作者：  (1) Gopal Yadav，印度理工学院和金奈数学研究所物理系。 链接表 抽象的 致谢 第一部分 第一章：简介 第 2 章：IIA 型弦理论中的 SU(3) LEC 第 3 章：在不存在和存在旋转的情况下中间耦合的类热 QCD 理论中的解约束相变 第 4 章：结论和未来展望 第二部分 第 5 章：简介 第 6 章：高清引力中 Reissner-Nordström 黑洞的页面曲线 第 7 章：中间耦合处高于 Tc 的热 QCD 的 M 理论对偶的纠缠熵和页曲线 第8章：多事件视界时空中的黑洞岛 第9章：卡奇-兰德尔薄膜世界中的多元宇宙 第10章：结论和未来展望 附录A 附录B 附录C 参考书目 第二部分 (HD) 重力岛和多元宇宙 “上帝不掷骰子。” - 艾尔伯特爱因斯坦 “上帝不仅玩骰子，有时还会把骰子扔到看不见的地方。” ——史蒂芬·霍金 “如果上帝把骰子扔到看不见的地方，它们就不会影响我们。” ——唐·佩奇 第 5 章 - 简介 在本章中，我们介绍了理解信息悖论及其全息解决方案所需的材料。我们从5.1节中关于纠缠熵的讨论开始，我们在5.2节中讨论信息悖论和佩奇曲线，最后我们从5.3节中的岛提案、双全息装置和楔形全息讨论5.3节中信息悖论的解决。分别为1、5.3.2和5.3.3  5.1 全息纠缠熵：Ryu-Takayanagi 和 Dong 的提议 我们首先讨论量子力学系统中的纠缠熵。让我们考虑一个状态用 |ψ⟩ 表示的系统。系统的密度矩阵定义为：  量子力学中的纠缠熵（QM）： 纠缠熵是通过冯诺依曼熵来测量的。为此，首先我们必须将系统划分为两个子系统 A 和 B。子系统 A 和 B 中的状态由 |ψ⟩A 和 |ψ⟩B 表示，使得 |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ A ⊗ |ψ⟩B 。子系统 A 的约简密度矩阵是通过追踪子系统 B 的自由度获得的，反之亦然。  现在，冯诺依曼熵定义为：  通过将系统分解为子系统来计算量子场论 (QFT) 中的纠缠熵并不容易，因为在 QFT 中分解并不总是可能的。 QFT 中的纠缠熵是使用复制技巧计算的。首先，我们来定义 Renyi 熵：  量子场论 (QFT) 中的纠缠熵：  • 我们需要找出锚定在∂A 上的块体Md+1 中的余维二维曲面(ϵA)。  • 可能存在多种曲面，但我们必须考虑满足同源约束的曲面，即 ϵA 可以平滑地缩回到边界区域 A。  • 从满足同源约束的表面中，我们需要选择面积最小的表面，然后纠缠熵定义为：   Ryu-Takayangi公式有一定的局限性，它适用于与时间无关的背景。对于时间相关的背景，需要使用 HRT 公式 [125]，其中 HRT 代表 Hubney、Rangamani 和 Takayanagi。 [126] 中纳入了对 Ryu-Takayanagi 公式中 ℏ 中所有阶的量子修正，其中需要将广义熵极端化。使广义熵达到极值的表面称为量子极值表面（QES）。如果存在多个量子极值面，那么我们需要考虑面积最小的一个。在[6]中，作者将 QES 处方推广到岛表面，其中我们需要将广义熵类泛函极端化，其中包括岛表面的贡献。在这种情况下，极值表面被称为量子极值岛。由于在本文中，我们将自己限制在与时间无关的背景中，因此我们不会讨论 HRT 公式。   • 在得到第二项的最终表达式之后，让我们将每一项标记为第α项，该表达式是通过拉格朗日对黎曼张量的微分两次获得的。  • 我们需要对黎曼张量的某些分量执行以下变换：  讨论这些建议的原因是，当我们计算双全息装置和楔形全息中黑洞的佩奇曲线时，这些建议将是有用的。全息纠缠熵也分别根据[128]和[129]中的全息应力张量和表面项计算。  5.2 霍金信息悖论和页面曲线 霍金的黑洞信息悖论是一个长期的谜题，始于他的论文 [130, 131]。当物质坍缩形成黑洞时，整个物质都存储在奇点中。黑洞的视界覆盖了黑洞奇点。最初，系统处于纯净状态。霍金研究了在量子效应存在的情况下成对负能量和正能量粒子的产生，他发现具有负能量的粒子被困在黑洞内，而具有正能量的粒子被散射到无穷远，这就是我们所接收到的在霍金辐射中。由于量子力学，我们可以获得来自黑洞的辐射，这使得量子隧道穿过势垒成为可能。在黑洞的情况下，视界充当势垒。霍金计算了从黑洞中出来的粒子的光谱，发现该光谱表现为热辐射光谱，其温度称为霍金温度，这意味着混合态。这意味着黑洞从纯态演化到混合态，因此量子力学的幺正演化不被保留。这就导致了著名的“信息悖论”。 佩奇建议，当我们考虑量子效应时，黑洞必须遵循幺正演化[132]。如果我们将黑洞和辐射区视为一个单一系统，那么就应该得到佩奇曲线来解决这一悖论。对于蒸发黑洞，霍金辐射的纠缠熵首先随时间线性增加，直到佩奇时间，然后回落到零[132]。我们感兴趣的是永恒的黑洞，对于这些黑锄头来说，纠缠熵并没有降到零，而是在佩奇时间之后得到恒定的纠缠熵，这个常数值等于黑色热熵的两倍洞。 在论文的这一部分，我们重点关注利用文献中最近提出的建议来获得永恒黑洞的佩奇曲线，例如岛建议、双全息装置和楔形全息术。除了获得 Page 曲线之外，我们还获得了其他令人兴奋的结果，这些结果将在接下来的章节中讨论。  5.3 全息术解决信息悖论 文献中提供了以下三个建议，这些建议以全息术的思想为基础来解决黑洞信息悖论。  5.3.1 岛屿提案及其对 HD 重力的扩展 文献[6]中的作者提出了一种解决信息悖论的方法，相当于获取Page曲线。想法是，在早期，我们仅得到来自辐射区域的贡献，该辐射区域在后期给出了纠缠熵的发散部分，因为霍金辐射的纠缠熵与时间成正比。根据[6]，早期情况保持不变，而在晚期，黑洞内部成为纠缠楔的一部分，因此，在晚期，纠缠熵接收来自辐射以及黑洞内部的贡献。黑洞内部对纠缠熵有贡献的部分被称为“岛”。 岛法则是在我们将蒸发的 JT（Jackiw Teitelboim）黑洞加上普朗克膜上的共形物质与二维 CFT 浴耦合的设置中提出的 [6]。黑洞包含在普朗克膜上，霍金辐射被收集在二维共形浴中。该设置有以下三个描述。   普朗克膜与外部CFT 浴耦合，充当霍金辐射的接收器。 • 2D 重力：   二维共形场论具有通过AdS/CFT 对应的度量AdS3 的三维重力对偶。 • 3D 重力：   外部CFT 浴池的边界是一维的，存在量子力学(QM)。 • QM： 岛公式是使用[133, 134]中特殊JT黑洞的复制技巧从引力路径积分推导出来的。作者从断开和连接的鞍座中获得了 Page 曲线。我们可以从断开的鞍点获得 Page 曲线中的线性时间依赖性，而连接的鞍点则产生 Page 曲线的有限部分。 [133]的讨论也适用于具有 边界的复制虫洞。存在岛屿表面时的广义熵写为：  n 其中R、GN和I分别代表辐射区域、牛顿常数和岛面。方程（5.11）包含两项：岛屿表面积以及辐射和岛屿区域的物质贡献。从式（5.11）中，我们很容易看出，当岛面不存在时，S   (r) = S   r(R)。文献表明，岛面出现的时间较晚，因此一开始就获得了 Page 曲线中的线性时间依赖性，而在后期，当岛面的贡献占主导地位时，我们就获得了蒸发黑的纠缠熵的下降。洞，而永恒黑洞的常数部分（热熵的两倍）。因此，当我们包括这些贡献时，我们就得到了佩奇曲线。如果有多个岛表面，那么我们必须考虑面积最小的那个。我们按照这个建议在[12]中获得了史瓦西德西特黑洞的Page曲线，并在本文的第8章中进行了详细讨论。关于岛屿提案在 JT 重力和其他问题背景下的应用，请参阅[135-137][138-140]。 gen matte 在[141]中，岛屿提案被扩展为更高的导数引力。该提议与[6]完全相同，但我们必须用可以给出有关更高导数引力的纠缠熵信息的项替换（5.11）的第一项，其公式由X. Dong在[127]因此，在引力作用中存在更高导数项的情况下，岛屿提案被写为[141]  其中 Smatter 与 (5.11) 的 S (R ∪ I) 相同，S 将使用 Dong 公式 [127] 计算。对于 AdSd+1/CF Td 对应关系，Dong 公式如下[1]。  物质 引力 在哪里  5.3.2 双全息设置 双全息设置是计算黑洞佩奇曲线的一个很好的设置。顾名思义，它是 J. Maldacena 提出的常用全息术的双重副本。首先，我们需要沿着空间坐标之一截断几何体 [142, 143]。通过这样做，可以生成嵌入 (d + 1) 维块中的 d 维几何图形。 d维几何在文献中被称为世界末日膜或KarchRandall膜，这种全息术被称为“膜世界全息术”。双全息装置是通过连接两个 Karch-Randall 模型副本获得的。该装置包括一个生活在膜上的永恒黑洞和两个我们可以收集霍金辐射的浴池。这两个浴表现为热场双态，因为它们就像边界共形场理论 (BCFT) 的两个副本。让我们使用自下而上的方法在 AdS  对应的背景下讨论双全息，其设置如图 5.1 所示。 d+1/BCFTd 双全息设置具有以下总结的三个描述。   块体AdS  的共形边界处的 维BCFT。  的边界是 (   ) 维缺陷。 • 边界描述： d+1 d BCFTd d − 1   世界末日膜上的重力通过缺陷处的透明边界条件与BCFT 耦合。 • 中间描述：     的全息对偶是 时空。 • 整体描述： BCFTd AdSd+1 中间描述对于解决信息悖论非常关键。因为在这个描述中，生活在世界末日膜上的黑洞直接与外部 CFT 浴耦合。将S(R)定义为描述1中子区域R在恒定时间片上的冯·诺依曼熵。从岛规则[6]可以得到第二个描述中的S(R)：  其中广义熵泛函 (S   (R ∪ I)) 为 [126]：  gen 双全息设置的优势在于我们可以使用经典的 Ryu-Takayanagi 公式非常容易地获得  [107]。当体积为 (d + 1) 维时，则 [107]：  S(R) 其中 γ 是两个整体表面的最小共同维度。 在图 5.1 中，块体的共形边界上有两个 BCFT。垂直线是包含黑洞的世界末日膜。 CFT 浴收集黑洞发出的霍金辐射。该设置有两个可能的极值表面：Hartman-Maldacena [144] 和岛表面。 Hartman-Maldacena 曲面连接两个 BCFT；它从CFT浴开始，穿过地平线，到达转折点，然后与BCFT的热场双伙伴相遇。 Hartman-Maldacena 表面的纠缠熵在后期发散，这暗示了霍金的信息悖论。岛表面从外部 CFT 浴开始，到达世界末日膜上。岛表面的纠缠熵结果是一个恒定值（黑洞热熵的两倍）。因此，我们可以通过结合这两个极值表面的纠缠熵的贡献来恢复佩奇曲线。有关双全息设置的大量文献，请参阅 [7, 145–161]。 一些作者发现，当我们将膜与外部 CFT 浴耦合时，世界末日膜上的重力很大 [162-165]。在一些论文中，作者表明我们可以在膜上构建具有无质量重力的双全息装置[11,154,166,167]。我们在[11]中从自上而下的方法构建了双全息设置，详细信息在第7章中给出。我们有一个非共形浴（QCD2+1），全息对偶是包含O（R4）校正的M理论[1]。我们的设置中存在无质量引力子的原因是我们需要对引力子的波函数进行归一化，第二个原因是由于引力子波函数的狄利克雷边界条件，第三个原因是世界上的膜具有非零张力，因此引力子可以在膜上以“火山”般的势能定位。我们在我们的设置中获得了无质量重力的佩奇曲线，这在没有 DGP 项的其他双全息设置中是不可能的。推断膜上无质量重力的一种替代方法是在膜上包含 Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP) 项 [168] [166]。5.3.3 楔形全息术 5.3.3 楔形全息术 在双全息装置中，外部浴是固定的 CFT 浴。在一些论文中，发现世界末日膜上的重力很大，而岛屿处方在无质量重力下无效。一些作者认为浴缸也具有引力 [8,9,162,169]。这种设置在文献中被称为楔形全息术。还有人认为，在楔形全息术中，哈特曼-马尔达塞纳曲面不存在，因此楔形全息术中不存在佩奇曲线。在[13]中，我们证明了AdS和Schwarzschild黑洞的HartmanMaldacena表面的纠缠熵不为零，而de-Sitter黑洞的纠缠熵为零。这意味着人们可以获得 AdS 和 Schwarzschild 黑洞的 Page 曲线，但不能使用楔形全息术获得 de-Sitter 空间的 Page 曲线。楔形全息图的图示说明见图5.2。在楔形全息术中能否得到佩吉曲线是一个有争议的话题。 [166]在这个方向上取得了一些进展。作者证明，只要在 Karch-Randall 膜上包含 DGP 项，就可以得到位于 Karch-Randall 膜上无质量重力的 Page 曲线，具体分析示例参见[170, 171] 。  考虑以下操作，[8,9,169]，来描述楔形全息术的数学描述：  上式有如下解[9]：  与双全息类似，楔形全息也有以下三种描述：   具有(   ) 维缺陷的块体 的共形边界上的BCF Td。 • 边界描述： d − 1 AdSd+1   两个引力系统通过缺陷处的透明边界条件相互连接。 • 中间描述：     的全息对偶是经典引力 时空。 • 整体描述： BCFTd AdSd+1  (   +1)维体的楔形全息字典表述为：  。因此它是共维二维全息术。现在让我们了解这种二元性是如何存在的。  d (d−1)维缺陷共形场理论的全息对偶是(d+1)维中的经典引力  Braneworld 全息术 [142,143] 连接第一条线和第二条线，而 Karch-Randall 膜上的动态重力和缺陷 CFT 之间的 AdS/CFT 对应关系 [17] 连接第二条线和第三条线。因此，(   + 1) 体积 。楔形全息术帮助我们获得类似于 5.3.2 中讨论的双全息设置的黑洞佩奇曲线。需要计算 Hartman-Maldacena 和岛表面的纠缠熵，并且这些熵随时间的变化图将给出 Page 曲线。 d 中的经典引力与 缺陷处的 CFTd−1 是对偶的  [1] 我们已经写出了(5.1)中的公式，这里我们写出(5.1)的协变形式。式中，a和i、j分别代表切线方向和法线方向。 本文可在 CC 4.0 许可下 。 在 arxiv 上获取

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