Autors: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Resum L'acumulació d'errors físics , , impedeix l'execució d'algoritmes a gran escala en els computadors quàntics actuals. La correcció d'errors quàntics promet una solució codificant qubits lògics en un nombre més gran de qubits físics, de manera que els errors físics se suprimeixen prou per permetre executar un càlcul desitjat amb una fidelitat tolerable. La correcció d'errors quàntics esdevé pràcticament realitzable un cop la taxa d'error física és inferior a un valor llindar que depèn de l'elecció del codi quàntic, el circuit de mesura de síndromes i l'algorisme de descodificació . Presentem un protocol de correcció d'errors quàntics de cap a cap que implementa memòria tolerant a fallades sobre la base d'una família de codis de paritat de baixa densitat (LDPC) . El nostre enfocament assoleix un llindar d'error del 0,7% per al model de soroll estàndard basat en circuits, a l'alçada del codi de superfície , , , que durant 20 anys va ser el codi líder en termes de llindar d'error. El cicle de mesura de síndromes per a un codi de longitud de la nostra família requereix qubits auxiliars i un circuit de profunditat 8 amb portes CNOT, inicialitzacions de qubits i mesures. La connectivitat de qubits requerida és un graf de grau 6 compost per dos subgrafs planars disjunts. En particular, demostrem que 12 qubits lògics es poden preservar durant gairebé 1 milió de cicles de síndromes utilitzant 288 qubits físics en total, assumint una taxa d'error física del 0,1%, mentre que el codi de superfície requeriria gairebé 3.000 qubits físics per aconseguir aquest rendiment. Les nostres troballes posen les demostracions d'una memòria quàntica tolerant a fallades de baix overhead a l'abast dels processadors quàntics a curt termini. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Principal La computació quàntica va atraure l'atenció per la seva capacitat d'oferir solucions asimptòticament més ràpides a un conjunt de problemes computacionals en comparació amb els millors algorismes clàssics coneguts . Es creu que un computació quàntic escalable funcional podria ajudar a resoldre problemes computacionals en àrees com el descobriment científic, la investigació de materials, la química i el disseny de fàrmacs, per citar-ne alguns , , , . 5 11 12 13 14 L'obstacle principal per construir un computació quàntic és la fragilitat de la informació quàntica, deguda a diverses fonts de soroll que l'afecten. Atès que aïllar un computació quàntic dels efectes externs i controlar-lo per induir un càlcul desitjat estan en conflicte entre si, el soroll sembla inevitable. Les fonts de soroll inclouen imperfeccions en els qubits, materials utilitzats, aparells de control, errors de preparació d'estat i mesura, i una varietat de factors externs que van des de factors locals artificials, com camps electromagnètics dispersos, fins a aquells inherents a l'Univers, com els raigs còsmics. Vegeu ref. per a un resum. Mentre que algunes fonts de soroll es poden eliminar amb un millor control , materials i blindatge , , , diverses altres fonts semblen difícils, si no impossibles, d'eliminar. El darrer tipus pot incloure emissió espontània i estimulada en ions atrapats , , i la interacció amb el bany (efecte Purcell) en circuits superconductors, cobrint les dues tecnologies quàntiques principals. Per tant, la correcció d'errors esdevé un requisit clau per construir un computació quàntic escalable funcional. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 La possibilitat de tolerància a fallades quàntiques està ben establerta . La codificació redundant d'un qubit lògic en molts qubits físics permet diagnosticar i corregir errors mesurant repetidament síndromes d'operadors de paritat. No obstant això, la correcció d'errors només és beneficiosa si la taxa d'error del maquinari està per sota d'un cert valor llindar que depèn d'un protocol de correcció d'errors particular. Les primeres propostes per a la correcció d'errors quàntics, com ara codis concatenats , , , se centraven en demostrar la possibilitat teòrica de supressió d'errors. A mesura que la comprensió de la correcció d'errors quàntics i les capacitats de les tecnologies quàntiques maduraven, el focus es va desplaçar cap a la cerca de protocols pràctics de correcció d'errors quàntics. Això va resultar en el desenvolupament del codi de superfície , , , que ofereix un alt llindar d'error proper al 1%, algorismes de descodificació ràpids i compatibilitat amb els processadors quàntics existents que depenen de la connectivitat de qubits en una xarxa quadrada bidimensional (2D). Petits exemples del codi de superfície amb un sol qubit lògic ja han estat demostrats experimentalment per diversos grups , , , , . No obstant això, escalar el codi de superfície a 100 o més qubits lògics seria prohibitivament car a causa de la seva baixa eficiència de codificació. Això va despertar interès en codis quàntics més generals coneguts com codis de paritat de baixa densitat (LDPC) . Els progressos recents en l'estudi dels codis LDPC suggereixen que poden assolir una tolerància a fallades quàntiques amb una eficiència de codificació molt més alta . Aquí, ens centrem en l'estudi dels codis LDPC, ja que el nostre objectiu és trobar codis i protocols de correcció d'errors quàntics que siguin tant eficients com possibles de demostrar en la pràctica, donades les limitacions de les tecnologies de computació quàntica. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Un codi corrector d'errors quàntics és de tipus LDPC si cada operador de comprovació del codi actua només sobre uns pocs qubits i cada qubit participa en només unes poques comprovacions. S'han proposat recentment diverses variants dels codis LDPC, incloent-hi codis de superfície hiperbòlics , , , producte de grafs , codis de producte equilibrat , codis de dos blocs basats en grups finits , , , i codis de Tanner quàntics , . Aquests últims s'ha demostrat , que són asimptòticament 'bons' en el sentit d'oferir una taxa de codificació constant i una distància lineal: un paràmetre que quantifica el nombre d'errors corregibles. Per contra, el codi de superfície té una taxa de codificació asimptòticament zero i només una distància de l'arrel quadrada. Substituir el codi de superfície per un codi LDPC d'alta taxa i alta distància podria tenir implicacions pràctiques importants. Primer, l'overhead de tolerància a fallades (la relació entre el nombre de qubits físics i lògics) podria reduir-se notablement. Segon, els codis d'alta distància mostren una disminució molt pronunciada en la taxa d'error lògica: a mesura que la probabilitat d'error física travessa el valor llindar, la quantitat de supressió d'errors aconseguida pel codi pot augmentar en ordres de magnitud fins i tot amb una petita reducció de la taxa d'error física. Aquesta característica fa que els codis LDPC d'alta distància siguin atractius per a demostracions a curt termini que probablement operaran en el règim proper al llindar. No obstant això, anteriorment es creia que superar el codi de superfície per a models de soroll realistes que inclouen errors de memòria, de porta i de preparació d'estat i mesura podria requerir codis LDPC molt grans amb més de 10.000 qubits físics . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Aquí presentem diversos exemples concrets de codis LDPC d'alta taxa amb uns pocs centenars de qubits físics equipats amb un circuit de mesura de síndromes de baixa profunditat, un algorisme de descodificació eficient i un protocol tolerant a fallades per abordar qubits lògics individuals. Aquests codis mostren un llindar d'error proper al 0,7%, mostren un rendiment excel·lent en el règim proper al llindar i ofereixen una reducció de 10 vegades de l'overhead de codificació en comparació amb el codi de superfície. Els requisits de maquinari per realitzar els nostres protocols de correcció d'errors són relativament lleus, ja que cada qubit físic està acoblat per portes de dos qubits amb només sis altres qubits. Tot i que el graf de connectivitat de qubits no és localment incrustable en una graella 2D, es pot descompondre en dos subgrafs planars de grau 6. Com argumentem més endavant, aquesta connectivitat de qubits és molt adequada per a arquitectures basades en qubits superconductors. Els nostres codis són una generalització dels codis bicicleta proposats per MacKay et al. i estudiats amb més profunditat en els refs. , , . Hem anomenat els nostres codis bicicleta bivariant (BB) perquè es basen en polinomis bivariants, tal com es detalla en els . Aquests són codis estabilitzadors del tipus Calderbank–Shor–Steane (CSS) , que es poden descriure mitjançant una col·lecció d'operadors de comprovació (estabilitzador) de sis qubits compostos per Pauli i . A un alt nivell, un codi BB és similar al codi tor de dos dimensions . En particular, els qubits físics d'un codi BB es poden disposar en una graella bidimensional amb condicions de contorn periòdiques de manera que tots els operadors de comprovació s'obtenen d'un sol parell de comprovacions i aplicant desplaçaments horitzontals i verticals de la graella. Tanmateix, a diferència dels estabilitzadors de plaques i vèrtexs que descriuen el codi tor, els operadors de comprovació dels codis BB no són localment geomètrics. A més, cada comprovació actua sobre sis qubits en lloc de quatre. Descriurem el codi mitjançant un graf Tanner de manera que cada vèrtex de representi un qubit de dades o un operador de comprovació. Un vèrtex de comprovació i un vèrtex de dades estan connectats per una aresta si l'operador de comprovació actua de manera no trivial sobre el qubit de dades (aplicant Pauli o ). Vegeu la Fig. per a exemples de grafs de Tanner de codis de superfície i BB, respectivament. El graf Tanner de qualsevol codi BB té grau de vèrtex sis i gruix de graf igual a dos, la qual cosa significa que es pot descompondre en dos subgrafs planars disjunts ( ). La connectivitat de qubits de gruix 2 és molt adequada per a qubits superconductors acoblats per ressonadors de microones. Per exemple, dues capes planars d'acobladors i les seves línies de control es poden acoblar a la part superior i inferior del xip que allotja els qubits, i les dues parts acoblades. 41 35 36 42 Mètodes 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Mètodes , Graf Tanner d'un codi de superfície, per a comparació. , Graf Tanner d'un codi BB amb paràmetres [] incrustat en un torus. Qualsevol aresta del graf Tanner connecta un vèrtex de dades i un de comprovació. Els qubits de dades associats als registres ( ) i ( ) es mostren amb cercles blaus i taronges. Cada vèrtex té sis arestes incidents, incloent-hi quatre arestes de curt abast (apuntant al nord, sud, est i oest) i dues arestes de llarg abast. Només mostrem unes poques arestes de llarg abast per evitar desordre. Les arestes puntuades i contínues indiquen dos subgrafs planars que cobreixen el graf Tanner, vegeu els . , Esquemàtic d'una extensió del graf Tanner per mesurar i segons ref. , acoblat a un codi de superfície. L'auxiliar corresponent a la mesura es pot acoblar a un codi de superfície, permetent operacions de càrrega-emmagatzematge per a tots els qubits lògics mitjançant teletransportació quàntica i algunes unitats lògiques. Aquest graf Tanner estès també té una implementació en una arquitectura de gruix 2 a través de les arestes i ( ). a b q L q R Mètodes c 50 A B Mètodes Un codi BB amb paràmetres [[ , , ]] codifica qubits lògics en qubits de dades oferint una distància de codi , la qual cosa significa que qualsevol error lògic abasta almenys qubits de dades. Dividim qubits de dades en registres ( ) i ( ) de mida /2 cadascun. Qualsevol comprovació actua sobre tres qubits de ( ) i tres de ( ). El codi es basa en qubits auxiliars de comprovació per mesurar la síndrome d'error. Dividim qubits de comprovació en registres ( ) i ( ) de mida /2 que recullen síndromes de tipus i , respectivament. En total, la codificació es basa en 2 qubits físics. La taxa de codificació neta és, per tant, = /(2 ). Per exemple, l'arquitectura estàndard del codi de superfície codifica = 1 qubit lògic en = 2 qubits de dades per a un codi de distància i utilitza − 1 qubits de comprovació per a mesures de síndromes. La taxa de codificació neta és ≈ 1/(2 2), que ràpidament esdevé impràctica a mesura que un es veu obligat a triar una distància de codi gran, degut, per exemple, a que els errors físics estiguin a prop del valor llindar. Per contra, els codis BB tenen una taxa de codificació ≫ 1/ 2, vegeu la Taula per a exemples de codis. Fins on sabem, tots els codis que apareixen a la Taula són nous. El codi de distància 12 [] podria ser el més prometedor per a demostracions a curt termini, ja que combina una gran distància i una alta taxa de codificació neta = 1/24. En comparació, el codi de superfície de distància 11 té una taxa de codificació neta = 1/241. A continuació, demostrem que el codi BB de distància 12 supera el codi de superfície de distància 11 per al rang de taxes d'error rellevant experimentalment. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d d n r d r d 1 1 r r Per prevenir l'acumulació d'errors s'ha de ser capaç de mesurar la síndrome d'error amb prou freqüència. Això s'aconsegueix mitjançant un circuit de mesura de síndromes que acobla els qubits de dades en el suport de cada operador de comprovació amb el qubit auxiliar respectiu mitjançant una seqüència de portes CNOT. Aleshores, els qubits de comprovació es mesuren revelant el valor de la síndrome d'error. El temps necessari per implementar el circuit de mesura de síndromes és proporcional a la seva profunditat: el nombre de capes de portes compostes per CNOTs no superposades. Atès que nous errors continuen produint-se mentre s'executa el circuit de mesura de síndromes, la seva profunditat s'ha de minimitzar. El cicle complet de mesura de síndromes per a un codi BB s'il·lustra a la Fig. . El cicle de síndromes requereix només set capes de CNOTs independentment de la longitud del codi. Els qubits de comprovació s'inicien i es mesuren al principi i al final del cicle de síndromes respectivament (vegeu els per a més detalls). El circuit respecta la simetria de desplaçament cíclic del codi subjacent. 2 Mètodes Cicle complet de mesures de síndromes que utilitza set capes de CNOTs. Proporcionem una vista local del circuit que només inclou un qubit de dades de cada registre ( ) i ( ). El circuit és simètric sota desplaçaments horitzontals i verticals del graf Tanner. Cada qubit de dades està acoblat per CNOTs amb tres qubits de comprovació *X* i tres de *Z*: vegeu els per a més detalls. q L q R Mètodes El protocol complet de correcció d'errors realitza c ≫ 1 cicles de mesura de síndromes i després truca a un descodificador: un algorisme clàssic que pren com a entrada les síndromes mesurades i retorna una suposició de l'error final en els qubits de dades. La correcció d'errors té èxit si la suposició i l'error real coincideixen mòdul un producte d'operadors de comprovació. En aquest cas, els dos errors tenen la mateixa acció sobre qualsevol estat codificat (lògic). Per tant, aplicar la inversa de l'error suposat retorna els qubits de dades a l'estat lògic inicial. En cas contrari, si la suposició i l'error real difereixen per un operador lògic no trivial, la correcció d N
