Autores:  (1) Gopal Yadav, Departamento de Física, Instituto Indiano de Tecnologia e Instituto de Matemática de Chennai.  Tabela de Links   Abstrato   Reconhecimento   PARTE I   Capítulo 1 Introdução   Capítulo 2: LECs SU(3) da Teoria das Cordas Tipo IIA   Capítulo 3: Transição de Fase de Desconfinamento em Teorias Térmicas do Tipo QCD em Acoplamento Intermediário na Ausência e Presença de Rotação   Capítulo 4: Conclusão e Perspectivas Futuras   PARTE II   Capítulo 5: Introdução   Capítulo 6: Curvas de página do buraco negro de Reissner-Nordström em gravidade HD   Capítulo 7: Entropia de Emaranhamento e Curva de Página da Teoria M Dual da QCD Térmica Acima de Tc no Acoplamento Intermediário   Capítulo 8: Ilhas de Buracos Negros em Espaços-Tempos Horizonte Multi-Eventos   Capítulo 9: Multiverso em Karch-Randall Braneworld   Capítulo 10: Conclusão e Perspectivas Futuras   APÊNDICE A   APÊNDICE B   APÊNDICE C   Bibliografia  Parte II (HD) Ilhas Gravitacionais e Multiverso  “Deus não joga dados.” - Albert Einstein  “Deus não apenas joga dados, ele às vezes joga os dados onde eles não podem ser vistos.” -Stephen Hawking  “Se Deus jogar dados onde eles não podem ser vistos, eles não poderão nos afetar.” - Don Página  CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO  Neste capítulo, apresentamos a introdução dos materiais necessários para compreender o paradoxo da informação e sua resolução a partir da holografia. Começamos com a discussão sobre entropia de emaranhamento na seção 5.1, discutimos o paradoxo da informação e a curva de Page na seção 5.2 e finalmente discutimos a resolução do paradoxo da informação em 5.3 a partir da proposta de ilha, configuração duplamente holográfica e holografia em cunha em 5.3. 1, 5.3.2 e 5.3.3 respectivamente  5.1 Entropia de Emaranhamento Holográfico: Propostas de Ryu-Takayanagi e Dong    Vamos primeiro discutir a entropia de emaranhamento no sistema de mecânica quântica. Consideremos um sistema cujo estado é denotado por |ψ⟩. A matriz de densidade do sistema é definida como:  Entropia de emaranhamento na mecânica quântica (QM):  A entropia de emaranhamento é medida pela entropia de von-Neumann. Para isso, primeiro temos que particionar o sistema em dois subsistemas A e B. Os estados nos subsistemas A e B são denotados por |ψ⟩A e |ψ⟩B de modo que |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ A ⊗ |ψ⟩B . A matriz de densidade reduzida do subsistema A é obtida traçando-se os graus de liberdade do subsistema B e vice-versa.   Agora, a entropia de von-Neumann é definida como:     Não é fácil calcular a entropia de emaranhamento nas teorias quânticas de campos (QFTs) fatorando o sistema em subsistemas porque a fatoração nem sempre é possível em QFTs. A entropia de emaranhamento em QFT é calculada usando o truque da réplica. Primeiro, vamos definir a entropia de Renyi:  Entropia de emaranhamento na teoria quântica de campos (QFT):  • Precisamos descobrir uma superfície de co-dimensão dois (ϵA) no volume Md+1 que está ancorado em ∂A.  • Existe a possibilidade de muitas superfícies mas temos que considerar aquela que satisfaz a restrição de homologia, ou seja, ϵA é suavemente retrátil para a região limite A.  • Das superfícies que satisfazem a restrição de homologia, precisamos escolher aquela com a área mínima, então a entropia de emaranhamento é definida como:   A fórmula Ryu-Takayangi tem certas limitações, é aplicável a origens independentes do tempo. Para o histórico dependente do tempo, é necessário usar a fórmula HRT [125], onde HRT significa Hubney, Rangamani e Takayanagi. Correções quânticas para toda a ordem em ℏ da fórmula Ryu-Takayanagi foram incorporadas em [126], onde é necessário extremor a entropia generalizada. Superfícies que extremam a entropia generalizada são conhecidas como superfícies quânticas extremas (QES). Se houver mais de uma superfície quântica extrema, precisamos considerar aquela com área mínima. Em [6], os autores generalizaram a prescrição QES para superfícies de ilhas onde somos obrigados a extremor a entropia generalizada como funcional que inclui a contribuição das superfícies de ilhas. Neste caso, as superfícies extremas são conhecidas como ilhas extremais quânticas. Visto que, nesta tese, estamos nos limitando aos antecedentes independentes do tempo e, portanto, não discutiremos a fórmula HRT.   • Vamos rotular cada termo como α-ésimo termo após obter a expressão final do segundo termo que é obtida da diferenciação do Lagrangiano em relação ao tensor de Riemann duas vezes.  • Precisamos realizar as seguintes transformações em certas componentes dos tensores de Riemann:   A razão para discutir estas propostas é que quando calcularmos a curva de Page dos buracos negros em configuração duplamente holográfica e holografia em cunha, então estas propostas serão úteis. A entropia de emaranhamento holográfico também foi calculada a partir do tensor de tensão holográfico e dos termos de superfície em [128] e [129], respectivamente.  5.2 Paradoxo da Informação de Hawking e Curva de Página  O paradoxo da informação do buraco negro de Hawking é um enigma de longa data que começou com seus artigos [130, 131]. Quando a matéria entra em colapso para formar um buraco negro, toda a matéria é armazenada na singularidade. O horizonte do buraco negro cobre a singularidade do buraco negro. Inicialmente, o sistema está em estado puro. Hawking estudou a criação de partículas em pares com energia negativa e positiva na presença de efeitos quânticos e descobriu que uma partícula com energia negativa fica presa dentro do buraco negro, enquanto a partícula com energia positiva espalhada ao infinito é o que recebemos na radiação Hawking. Podemos obter a radiação do buraco negro devido à mecânica quântica, que permite a possibilidade de tunelamento quântico através de uma barreira de potencial. No caso de um buraco negro, o horizonte atua como barreira de potencial. Hawking calculou o espectro das partículas que saem do buraco negro e descobriu que o espectro se comporta como o espectro da radiação térmica com uma temperatura conhecida como temperatura de Hawking, o que implica um estado misto. Isto significa que o buraco negro evolui do estado puro para o estado misto e, portanto, a evolução unitária da mecânica quântica não é preservada. Isto leva ao famoso “paradoxo da informação”.  Page sugeriu que quando incluímos os efeitos quânticos, então o buraco negro deve seguir a evolução unitária [132]. Se considerarmos o buraco negro e a região de radiação como um sistema único, então deveríamos obter a curva de Page para resolver o paradoxo. Para o buraco negro em evaporação, a entropia de emaranhamento da radiação Hawking primeiro aumenta linearmente com o tempo até o tempo de Page e depois cai para zero [132]. Estamos interessados em buracos negros eternos, e para essas enxadas negras, em vez de cair a zero da entropia de emaranhamento, obtém-se a entropia de emaranhamento constante após o tempo de Page, e esse valor constante é igual ao dobro da entropia térmica do negro. buracos.  Nesta parte da tese, nos concentramos em obter a curva de Page de buracos negros eternos usando as propostas recentes dadas na literatura, por exemplo, proposta de ilha, configuração duplamente holográfica e holografia em cunha. Além de obter a curva de Page, também obtivemos outros resultados interessantes, que serão discutidos nos próximos capítulos.  5.3 Resolução do Paradoxo Informacional da Holografia  A seguir três propostas estão disponíveis na literatura que começaram com a ideia da holografia para resolver o paradoxo da informação do buraco negro.  5.3.1 Proposta de Ilha e sua Extensão para Gravidade HD  Os autores em [6] propuseram um método para resolver o paradoxo da informação que equivale a obter a curva de Page. A idéia é que nos primeiros tempos obtemos apenas a contribuição da região de radiação que fornece a parte divergente da entropia de emaranhamento nos últimos tempos, porque a entropia de emaranhamento da radiação de Hawking acaba sendo proporcional ao tempo. De acordo com [6], nos primeiros tempos a situação permanece a mesma, enquanto nos últimos tempos o interior dos buracos negros torna-se parte da cunha de emaranhamento e, portanto, nos últimos tempos a entropia do emaranhamento recebe as contribuições da radiação, bem como do interior dos buracos negros. A parte do interior dos buracos negros que contribui para a entropia do emaranhamento é conhecida como “ilha”.  A regra da ilha foi proposta a partir de uma configuração onde acoplamos o buraco negro JT (Jackiw Teitelboim) em evaporação mais matéria conformada na brana de Planck com o banho CFT bidimensional [6]. O buraco negro está contido na brana de Planck e a radiação Hawking é coletada no banho conformal 2D. Esta configuração tem as três descrições a seguir.    A brana de Planck é acoplada ao banho CFT externo, que atua como coletor da radiação Hawking. • Gravidade 2D:    A teoria do campo conforme bidimensional tem a gravidade tridimensional dual com a métrica AdS3 via correspondência AdS/CFT. • Gravidade 3D:    O limite do banho CFT externo é unidimensional onde a mecânica quântica (QM) está presente. • QM:  A fórmula da ilha foi derivada da integral do caminho gravitacional usando o truque de réplica para buracos negros JT especiais em [133, 134]. Os autores obtiveram a curva de Page das selas desconectadas e conectadas. Obtém-se a dependência linear do tempo na curva de Page a partir das selas desconectadas, enquanto as selas conectadas produzem a parte finita da curva de Page. A discussão de [133] também vale para as réplicas de buracos de minhoca com   limites. A entropia generalizada na presença de superfície insular é escrita da seguinte forma:  n  onde R, GN e I representam a região de radiação, a constante de Newton e a superfície da ilha. A equação (5.11) contém dois termos: a área da superfície da ilha e a contribuição de matéria da radiação e das regiões insulares. Em (5.11), podemos ver facilmente que quando a superfície da ilha está ausente então S   (r) = S   r(R). Foi demonstrado na literatura que a superfície da ilha emerge em tempos tardios e, portanto, inicialmente obtém-se a dependência linear do tempo na curva de Page e em tempos tardios, quando a contribuição da superfície da ilha domina, obtém-se a queda da entropia de emaranhamento para o negro em evaporação. buracos enquanto parte constante (duas vezes de suas entropias térmicas) para os buracos negros eternos. Assim, quando incluímos essas contribuições, obtemos a curva de Page. Se houver mais de uma superfície de ilha, devemos considerar aquela com área mínima. Seguimos esta proposta para obter a curva de Page do buraco negro de Schwarzschild de-Sitter em [12] e discutida em detalhes no capítulo 8 desta tese. Ver [135–137] para a aplicação da proposta de ilha no contexto da gravidade JT e outras questões [138–140]. gen mate  A proposta da ilha foi estendida para gravidade derivada mais alta em [141]. A proposta é exatamente semelhante a [6], mas temos que substituir o primeiro termo de (5.11) pelo termo que pode fornecer a informação sobre a entropia de emaranhamento de gravidade derivada superior e a fórmula para o mesmo foi proposta por X. Dong em [127] e, portanto, a proposta da ilha na presença de termos derivados superiores na ação gravitacional é escrita como [141]   onde Smatter é igual à   S (R ∪ I) de (5.11) e   S será calculada usando a fórmula de Dong [127]. Para a correspondência AdSd+1/CF Td as fórmulas de Dong são fornecidas abaixo[1].  matéria a gravidade  onde   5.3.2 Configuração duplamente holográfica  A configuração duplamente holográfica é uma boa configuração para calcular a curva de Page dos buracos negros. Como o próprio nome sugere, é a cópia dupla da holografia usual proposta por J. Maldacena. Primeiro, precisamos pegar o volume e truncar a geometria ao longo de uma das coordenadas espaciais [142, 143]. Ao fazer isso, gera-se geometria d-dimensional incorporada no volume (d + 1) dimensional. A geometria d-dimensional é conhecida como brana do fim do mundo ou brana KarchRandall na literatura, e esta holografia é chamada de “holografia do mundo brana”. A configuração duplamente holográfica é obtida pela união das duas cópias do modelo Karch-Randall. A configuração consiste em um buraco negro eterno que vive na brana e em dois banhos onde podemos coletar a radiação Hawking. Esses dois banhos se comportam como estados duplos de campo térmico porque são como duas cópias da teoria do campo conforme de contorno (BCFT). Vamos discutir a dupla holografia no contexto da correspondência AdS   usando uma abordagem bottom-up, e a configuração é mostrada na figura 5.1. d+1/BCFTd  A configuração duplamente holográfica tem as três descrições resumidas abaixo.    BCFT   -dimensional no limite conforme do AdS   em massa. O limite de   é o defeito dimensional (   ). • Descrição do limite: d d+1 BCFTd d − 1    A gravidade na brana do fim do mundo é acoplada ao BCFT através de condição de contorno transparente no defeito. • Descrição intermediária:    O dual holográfico de   é o espaço-tempo   . • Descrição em massa: BCFTd AdSd+1  A descrição intermediária é crucial para resolver o paradoxo da informação. Porque nesta descrição o buraco negro que vive na brana do fim do mundo acopla-se diretamente ao banho CFT externo. Defina S(R) como a entropia de von Neumann da sub-região R em um intervalo de tempo constante na descrição 1. Pode-se obter o S(R) na segunda descrição a partir da regra da ilha [6]:   onde funcional de entropia generalizada (S   (R ∪ I)) é [126]:  gen  Uma configuração duplamente holográfica é vantajosa no sentido de que podemos obter   muito facilmente usando a fórmula clássica de Ryu-Takayanagi [107]. Quando o volume é (d + 1) dimensional então [107]:  S(R)  onde γ é a co-dimensão mínima de duas superfícies em massa.  Na figura 5.1, existem dois BCFTs no limite conforme do volume. A linha vertical é a brana do fim do mundo que contém o buraco negro. O banho CFT coleta a radiação Hawking emitida pelo buraco negro. Esta configuração possui duas superfícies extremas possíveis: Hartman-Maldacena [144] e superfícies insulares. A superfície Hartman-Maldacena conecta os dois BCFTs; começa no banho CFT, atravessa os horizontes, chega ao ponto de inflexão e depois encontra o duplo parceiro termocampo do BCFT. A entropia de emaranhamento é divergente ultimamente para a superfície Hartman-Maldacena, o que implica o paradoxo da informação de Hawking. A superfície da ilha começa no banho CFT externo e pousa na brana do fim do mundo. A entropia de emaranhamento da superfície da ilha revela-se um valor constante (o dobro da entropia térmica do buraco negro). Portanto, recupera-se a curva de Page combinando as contribuições das entropias de emaranhamento de ambas as superfícies extremas. Veja [7, 145–161] para a extensa literatura sobre a configuração duplamente holográfica.  Alguns autores descobriram que a gravidade é enorme na brana do fim do mundo [162–165] quando acoplamos a brana ao banho externo de CFT. Em alguns artigos, foi demonstrado pelos autores que poderíamos construir a configuração duplamente holográfica com gravidade sem massa na brana [11, 154, 166, 167]. Construímos a configuração duplamente holográfica a partir de uma abordagem de cima para baixo em [11] e os detalhes são fornecidos no capítulo 7. Temos um banho não conforme (QCD2+1) e o dual holográfico é a teoria M incluindo correções O(R4). [1]. A razão para a existência de um gráviton sem massa em nossa configuração é que exigimos que a função de onda do gráviton fosse normalizada, a segunda razão é devido à condição de contorno de Dirichlet na função de onda do gráviton, e a terceira razão é que final A brana do mundo tinha tensão diferente de zero e, portanto, a localização do gráviton é possível na brana em um potencial semelhante a um “vulcão”. Obtivemos a curva de Page com gravidade sem massa em nossa configuração, o que era impossível em outras configurações duplamente holográficas sem o termo DGP. Um método alternativo para deduzir a gravidade sem massa na brana é incluir o termo Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP) [168] na brana [166].5.3.3 Holografia em Cunha  5.3.3 Holografia em Cunha  Na configuração duplamente holográfica, o banho externo é um banho CFT fixo. Em alguns artigos, descobriu-se que a gravidade é massiva na brana do fim do mundo e a prescrição da ilha não é válida na gravidade sem massa. Alguns dos autores consideraram o banho também gravitante [8, 9, 162, 169]. Esta configuração é conhecida como holografia em cunha na literatura. Também foi argumentado que na holografia em cunha, a superfície Hartman-Maldacena não existe e, portanto, não há curva de Page na holografia em cunha. Em [13], mostramos que a entropia de emaranhamento da superfície HartmanMaldacena é diferente de zero para o buraco negro AdS e Schwarzschild e é zero para o buraco negro de-Sitter. Isso implica que seria possível obter a curva de Page para o buraco negro AdS e Schwarzschild, mas não para o espaço de-Sitter usando holografia em cunha. Veja a Fig.5.2 para a descrição pictórica da holografia em cunha. Pode-se obter ou não a curva de Page na holografia em cunha é um tema discutível. Algum progresso nesta direção foi feito em [166]. Foi demonstrado pelo autor que podemos obter a curva de Page com gravidade sem massa localizada na brana de Karch-Randall, desde que incluamos o termo DGP na brana de Karch-Randall, consulte [170, 171] para a análise detalhada com exemplos .   Leve em consideração a seguinte ação, [8, 9, 169], para descrever a descrição matemática da holografia em cunha:   A equação acima tem a seguinte solução [9]:   Semelhante à holografia dupla, a holografia em cunha também tem três descrições:    BCF Td no limite conforme do volume   com o defeito dimensional (   ). • Descrição do limite: AdSd+1 d − 1    dois sistemas gravitacionais estão conectados entre si através da condição de contorno transparente no defeito. • Descrição intermediária:    o dual holográfico de   é a gravidade clássica   espaço-tempo. • Descrição em massa: BCFTd AdSd+1  O dicionário holográfico de cunha para o volume dimensional (   + 1) é declarado como:   . Portanto, é uma holografia de co-dimensão dois. Agora vamos entender como essa dualidade existe.  d dual holográfico da teoria do campo conformal de defeito (d−1) dimensional é a gravidade clássica em dimensões (d+1)  A holografia Braneworld [142,143] relaciona a primeira e a segunda linha, enquanto a correspondência AdS/CFT [17] entre a gravidade dinâmica na brana de Karch-Randall e o defeito CFT conecta a segunda e a terceira linha. Portanto,   volume (   + 1)     A holografia em cunha nos ajuda a obter a curva de página dos buracos negros, semelhante à configuração duplamente holográfica discutida em 5.3.2. É necessário calcular as entropias de emaranhamento de Hartman-Maldacena e das superfícies das ilhas e o gráfico dessas entropias com o tempo fornecerá a curva de Page. a gravidade clássica no d é dual para CFTd−1 no defeito.  [1] Já escrevemos a fórmula em (5.1), aqui estamos escrevendo a forma covariante de (5.1). Nesta fórmula, a e i, j representam as direções tangencial e normal.  Este artigo está   sob licença CC 4.0. disponível no arxiv

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