Quần đảo trọng lực và đa vũ trụ

Bảng liên kết

trừu tượng

Nhìn nhận

PHẦN I

Chương 1: Giới thiệu

Chương 2: SU(3) LEC từ Lý thuyết dây loại IIA

Chương 3: Chuyển pha giải giam cầm trong các lý thuyết giống QCD nhiệt ở khớp nối trung gian khi không có và có chuyển động quay

Chương 4: Kết luận và triển vọng tương lai

PHẦN II

Chương 5: Giới thiệu

Chương 6: Đường cong trang của hố đen Reissner-Nordström trong trọng lực HD

Chương 7: Entropy vướng víu và đường cong trang từ đối ngẫu lý thuyết M của QCD nhiệt trên Tc tại khớp nối trung gian

Chương 8: Quần đảo hố đen trong không-thời gian chân trời đa sự kiện

Chương 9: Đa vũ trụ trong Karch-Randall Braneworld

Chương 10: Kết luận và triển vọng tương lai

PHỤ LỤC A

PHỤ LỤC B

PHỤ LỤC C

Thư mục

Quần đảo Trọng lực Phần II (HD) và Đa vũ trụ

"Chúa không chơi xúc xắc." - Albert Einstein

“Chúa không chỉ chơi xúc xắc, đôi khi ngài còn ném xúc xắc vào nơi chúng ta không thể nhìn thấy.” - Stephen Hawking

“Nếu Chúa ném xúc xắc vào nơi chúng ta không thể nhìn thấy thì chúng không thể ảnh hưởng đến chúng ta.” - Trang Don

CHƯƠNG 5 - GIỚI THIỆU

Trong chương này, chúng tôi trình bày phần giới thiệu các tài liệu cần thiết để hiểu nghịch lý thông tin và cách giải quyết nó từ ảnh ba chiều. Chúng ta bắt đầu thảo luận về entropy vướng víu trong phần 5.1, chúng ta thảo luận về nghịch lý thông tin và đường cong Trang trong phần 5.2 và cuối cùng chúng ta thảo luận về cách giải quyết nghịch lý thông tin trong 5.3 từ đề xuất đảo, thiết lập hình ba chiều kép và hình ảnh ba chiều hình nêm trong 5.3. 1, 5.3.2 và 5.3.3 tương ứng

5.1 Entropy vướng víu ba chiều: Đề xuất của Ryu-Takayanagi và Dong

Entropy vướng víu trong Cơ học lượng tử (QM): Trước tiên chúng ta thảo luận về entropy vướng víu trong hệ cơ học lượng tử. Chúng ta hãy xem xét một hệ thống có trạng thái được ký hiệu là |ψ⟩. Ma trận mật độ của hệ thống được định nghĩa là:

Entropy vướng víu được đo bằng entropy von-Neumann. Để làm được điều này, trước tiên chúng ta phải phân vùng hệ thống thành hai hệ thống con A và B. Các trạng thái trong hệ thống con A và B được ký hiệu là |ψ⟩A và |ψ⟩B sao cho |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ A ⊗ |ψ⟩B . Ma trận mật độ giảm của hệ thống con A thu được bằng cách truy tìm bậc tự do của hệ thống con B và ngược lại.

Bây giờ, entropy von-Neumann được định nghĩa là:

Entropy vướng víu trong lý thuyết trường lượng tử (QFT): Không dễ để tính toán entropy vướng víu trong lý thuyết trường lượng tử (QFT) bằng cách phân tích hệ thống thành các hệ thống con vì không phải lúc nào cũng có thể nhân tử hóa trong QFT. Entropy vướng víu trong QFT được tính bằng thủ thuật sao chép. Đầu tiên, chúng ta hãy xác định entropy Renyi:

• Chúng ta cần tìm một bề mặt hai chiều đồng chiều (ϵA) trong khối Md+1 được neo trên ∂A.

• Có thể có nhiều bề mặt nhưng chúng ta phải xét đến bề mặt thỏa mãn ràng buộc tương đồng, tức là ϵA có thể co rút trơn tru về vùng biên A.

• Trong các bề mặt thỏa mãn ràng buộc tương đồng, ta cần chọn bề mặt có diện tích nhỏ nhất thì entropy vướng víu được xác định như sau:

Công thức Ryu-Takayangi có hạn chế nhất định, nó có thể áp dụng cho các nền không phụ thuộc vào thời gian. Đối với nền tảng phụ thuộc vào thời gian, người ta bắt buộc phải sử dụng công thức HRT [125] trong đó HRT là viết tắt của Hubney, Rangamani và Takayanagi. Các phép hiệu chỉnh lượng tử cho mọi thứ tự trong ℏ của công thức Ryu-Takayanagi được đưa vào [126] trong đó người ta yêu cầu phải cực trị entropy tổng quát. Các bề mặt cực trị entropy tổng quát được gọi là bề mặt cực trị lượng tử (QES). Nếu có nhiều hơn một bề mặt cực trị lượng tử thì chúng ta cần xét bề mặt có diện tích tối thiểu. Trong [6], các tác giả đã khái quát hóa quy định QES cho các bề mặt đảo nơi chúng ta bắt buộc phải cực trị entropy tổng quát giống như hàm bao gồm sự đóng góp từ các bề mặt đảo. Trong trường hợp này, các bề mặt cực trị được gọi là đảo cực trị lượng tử. Vì trong luận án này, chúng tôi giới hạn mình trong bối cảnh độc lập về thời gian và do đó chúng tôi sẽ không thảo luận về công thức HRT.

• Chúng ta hãy gọi mỗi số hạng là số hạng thứ α sau khi nhận được biểu thức cuối cùng của số hạng thứ hai thu được từ phép lấy vi phân Lagrangian đối với tensor Riemann hai lần.

• Chúng ta cần thực hiện các phép biến đổi sau trên một số thành phần của tensor Riemann:

Lý do để thảo luận về những đề xuất này là khi chúng ta tính toán đường cong Trang của các lỗ đen trong thiết lập ảnh ba chiều kép và ảnh ba chiều nêm thì những đề xuất này sẽ hữu ích. Entropy vướng víu ảnh ba chiều cũng đã được tính toán từ tenxơ ứng suất ảnh ba chiều và các số hạng bề mặt tương ứng trong [128] và [129].

5.2 Nghịch lý thông tin của Hawking và đường cong trang

Nghịch lý thông tin lỗ đen của Hawking là một câu đố lâu đời bắt đầu từ các bài báo của ông [130, 131]. Khi vật chất sụp đổ để tạo thành lỗ đen, toàn bộ vật chất được lưu trữ ở điểm kỳ dị. Đường chân trời của lỗ đen bao phủ điểm kỳ dị của lỗ đen. Ban đầu hệ ở trạng thái thuần khiết. Hawking đã nghiên cứu sự hình thành các hạt có năng lượng âm và dương theo cặp khi có hiệu ứng lượng tử, và ông phát hiện ra rằng một hạt có năng lượng âm bị mắc kẹt bên trong lỗ đen, trong khi hạt có năng lượng dương bị phân tán đến vô tận là thứ chúng ta nhận được trong bức xạ Hawking. Chúng ta có thể thu được bức xạ từ lỗ đen nhờ cơ học lượng tử, cho phép khả năng truyền lượng tử xuyên qua một rào cản tiềm năng. Trong trường hợp lỗ đen, đường chân trời đóng vai trò là rào cản tiềm năng. Hawking đã tính toán quang phổ của các hạt thoát ra khỏi lỗ đen và phát hiện ra rằng quang phổ hoạt động giống như phổ của bức xạ nhiệt với nhiệt độ được gọi là nhiệt độ Hawking, hàm ý một trạng thái hỗn hợp. Điều này có nghĩa là lỗ đen tiến hóa từ trạng thái thuần khiết sang trạng thái hỗn hợp, và do đó sự tiến hóa đơn nhất của cơ học lượng tử không được bảo toàn. Điều này dẫn đến “nghịch lý thông tin” nổi tiếng.

Page gợi ý rằng khi chúng ta tính đến các hiệu ứng lượng tử thì lỗ đen phải tuân theo quá trình tiến hóa đơn nhất [132]. Nếu chúng ta coi lỗ đen và vùng bức xạ là một hệ thống duy nhất thì người ta sẽ lấy đường cong Page để giải quyết nghịch lý. Đối với lỗ đen đang bay hơi, entropy vướng víu của bức xạ Hawking trước tiên tăng tuyến tính theo thời gian cho đến Page time và sau đó giảm về 0 [132]. Chúng ta quan tâm đến các lỗ đen vĩnh cửu, và đối với những chiếc cuốc đen này, thay vì giảm về 0 của entropy vướng víu, người ta thu được entropy vướng víu không đổi sau thời gian Page, và giá trị hằng số này bằng hai lần entropy nhiệt của màu đen hố.

Trong phần này của luận án, chúng tôi tập trung vào việc lấy đường cong Page của các lỗ đen vĩnh cửu bằng cách sử dụng các đề xuất gần đây được đưa ra trong tài liệu, ví dụ: đề xuất đảo, thiết lập ảnh ba chiều kép và ảnh ba chiều hình nêm. Ngoài việc có được đường cong Trang, chúng ta còn thu được các kết quả thú vị khác, sẽ được thảo luận trong các chương sắp tới.

5.3 Giải quyết nghịch lý thông tin từ ảnh ba chiều

Ba đề xuất sau đây có sẵn trong tài liệu bắt đầu với ý tưởng về ảnh ba chiều để giải quyết nghịch lý thông tin về lỗ đen.

5.3.1 Đề xuất đảo và phần mở rộng của nó thành HD Gravity

Các tác giả trong [6] đã đề xuất một phương pháp giải nghịch lý thông tin tương đương với việc lấy đường cong Trang. Ý tưởng là ở những thời điểm đầu, chúng ta chỉ nhận được sự đóng góp từ vùng bức xạ tạo ra phần phân kỳ của entropy vướng víu ở những thời điểm muộn vì entropy vướng víu của bức xạ Hawking hóa ra tỷ lệ thuận với thời gian. Theo [6] ở những thời điểm ban đầu, tình huống vẫn giữ nguyên trong khi ở những thời điểm muộn, phần bên trong của lỗ đen trở thành một phần của nêm vướng víu và do đó ở những thời điểm muộn, entropy vướng víu nhận được sự đóng góp từ bức xạ cũng như phần bên trong của lỗ đen. Phần bên trong lỗ đen góp phần tạo ra entropy vướng víu được gọi là “đảo”.

Quy tắc đảo được đề xuất từ một thiết lập trong đó chúng tôi kết hợp lỗ đen JT(Jackiw Teitelboim) đang bốc hơi cộng với vật chất phù hợp trên màng Planck với bể CFT hai chiều [6]. Lỗ đen được chứa trên màng Planck và bức xạ Hawking được thu thập trong bể điều chỉnh 2D. Thiết lập này có ba mô tả sau.

• Trọng lực 2D: Màng Planck được ghép với bể CFT bên ngoài, đóng vai trò là bể hấp thụ bức xạ Hawking.

• Trọng lực 3D: Lý thuyết trường bảo giác hai chiều có lực hấp dẫn kép ba chiều với số liệu AdS3 thông qua tương ứng AdS/CFT.

• QM: Ranh giới của bể CFT bên ngoài là một chiều nơi có cơ học lượng tử (QM).

Công thức đảo được rút ra từ tích phân đường hấp dẫn bằng cách sử dụng thủ thuật sao chép cho các lỗ đen JT đặc biệt trong [133, 134]. Các tác giả đã thu được đường cong Trang từ các yên ngựa bị ngắt kết nối và được kết nối. Người ta thu được sự phụ thuộc thời gian tuyến tính trong đường cong Trang từ các phần yên bị ngắt kết nối, trong khi các phần yên được kết nối tạo ra phần hữu hạn của đường cong Trang. Cuộc thảo luận trong [133] cũng đúng cho các lỗ sâu đục bản sao có n ranh giới. Entropy tổng quát khi có mặt đảo được viết như sau:

trong đó R, GN và I đại diện cho vùng bức xạ, hằng số Newton và bề mặt đảo. Phương trình (5.11) chứa hai số hạng: diện tích bề mặt đảo và sự đóng góp vật chất từ vùng bức xạ và vùng đảo. Từ (5.11), chúng ta dễ dàng thấy rằng khi không có bề mặt đảo thì S gen (r) = S matte r(R). Trong tài liệu đã chỉ ra rằng bề mặt đảo xuất hiện vào thời điểm muộn và do đó ban đầu người ta thu được sự phụ thuộc thời gian tuyến tính trong đường cong Trang và vào những thời điểm muộn, khi sự đóng góp của bề mặt đảo chiếm ưu thế thì người ta thu được sự giảm entropy vướng víu đối với màu đen bay hơi các lỗ trong khi phần không đổi (gấp đôi entropy nhiệt của chúng) dành cho các lỗ đen vĩnh cửu. Do đó, khi bao gồm những đóng góp này, chúng ta sẽ thu được đường cong Trang. Nếu có nhiều hơn một bề mặt đảo thì chúng ta phải xem xét bề mặt có diện tích tối thiểu. Chúng tôi đã thực hiện theo đề xuất này để thu được đường cong Page của lỗ đen Schwarzschild de-Sitter trong [12] và đã trình bày chi tiết ở chương 8 của luận án này. Xem [135–137] về việc áp dụng đề xuất đảo trong bối cảnh trọng lực JT và các vấn đề khác [138–140].

Đề xuất đảo đã được mở rộng để có được lực hấp dẫn phái sinh cao hơn trong [141]. Đề xuất hoàn toàn tương tự như [6] nhưng chúng ta phải thay số hạng thứ nhất của (5.11) bằng số hạng có thể cho thông tin về entropy vướng víu của đạo hàm hấp dẫn cao hơn và công thức tương tự đã được X. Dong đề xuất trong [127] và do đó đề xuất hòn đảo khi có số hạng đạo hàm cao hơn trong tác dụng hấp dẫn được viết là [141]

trong đó Smatter giống như chất S (R ∪ I) của (5.11) và trọng lực S sẽ được tính theo công thức Dong [127]. Đối với sự tương ứng AdSd+1/CF Td, công thức của Dong được đưa ra dưới đây[1].

Ở đâu

5.3.2 Thiết lập ảnh ba chiều kép

Thiết lập hình ba chiều kép là một thiết lập hay để tính toán đường cong Trang của các lỗ đen. Đúng như tên gọi của nó, nó là bản sao kép của hình ảnh ba chiều thông thường do J. Maldacena đề xuất. Đầu tiên, chúng ta cần lấy khối và cắt bớt hình học dọc theo một trong các tọa độ không gian [142, 143]. Bằng cách đó, người ta tạo ra hình học d chiều được nhúng trong khối (d + 1)- chiều. Hình học d chiều được gọi là brane tận cùng thế giới hay brane KarchRandall trong tài liệu, và ảnh ba chiều này được gọi là “ảnh ba chiều braneworld”. Thiết lập hình ba chiều kép có được bằng cách nối hai bản sao của mô hình Karch-Randall. Thiết lập bao gồm một lỗ đen vĩnh cửu sống trên màng và hai bể chứa nơi chúng ta có thể thu thập bức xạ Hawking. Hai bể này hoạt động như trạng thái kép của trường nhiệt vì chúng giống như hai bản sao của lý thuyết trường bảo giác biên (BCFT). Chúng ta hãy thảo luận về ảnh ba chiều kép trong bối cảnh tương ứng AdS d+1/BCFTd bằng cách sử dụng cách tiếp cận từ dưới lên và thiết lập được hiển thị trong hình 5.1.

Thiết lập ảnh ba chiều kép có ba mô tả được tóm tắt bên dưới.

• Mô tả ranh giới: BCFT d -chiều tại ranh giới bảo giác của AdS số lượng lớn d+1 . Biên của BCFTd là sai số chiều ( d − 1 ).

• Mô tả trung gian: Trọng lực ở màng tận cùng thế giới được ghép với BCFT thông qua điều kiện biên trong suốt tại khuyết tật.

• Mô tả hàng loạt: Đối tượng ba chiều của BCFTd là không thời gian AdSd+1 .

Mô tả trung gian là rất quan trọng để giải quyết nghịch lý thông tin. Bởi vì trong mô tả này, lỗ đen sống ở màng tận cùng thế giới kết hợp trực tiếp với bể CFT bên ngoài. Xác định S(R) là entropy von Neumann của tiểu vùng R trên lát thời gian không đổi trong mô tả 1. Người ta có thể thu được S(R) trong mô tả thứ hai từ quy tắc đảo [6]:

trong đó hàm entropy tổng quát (S gen (R ∪ I)) là [126]:

Thiết lập hình ba chiều kép là thuận lợi theo nghĩa là chúng ta có thể thu được S(R) rất dễ dàng bằng cách sử dụng công thức Ryu-Takayanagi cổ điển [107]. Khi khối có (d + 1) chiều thì [107]:

trong đó γ là đồng kích thước tối thiểu của hai bề mặt ở dạng khối.

Trong hình 5.1, có hai BCFT trên ranh giới bảo giác của khối. Đường thẳng đứng là màng tận cùng thế giới chứa lỗ đen. Bể CFT thu thập bức xạ Hawking do lỗ đen phát ra. Thiết lập này có hai bề mặt cực trị có thể có: Hartman-Maldacena [144] và bề mặt đảo. Bề mặt Hartman-Maldacena kết nối hai BCFT; nó bắt đầu ở bể CFT, vượt qua các chân trời, tiến đến bước ngoặt và sau đó gặp đối tác kép trường nhiệt của BCFT. Entropy vướng víu phân kỳ vào những thời điểm muộn đối với bề mặt Hartman-Maldacena, điều này hàm ý nghịch lý thông tin của Hawking. Bề mặt hòn đảo bắt đầu từ bể CFT bên ngoài và tiếp đất ở lớp màng tận cùng thế giới. Entropy vướng víu của bề mặt hòn đảo hóa ra là một giá trị không đổi (gấp đôi entropy nhiệt của lỗ đen). Do đó, người ta khôi phục đường cong Trang bằng cách kết hợp sự đóng góp của các entropy vướng víu của cả hai bề mặt cực trị này. Xem [7, 145–161] để biết thêm tài liệu về cách bố trí ảnh ba chiều kép.

Một số tác giả nhận thấy rằng trọng lực rất lớn trên màng tận cùng thế giới [162–165] khi chúng ta ghép màng với bể CFT bên ngoài. Trong một số bài báo, các tác giả đã chỉ ra rằng chúng ta có thể xây dựng bố cục hình ba chiều kép với lực hấp dẫn không có khối lượng trên màng [11, 154, 166, 167]. Chúng tôi đã xây dựng thiết lập hình ba chiều kép từ cách tiếp cận từ trên xuống trong [11] và chi tiết được đưa ra trong chương 7. Chúng tôi có một bể không tuân thủ (QCD2+1) và hình ba chiều kép là lý thuyết M bao gồm các hiệu chỉnh O(R4 ) [1]. Lý do tồn tại của graviton không khối lượng trong thiết lập của chúng tôi là vì chúng tôi yêu cầu hàm sóng của graviton phải được chuẩn hóa, lý do thứ hai là do điều kiện biên Dirichlet trên hàm sóng của graviton, và lý do thứ ba là do kết thúc đó. - màng của thế giới có sức căng khác 0 và do đó có thể định vị graviton trên màng ở trạng thái giống như “núi lửa”. Chúng tôi đã thu được đường cong Trang với lực hấp dẫn không có khối lượng trong thiết lập của mình, điều này là không thể thực hiện được trong các thiết lập hình ba chiều kép khác nếu không có thuật ngữ DGP. Một phương pháp thay thế để suy ra lực hấp dẫn không có khối lượng trên màng là đưa số hạng Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP) [168] lên màng [166].5.3.3 Phép chụp ba chiều hình nêm

5.3.3 Hình ba chiều nêm

Trong thiết lập hình ba chiều kép, bể ngoài là bể CFT cố định. Trong một số bài báo, người ta phát hiện ra rằng lực hấp dẫn rất lớn ở vùng tận cùng thế giới và quy định về hòn đảo không có giá trị đối với lực hấp dẫn không có khối lượng. Một số tác giả coi bồn tắm cũng có lực hấp dẫn [8, 9, 162, 169]. Thiết lập này được gọi là hình ảnh ba chiều hình nêm trong tài liệu. Người ta cũng lập luận rằng trong ảnh ba chiều hình nêm, bề mặt Hartman-Maldacena không tồn tại và do đó không có đường cong Trang trong ảnh ba chiều hình nêm. Trong [13], chúng tôi đã chỉ ra rằng entropy vướng víu của bề mặt HartmanMaldacena khác 0 đối với lỗ đen AdS và Schwarzschild và nó bằng 0 đối với lỗ đen de-Sitter. Điều này ngụ ý rằng người ta có thể có được đường cong Trang cho lỗ đen AdS và Schwarzschild nhưng không thể lấy được không gian khử Sitter bằng cách sử dụng hình ảnh ba chiều hình nêm. Xem Hình.5.2 để biết mô tả bằng hình ảnh của ảnh ba chiều hình nêm. Người ta có thể có được đường cong Trang hay không trong ảnh ba chiều hình nêm là một chủ đề gây tranh cãi. Một số tiến bộ theo hướng này đã được thực hiện trong [166]. Tác giả đã chỉ ra rằng chúng ta có thể có được đường cong Trang với trọng lực không khối lượng định vị trên màng Karch-Randall với điều kiện chúng ta phải đưa thuật ngữ DGP vào màng Karch-Randall, xem [170, 171] để phân tích chi tiết với các ví dụ .

Hãy xem xét hành động sau đây, [8, 9, 169], để mô tả mô tả toán học của ảnh ba chiều hình nêm:

Phương trình trên có nghiệm sau [9]:

Tương tự như ảnh ba chiều kép, ảnh ba chiều hình nêm cũng có ba mô tả:

• Mô tả ranh giới: BCF Td trên ranh giới bảo giác của AdSd+1 số lượng lớn với khuyết tật chiều ( d − 1 ).

• Mô tả trung gian: hai hệ trọng lực được kết nối với nhau thông qua điều kiện biên trong suốt tại khuyết tật.

• Mô tả tổng quát: đối ngẫu ba chiều của BCFTd là không thời gian hấp dẫn cổ điển AdSd+1 .

Từ điển hình ba chiều hình nêm cho khối ( d + 1)- chiều được phát biểu là: hình ba chiều kép của lý thuyết trường bảo giác khuyết tật hai chiều (d−1) là trọng lực cổ điển trong các chiều (d+1)- . Do đó, nó là hình ảnh ba chiều đồng chiều hai chiều. Bây giờ chúng ta hãy hiểu nhị nguyên này tồn tại như thế nào.

Hình ba chiều Braneworld [142,143] liên quan đến dòng thứ nhất và thứ hai trong khi sự tương ứng AdS/CFT [17] giữa trọng lực động trên màng Karch-Randall và CFT khuyết tật kết nối dòng thứ hai và thứ ba. Do đó, trọng lực cổ điển trong khối ( d + 1) gấp đôi CFTd−1 tại điểm khuyết. Hình ba chiều nêm giúp chúng ta có được đường cong Trang của các lỗ đen tương tự như thiết lập hình ba chiều kép được thảo luận trong 5.3.2. Người ta được yêu cầu tính toán các entropy vướng víu của bề mặt Hartman-Maldacena và hòn đảo và vẽ đồ thị của các entropy này theo thời gian sẽ cho đường cong Trang.

[1] Chúng ta đã viết công thức trong (5.1), ở đây chúng ta viết dạng hiệp biến của (5.1). Trong công thức này, a và i, j đại diện cho các hướng tiếp tuyến và pháp tuyến.