
 
 Autor: Kevin Buzzard Autor: Kevin Buzzard Table Of Links Mesa de la izquierda Abstracción 
 
 Reconocimientos & Introducción Reconocimientos & Introducción 2. Universal properties 2 Propiedades universales 3. Products in practice Productos en la práctica 4. Universal properties in algebraic geometry Propiedades Universales en Geometría Algebraica 5. The problem with Grothendieck’s use of equality. El problema con el uso de Grothendieck de la igualdad. 6. More on “canonical” maps Más sobre los mapas “canónicos” 7. Canonical isomorphisms in more advanced mathematics Isomorfismos canónicos en matemáticas más avanzadas 8. Summary And References 8 Resumen y referencias Abstract Abstracción Discutimos cómo el concepto de igualdad es usado por los matemáticos (incluido Grothendieck), y qué efecto tiene esto cuando intenta formalizar la matemática. Overview Muchos objetos y construcciones matemáticas se caracterizan únicamente por algún tipo de propiedad definidora. Por ejemplo, los números reales son el único campo ordenado completo de Arquímedes, y muchas construcciones en álgebra (localizaciones, productos tensores. . . ) y topología (producto de espacios topológicos, finalización de un espacio métrico o uniforme. . . ) se caracterizan únicamente por una propiedad universal. Para ser más precisos, me gustaría discutir propiedades que definen un objeto matemático hasta el isomorfismo único. Esta es una declaración muy fuerte: para dar un no-ejemplo, podríamos considerar la propiedad de ser un grupo de orden 5. Sólo hay un grupo, hasta el isomorfismo, sin embargo este grupo tiene automorfismos (por ejemplo, el mapa que envía un elemento a su cuadrado), lo que significa que es único pero sólo hasta el isomorfismo no único, y por lo tanto la propiedad de ser un grupo del orden 5 no es el tipo de propiedad de la que trata este documento. Puedes (y probablemente deberías) desarrollar la teoría de los objetos caracterizados por P utilizando sólo la suposición P, y no tienes que preocuparte por ninguna construcción particular del objeto (más allá de saber que existe alguna construcción que satisfaga a P, y por lo tanto que tu teoría no es vacía). Assertion 1. Cualquier dos objetos matemáticos que satisfagan P puede en la práctica ser asumido como igual, porque cualquier afirmación matemáticamente significativa satisfecha por uno es también satisfecha por el otro. Assertion 2. Más generalmente, si tienes dos objetos que son canónicamente isomórficos, entonces estos objetos pueden en la práctica ser asumidos como iguales. Assertion 3. Consideremos un ejemplo. Si bien existen varias construcciones diferentes de los números reales de los racionales (sequencias de Cauchy, cortes de Dedekind, completación espacial uniforme de Bourbaki. . . ), todo el análisis básico enseñado en un primer curso de pregrado se desarrolla utilizando sólo los axiomas de Archimedes y de completitud satisfechos por los reales. Un matemático no soñaría con decir qué definición de los números reales estaban usando - esto sería absurdo. De hecho, Newton, Euler y Gauss estaban usando felizmente "los" números reales mucho antes de que Cauchy, Dedekind y Bourbaki vinieran junto con sus diferentes modelos: cada una de sus definiciones del campo ordenado R es únicamente isomófica a las demás, por lo que lo que uno de nosotros está usando realmente no importa en la práctica. Hablaré más sobre las localizaciones más adelante, pero también hay varias construcciones diferentes de la localización R[1/S] de un anillo conmutativo en un subconjunto multiplicativo (un coeficiente de R×S, un coeficiente de un anillo polinomial multivariable. . . ) y un matemático nunca diría exactamente qué construcción están usando cuando escriben R[1/S]; sabemos que esto es irrelevante. En este artículo argumento que la primera afirmación anterior es falsa, la segunda es peligrosa, y la tercera es sin sentido. Las afirmaciones 2 y 3 parecen ser usadas en muchos lugares en la literatura de geometría algebraica – de hecho discutiremos el uso del símbolo de Grothendieck en cierta profundidad más adelante. Sin embargo, como matemático que trabaja, también soy consciente de que hay algo más profundo ocurriendo aquí, lo que me resulta difícil de poner el dedo. El concepto de que dos objetos son canónicamente isomórficos y por lo tanto pueden ser identificados es extremadamente importante en la práctica; es un principio organizativo útil, reduce la carga cognitiva, y en la práctica no introduce errores en los argumentos, al menos si el autor sabe lo que están haciendo. Supongamos que uno está tratando de formalizar algunas matemáticas en un ordenador (es decir, traducir las matemáticas de la literatura en papel al lenguaje de un probador de teoremas interactivo – un programa informático que conoce los axiomas de las matemáticas y las reglas de la lógica). Cuando uno se ve obligado a escribir lo que realmente significa y no puede ocultarse detrás de palabras tan mal definidas como “canónico”, o afirmaciones de que las cosas desiguales son iguales, a veces se encuentra que uno tiene que hacer trabajo extra, o incluso repensar cómo ciertas ideas deben ser presentadas. De hecho, a veces la forma más indolora de hacer este trabajo consiste en tener que crear nuevas ideas matemáticas que no están presentes en los argumentos de papel. Con la llegada de la formalización de las matemáticas en torno a la geometría algebraica y aritmética utilizando pruebas de teoremas computacionales, por ejemplo, el trabajo que sale de la comunidad de las pruebas Lean ([BCM20], [Liv23], [dFF23], [AX23], [Zha23], . . . ) y el trabajo relacionado en Isabelle ([BPL21]) y Agda cúbica ([ZM23]), estas cosas comenzarán a tener importancia. 
 
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