اس کام کو کرنے کا سب سے زیادہ دردناک طریقہ یہ ہے کہ کاغذات میں موجود نہیں ہیں کہ نئے ریاضیاتی خیالات پیدا کرنے کے لئے. مثال کے طور پر، کمپیوٹر نظریات کے ٹیسٹنگ کے استعمال کرتے ہوئے algebraic اور arithmetic جغرافیائی کے ارد گرد ریاضی کے رسم سازی کے آنے کے ساتھ، مثال کے طور پر Lean Prover کمیونٹی ([BCM20]، [Liv23]، [dFF23]، [AX23]، [Zha23]. . . ) اور اس کے متعلق کام Isabelle ([BPL21]) اور کوبک Agda ([ZM23]) میں ان چیزوں کو اہمیت حاصل کرنے کے لئے شروع ہو جائے گا. 
 
 یہ مضمون CC BY 4.0 DEED لائسنس کے تحت archiv پر دستیاب ہے. یہ مضمون CC BY 4.0 DEED لائسنس کے تحت archiv پر دستیاب ہے. دستیاب ہے Archive

Part of HackerNoon's growing list of open-source research papers, promoting free access to academic material.

MediaBias.TECH

We publish deeply researched (and often vastly underread) academic papers about our collective omnipresent media bias.

MediaBias's

یہ آڈیو کہانی کی اصل زبان میں تیار کی گئی ہے!

Grothendieck، مساوات، اور ریاضی کے احکامات کو منظم کرنے کے ساتھ مشکل

About Author

تبصرے

ہینگ ٹیگز

یہ مضمون اس میں پیش کیا گیا تھا۔

Related Stories

Urbain Grandier by Alexandre Dumas - Table of Links

HackerNoon Decoded: The Top 10 Countries Where HackerNoon Is the Most Active

"Growing Businesses Gives Me a Sense of Purpose." says Flow Ninja Founder/CEO

AI Search Traffic Marketshare for Calling HackerNoon Blogs: 52% OpenAI, 30% Amazon & 18% Perplexity

Urbain Grandier by Alexandre Dumas - Table of Links

HackerNoon Decoded: The Top 10 Countries Where HackerNoon Is the Most Active

"Growing Businesses Gives Me a Sense of Purpose." says Flow Ninja Founder/CEO

AI Search Traffic Marketshare for Calling HackerNoon Blogs: 52% OpenAI, 30% Amazon & 18% Perplexity

Light-Mode

Classic

Newspaper

Minty

Dark-Mode

Neon Noir

Minty

HN StartUps