
 
 著者:KEVIN BUZZARD 著者:KEVIN BUZZARD Table Of Links 左のテーブル 抽象 
 
 認定 & Introduction 認定 & Introduction 2. Universal properties 2. 普遍的財産 3. Products in practice 3.実践における製品 4. Universal properties in algebraic geometry 4.Algebraic Geometryの普遍的属性 5. The problem with Grothendieck’s use of equality. 5.Grothendieckの平等の使い方について 6. More on “canonical” maps 6. More on “canonical” maps (カノニカル・マップ) 7. Canonical isomorphisms in more advanced mathematics 7.Canonical isomorphisms in more advanced mathematics. より高度な数学におけるカノニカルイソモルフィズム 8. Summary And References 8. 概要と参照 Abstract 抽象 私たちは、平等という概念が数学者(Grothendieckを含む)によってどのように使われているか、そしてこれは数学を公式化しようとしているときにどのような効果があるかについて議論します。 Overview たとえば、実数は唯一の完全なアーキメディア順序のフィールドであり、アルジェベラの多くの構造(位置化、圧力製品......)とトポロジー(トポロジー空間の産物、メトリック空間の完成、あるいは均一な空間の完成......)は、普遍的な属性によってユニークに特徴付けられています。より正確に言えば、私は、数学的なオブジェクトをユニークなイソモルフィズムまで定義する属性を論じたいと思います。 イソモルフィズムまでそのようなグループは1つしかないが、このグループには自動モルフィズム(例えば、地図が元素をその平方に送る)があり、それはユニークであるが、非ユニークなイソモルフィズムまでしかないことを意味し、したがって、5番のグループであるという属性は、この論文が扱っている属性ではない。 あなたは(およびおそらくは)Pによって特徴付けられたオブジェクトの理論をPの仮定のみを使用して開発することができ、あなたはオブジェクトのいかなる特定の構造についても心配する必要はありません(Pを満足させるいくつかの構造が存在することを知り、したがってあなたの理論は空虚ではありません)。 Assertion 1. Pを満たす2つの数学的オブジェクトは、実践的には、どちらかが満たす数学的に有意義な主張は、もう一方が満たしているからである。 Assertion 2. より一般的に、あなたがカノン的にイソモルフ的な2つのオブジェクトを持っている場合、これらのオブジェクトは実践的に平等であると仮定することができる。 Assertion 3. たとえ理性から実数のいくつかの異なる構造があるにもかかわらず(カウチの順序、デデキキンドの切断、ボルバキの均一な空間の完成......)、最初の学部のコースで教えられたすべての基本的な分析は、実数に満足したアーキメディアンと完全性のアキソムだけを用いて開発されているが、数学者は、彼らが使用していた実数の定義を言うことを夢にはしないだろう――これは馬鹿げているだろう。実際、ニュートン、オイラー、ゴースは、カウチ、デデキキンド、ボルバキが彼らの異なるモデルと共に来る以前から幸せに「実数」を使用していました。 後で、ローカライゼーションについてさらに説明しますが、複数子セット(R×Sの割合、多変性多様性の指輪の割合)で交互指輪の位置付けR[1/S]のいくつかの異なる構造もありますが、数学者はR[1/S]を書くときに使用している構造を正確に示すことは決してありません。 この論文では、前述の第一の主張は誤りであり、第二の主張は危険であり、第三の主張は無意味であると主張します。第2と第3の主張は、アルジェベラギオメトリー文学の多くの場所で使用されているように見えます - 実際には、私たちはGrothendieckの=シンボルの使用について後でいくつかの深さで議論します。 それは有用な組織原理であり、それは認知的負荷を軽減し、少なくとも著者が彼らが何をしているかを知っている場合、論点に誤りを導入しません。同様に、定義を作成し、オブジェクトに関する理論を明示的な構造ではなく普遍的な属性を用いて証明することは、数学を通じて使用される実用的なツールです(例えば、定義を作成するためにベクトル空間の基盤を選択し、その後、定義が選択に独立していることを観察する)。 例えば、ある人がコンピュータで数学を公式化しようとしているとしましょう(つまり、紙の文学から数学をインタラクティブな理論試験器の言語に翻訳しようとします - 数学の法則と論理のルールを知っているコンピュータプログラム)。 ある人が実際に意味することを書き留めなければならず、「カノニカル」などの誤って定義された言葉の背後に隠れることができない場合、あるいは不平等なものが平等であると主張する場合、ある人は時には、余分な仕事をしなければならない、あるいは、特定のアイデアがどのように提示されるべきかを再考する必要があることがあります。 例えば、Lean Prover コミュニティ([BCM20], [Liv23], [dFF23], [AX23], [Zha23]. . . )と Isabelle ([BPL21])とキューブ Agda ([ZM23])で関連する仕事を用いたアルジェブリックおよび数値的地理学の公式化の出現と共に、これらのことが重要になるでしょう。 
 
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Grothendieck, Equality, and the Trouble with Formalizing Mathematical Arguments(グロテンディーク)

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