
 
 Автор: Кевін Буззард Автор: Кевін Буззард Table Of Links стіл ліворуч абстрактні 
 
 Визнання & Введення Визнання & Введення 2. Universal properties 2.Універсальні властивості 3. Products in practice Продукти на практиці 4. Universal properties in algebraic geometry Загальні властивості в алгебраїчній геометрії 5. The problem with Grothendieck’s use of equality. Проблема з використанням рівності Гротендієком. 6. More on “canonical” maps Більше про «канонічні» карти 7. Canonical isomorphisms in more advanced mathematics Канонічні ізоморфізми в більш розвиненій математиці 8. Summary And References 8 Резюме та посилання Abstract абстрактні Ми обговорюємо, як поняття рівності використовується математиками (включаючи Гротендієка), і який ефект це має при спробі формалізувати математику. Overview Наприклад, реальні числа є унікальним повним архімедійським порядковим полем, і багато конструкцій в алгебрі (локалізації, продукти тензора . . . ) і топології (продукт топологічних просторів, завершення метричного або однорідного простору . . ) характеризуються унікальною універсальною властивістю. Щоб бути більш точним, я хотів би обговорити властивості, які визначають математичний об'єкт до унікального ізоморфізму. Існує тільки одна така група, аж до ізоморфізму, однак ця група має аутоморфізми (наприклад, карта посилає елемент на його квадрат), що означає, що вона є унікальною, але тільки аж до неунікального ізоморфізму, і тому властивість бути групою 5 порядку не є типом властивості, про яку йде ця стаття. Ви можете (і, ймовірно, повинні) розробити теорію об'єктів, що характеризуються P, використовуючи тільки припущення P, і вам не потрібно турбуватися про будь-яку конкретну конструкцію об'єкта (крім того, знаючи, що існує якась конструкція, яка задовольняє P, і, отже, ваша теорія не порожня). Assertion 1. Будь-які два математичні об'єкти, які задовольняють P, можна на практиці припустити рівними, тому що будь-яке математично значуще твердження, задоволене одним, також задовольняється іншим. Assertion 2. Більш загалом, якщо у вас є два об'єкти, які є канонічно ізоморфними, то ці об'єкти на практиці можна вважати рівними. Assertion 3. Давайте розглянемо приклад. Хоча існує кілька різних конструкцій реальних чисел від раціоналів (Каухійські послідовності, Дедекіндські розрізи, Bourbaki універсальне завершення простору. . . . ), весь базовий аналіз, що викладається в першому бакалаврському курсі, розроблений, використовуючи тільки архімедійські і аксіоми повноти, задоволені реальними. Математик не мріяв би сказати, яке визначення реальних чисел вони використовували - це було б абсурдним. Я скажу більше про локалізації пізніше, але є також кілька різних конструкцій локалізації R[1/S] комутативного кільця на множительному піднаборі (квоєнт R×S, коефіцієнт мультивариантного поліномічного кільця. . . ) і математик ніколи не вказав би точно, яку конструкцію вони використовують, коли вони пишуть R[1/S]; ми знаємо, що це не має значення. У цій статті я стверджую, що перше твердження вище є неправдивим, друге небезпечним, а третє безглуздим. твердження 2 і 3, здається, використовуються в багатьох місцях в літературі алгебраїчної геометрії - насправді ми будемо обговорювати використання Grothendieck символу = в деякій глибині пізніше. проте, як працюючий математик, я також усвідомлюю, що тут відбувається щось глибше, на що мені важко покласти свій палець. Поняття, що два об'єкти канонічно ізоморфні і тому можуть бути ідентифіковані, є надзвичайно важливим на практиці; це корисний організаційний принцип, він зменшує когнітивне навантаження, і він не вводить на практиці помилки в аргументах, принаймні, якщо автор знає, що вони роблять. Припустимо, що хтось намагається формалізувати деяку математику на комп'ютері (тобто перекласти математику з паперової літератури на мову інтерактивного теорійного випробувача - комп'ютерної програми, яка знає аксіоми математики і правила логіки). Коли людина змушена записати, що вона насправді означає, і не може ховатися за такими неправильно визначеними словами, як «канонічні», або претензії, що нерівні речі рівні, іноді виявляється, що людина повинна робити додаткову роботу, або навіть переосмислити, як певні ідеї повинні бути представлені. З появою формалізації математики навколо алгебраїчної та арифметичної геометрії за допомогою випробувань комп'ютерних теоремів, наприклад, роботи, що виходять з спільноти Lean prover ([BCM20], [Liv23], [dFF23], [AX23], [Zha23]. . . ) і пов'язаних робіт в Ізабель ([BPL21]) і кубічної Агда ([ZM23]), ці речі почнуть мати значення. 
 
 Цей документ доступний під ліцензією CC BY 4.0 DEED. Цей документ є Ліцензія CC BY 4.0 DEED. available on arxiv Доступно в архіві

Part of HackerNoon's growing list of open-source research papers, promoting free access to academic material.

MediaBias.TECH

We publish deeply researched (and often vastly underread) academic papers about our collective omnipresent media bias.

MediaBias's

Це аудіо створено мовою оригіналу історії!

Grothendieck, рівність і проблема формалізації математичних аргументів

About Author

КОМЕНТАРІ

ПОВІСИТИ БИРКИ

ЦЯ СТАТТЯ БУЛА ПРЕДСТАВЛЕНА В

Related Stories

Light-Mode

Classic

Newspaper

Minty

Dark-Mode

Neon Noir

Minty

HN StartUps