저자:  (1) Gopal Yadav, 인도 공과 대학 및 Chennai 수학 연구소 물리학과.  링크 표   추상적인   승인   1부   1 장 소개   2장: 유형 IIA 끈 이론의 SU(3) LEC   3장: 회전이 없을 때와 있을 때의 중간 결합에서 열 QCD 유사 이론의 구속 해제 위상 전이   제4장 결론 및 향후 전망   2부   5장: 소개   6장: HD 중력에서 Reissner-Nordström 블랙홀의 페이지 곡선   7장: 중간 결합에서 Tc 이상 열 QCD의 M 이론 이중에서 얻은 얽힘 엔트로피와 페이지 곡선   8장: 다중 사건 지평선 시공간에서의 블랙홀 섬   9장: Karch-Randall Braneworld의 다중우주   제10장 결론 및 향후 전망   부록   부록 B   부록 C   서지  2부(HD) 중력 섬 및 다중우주  “신은 주사위 놀이를 하지 않습니다.” - 알버트 아인슈타인  “신은 주사위를 굴릴 뿐만 아니라 때로는 눈에 띄지 않는 곳에 주사위를 던집니다.” - 스티븐 호킹  “신이 눈에 보이지 않는 곳에 주사위를 던지면 우리에게 영향을 미칠 수 없습니다.” - 돈 페이지  5장 - 소개  이번 장에서는 정보 역설을 이해하고 홀로그래피를 통해 해결하는 데 필요한 자료를 소개합니다. 섹션 5.1에서 얽힘 엔트로피에 대한 논의로 시작하고, 섹션 5.2에서 정보 역설과 페이지 곡선을 논의하고, 마지막으로 5.3의 아일랜드 제안, 이중 홀로그램 설정 및 쐐기 홀로그래피로부터 5.3의 정보 역설의 해결에 대해 논의합니다. 1, 5.3.2 및 5.3.3 각각  5.1 홀로그램 얽힘 엔트로피: 류-타카야나기와 동의 제안    먼저 양자역학 시스템의 얽힘 엔트로피에 대해 논의하겠습니다. 상태가 |ψ⟩로 표시되는 시스템을 고려해 보겠습니다. 시스템의 밀도 매트릭스는 다음과 같이 정의됩니다.  양자역학(QM)의 얽힘 엔트로피:  얽힘 엔트로피는 폰-노이만 엔트로피로 측정됩니다. 이를 위해 먼저 시스템을 두 개의 하위 시스템 A와 B로 분할해야 합니다. 하위 시스템 A와 B의 상태는 |ψ⟩A 및 |ψ⟩B로 표시되어 |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ A ⊗ |ψ⟩B . 하위 시스템 A의 감소된 밀도 행렬은 하위 시스템 B의 자유도를 추적하여 얻고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.   이제 von-Neumann 엔트로피는 다음과 같이 정의됩니다.     에서는 인수분해가 항상 가능한 것은 아니기 때문에 시스템을 하위 시스템으로 인수분해하여 양자장 이론(QFT)에서 얽힘 엔트로피를 계산하는 것은 쉽지 않습니다. QFT의 얽힘 엔트로피는 복제 트릭을 사용하여 계산됩니다. 먼저 Renyi 엔트로피를 정의해 보겠습니다.  양자장 이론(QFT)의 얽힘 엔트로피: QFT  • ∂A에 고정된 벌크 Md+1에서 동일 차원의 두 표면(ϵA)을 찾아야 합니다.  • 많은 표면이 있을 가능성이 있지만 상동성 제약 조건을 만족하는 표면, 즉 ϵA가 경계 영역 A로 부드럽게 후퇴할 수 있는 표면을 고려해야 합니다.  • 상동성 제약을 만족하는 표면 중에서 최소 면적을 가진 표면을 선택해야 하며 얽힘 엔트로피는 다음과 같이 정의됩니다.   Ryu-Takayangi 공식에는 특정 제한이 있으므로 시간 독립적인 배경에 적용할 수 있습니다. 시간 의존적 배경의 경우 HRT 공식[125]을 사용해야 합니다. 여기서 HRT는 Hubney, Rangamani 및 Takayanagi를 나타냅니다. Ryu-Takayanagi 공식에 대한 ℏ의 모든 차수에 대한 양자 보정은 일반화된 엔트로피를 극한화하는 데 필요한 [126]에 통합되었습니다. 일반화된 엔트로피를 극단화하는 표면을 양자 극단 표면(QES)이라고 합니다. 양자 극단 표면이 두 개 이상 있는 경우 면적이 최소인 표면을 고려해야 합니다. [6]에서 저자는 섬 표면의 기여를 포함하는 함수와 같은 일반화된 엔트로피를 극단화해야 하는 섬 표면에 대한 QES 처방을 일반화했습니다. 이 경우 극한 표면은 양자 극단 섬으로 알려져 있습니다. 이 논문에서는 시간 독립적인 배경에만 국한되므로 HRT 공식에 대해서는 논의하지 않습니다.   • 리만 텐서에 대한 라그랑지안의 미분을 2번 수행하여 얻은 두 번째 항의 최종 수식을 구한 후 각 항을 α번째 항으로 표기한다.  • 리만 텐서의 특정 구성 요소에 대해 다음 변환을 수행해야 합니다.   이러한 제안을 논의하는 이유는 이중 홀로그램 설정 및 쐐기 홀로그래피에서 블랙홀의 페이지 곡선을 계산할 때 이러한 제안이 유용할 것이기 때문입니다. 홀로그램 얽힘 엔트로피는 각각 [128] 및 [129]의 홀로그램 응력 텐서 및 표면 항으로부터 계산되었습니다.  5.2 호킹의 정보 역설과 페이지 곡선  호킹의 블랙홀 정보 역설은 그의 논문에서 시작된 오랜 퍼즐이다[130, 131]. 물질이 붕괴하여 블랙홀을 형성하면 물질 전체가 특이점에 저장됩니다. 블랙홀의 지평선은 블랙홀 특이점을 덮고 있습니다. 처음에 시스템은 순수한 상태입니다. 호킹은 양자효과가 있을 때 음에너지와 양에너지가 짝을 이루는 입자의 생성을 연구했는데, 음에너지를 가진 입자는 블랙홀 내부에 갇히고, 양에너지를 가진 입자는 무한히 흩어지는 것을 발견했습니다. 호킹 방사선에서. 우리는 양자 역학으로 인해 블랙홀에서 방사선을 얻을 수 있으며, 이는 전위 장벽을 통한 양자 터널링의 가능성을 허용합니다. 블랙홀의 경우 지평선은 잠재적 장벽 역할을 합니다. 호킹은 블랙홀에서 나오는 입자의 스펙트럼을 계산하고 그 스펙트럼이 혼합 상태를 의미하는 호킹 온도라고 알려진 온도의 열복사 스펙트럼처럼 거동한다는 사실을 발견했습니다. 이는 블랙홀이 순수 상태에서 혼합 상태로 진화하므로 양자역학의 단일진화는 보존되지 않는다는 것을 의미한다. 이는 그 유명한 '정보 역설'로 이어진다.  페이지는 우리가 양자 효과를 포함할 때 블랙홀이 단일 진화를 따라야 한다고 제안했습니다[132]. 블랙홀과 복사 영역을 단일 시스템으로 간주하면 역설을 해결하려면 페이지 곡선을 얻어야 합니다. 증발하는 블랙홀의 경우 호킹 복사의 얽힘 엔트로피는 먼저 페이지 시간까지 시간에 따라 선형적으로 증가한 다음 다시 0으로 떨어집니다[132]. 우리는 영원한 블랙홀에 관심이 있으며, 이러한 블랙괭이의 경우 얽힘 엔트로피가 0으로 떨어지는 대신 페이지 시간 이후에 일정한 얽힘 엔트로피를 얻습니다. 이 상수 값은 검은색 열 엔트로피의 두 배와 같습니다. 구멍.  논문의 이 부분에서 우리는 문헌에 제시된 최근 제안(예: 섬 제안, 이중 홀로그램 설정 및 쐐기 홀로그래피)을 사용하여 영원한 블랙홀의 페이지 곡선을 얻는 데 중점을 둡니다. 페이지 곡선을 얻는 것 외에도 우리는 다음 장에서 논의할 다른 흥미로운 결과도 얻었습니다.  5.3 홀로그래피의 정보 역설 해결  블랙홀 정보 역설을 해결하기 위해 홀로그래피 아이디어에서 시작된 문헌에는 다음과 같은 세 가지 제안이 있습니다.  5.3.1 섬 제안 및 HD 중력 확장  [6]의 저자들은 페이지 곡선을 얻는 것과 동일한 정보 역설을 해결하는 방법을 제안했습니다. 아이디어는 호킹 복사의 얽힘 엔트로피가 시간에 비례하는 것으로 밝혀지기 때문에 초기에는 얽힘 엔트로피의 발산 부분을 제공하는 복사 영역에서만 기여한다는 것입니다. [6]에 따르면 초기 상황은 동일하게 유지되는 반면, 후기에는 블랙홀 내부가 얽힘 쐐기의 일부가 되므로 후기에는 얽힘 엔트로피가 블랙홀 내부뿐만 아니라 복사로부터도 영향을 받습니다. 얽힘 엔트로피에 기여하는 블랙홀 내부 부분은 "섬"으로 알려져 있습니다.  섬 규칙은 증발하는 JT(Jackiw Teitelboim) 블랙홀과 플랑크 브레인의 등각 물질을 2차원 CFT 욕조와 결합하는 설정에서 제안되었습니다[6]. 블랙홀은 플랑크 브레인에 포함되어 있으며, 호킹 방사선은 2D 컨포멀 배스에 수집됩니다. 이 설정에는 다음 세 가지 설명이 있습니다.    플랑크 브레인은 호킹 복사의 흡수원 역할을 하는 외부 CFT 수조에 연결됩니다. • 2D 중력:    2차원 등각장 이론은 AdS/CFT 대응을 통해 측정항목 AdS3과 3차원 중력 이중성을 갖습니다. • 3D 중력:    외부 CFT 수조의 경계는 양자역학(QM)이 존재하는 1차원입니다. • QM:  섬 공식은 [133, 134]의 특수 JT 블랙홀에 대한 복제 트릭을 사용하여 중력 경로 적분에서 파생되었습니다. 저자는 분리되고 연결된 안장에서 페이지 곡선을 얻었습니다. 연결이 끊긴 새들로부터 페이지 곡선의 선형 시간 의존성을 얻는 반면, 연결된 새들은 페이지 곡선의 유한 부분을 생성합니다. [133]의 논의는   경계를 가진 복제 웜홀에도 적용됩니다. 섬 표면이 있을 때 일반화된 엔트로피는 다음과 같이 작성됩니다.  n  여기서 R, GN 및 I는 복사 영역, 뉴턴 상수 및 섬 표면을 나타냅니다. 식 (5.11)에는 섬 표면적과 방사선 및 섬 지역의 물질 기여라는 두 가지 항이 포함됩니다. (5.11)에서 섬 표면이 없을 때 S   (r) = S   r(R)임을 쉽게 알 수 있습니다. 섬 표면은 늦은 시간에 나타나므로 처음에는 페이지 곡선에서 선형 시간 의존성을 얻고 늦은 시간에는 섬 표면의 기여가 지배적일 때 증발하는 흑색에 대한 얽힘 엔트로피의 감소를 얻습니다. 영원한 블랙홀에 대해서는 일정한 부분(열 엔트로피의 두 배)이 있습니다. 따라서 이러한 기여를 포함하면 페이지 곡선을 얻습니다. 섬 표면이 두 개 이상인 경우 면적이 가장 작은 섬 표면을 고려해야 합니다. 우리는 [12]에서 Schwarzschild de-Sitter 블랙홀의 페이지 곡선을 얻기 위해 이 제안을 따랐으며 이 논문의 8장에서 자세히 논의했습니다. JT 중력 및 기타 문제 [138-140]의 맥락에서 섬 제안의 적용에 대해서는 [135-137]을 참조하십시오. gen matte  섬 제안은 [141]에서 더 높은 미분 중력을 위해 확장되었습니다. 제안은 [6]과 정확히 유사하지만 (5.11)의 첫 번째 항을 더 높은 미분 중력의 얽힘 엔트로피에 대한 정보를 제공할 수 있는 항으로 대체해야 하며 이에 대한 공식은 X. Dong이 제안한 것입니다. [127] 따라서 중력 작용에서 더 높은 도함수가 존재하는 섬 제안은 다음과 같이 작성됩니다.   여기서 Smatter는 (5.11)의 S   (R ∪ I)과 동일하며 S   Dong의 공식[127]을 사용하여 계산됩니다. AdSd+1/CF Td 대응에 대해 Dong의 공식은 아래에 제공됩니다[1].  물질 중력은  어디   5.3.2 이중 홀로그램 설정  이중 홀로그램 설정은 블랙홀의 페이지 곡선을 계산하는 데 좋은 설정입니다. 이름에서 알 수 있듯이 J. Maldacena가 제안한 일반적인 홀로그램의 이중 복사본입니다. 먼저, 우리는 벌크를 취하고 공간 좌표 중 하나를 따라 기하학을 잘라야 합니다[142, 143]. 그렇게 함으로써 (d + 1)차원 벌크에 포함된 d차원 기하학을 생성합니다. d차원 기하학은 문헌에서 세계 종말 브레인 또는 KarchRandall 브레인으로 알려져 있으며, 이 홀로그래피를 "브레인월드 홀로그래피"라고 합니다. 이중 홀로그램 설정은 Karch-Randall 모델의 두 복사본을 결합하여 얻습니다. 장치는 브레인에 존재하는 영원한 블랙홀과 호킹 방사선을 수집할 수 있는 두 개의 욕조로 구성됩니다. 이 두 욕조는 경계 등각장 이론(BCFT)의 두 복사본과 같기 때문에 열장 이중 상태로 동작합니다. 상향식 접근 방식을 사용하여 AdS   대응 맥락에서 이중 홀로그래피에 대해 논의해 보겠습니다. 설정은 그림 5.1에 나와 있습니다. d+1/BCFTd  이중 홀로그램 설정에는 아래에 요약된 세 가지 설명이 있습니다.    벌크 AdS   의 등각 경계에서의   차원 BCFT.   의 경계는 (   ) 차원 결함입니다. • 경계 설명: d+1 d BCFTd d − 1    세계 종말 브레인의 중력은 결함의 투명한 경계 조건을 통해 BCFT와 결합됩니다. • 중간 설명:      의 홀로그램 이중은   시공간입니다. • 대량 설명: BCFTd AdSd+1  중간 설명은 정보 역설을 해결하는 데 매우 중요합니다. 이 설명에서 지구 종말 브레인에 사는 블랙홀은 외부 CFT 욕조와 직접 연결되기 때문입니다. S(R)을 설명 1의 일정한 시간 조각에서 하위 영역 R의 폰 노이만 엔트로피로 정의합니다. 섬 규칙 [6]에서 두 번째 설명에서 S(R)을 얻을 수 있습니다.   여기서 일반화된 엔트로피 함수(S   (R ∪ I))는 [126]입니다.  gen  이중 홀로그램 설정은 고전적인 Ryu-Takayanagi 공식을 사용하여   매우 쉽게 얻을 수 있다는 점에서 유리합니다[107]. 벌크가 (d + 1) 차원인 경우 [107]:  S(R)을  여기서 γ는 두 표면의 최소 공동 치수입니다.  그림 5.1에는 벌크의 등각 경계에 두 개의 BCFT가 있습니다. 수직선은 블랙홀을 담고 있는 지구멸망 브레인이다. CFT 욕조는 블랙홀에서 방출되는 호킹 방사선을 수집합니다. 이 설정에는 Hartman-Maldacena[144]와 섬 표면이라는 두 가지 가능한 극단 표면이 있습니다. Hartman-Maldacena 표면은 두 BCFT를 연결합니다. 그것은 CFT 수조에서 시작하여 지평선을 넘어 전환점에 도달한 다음 BCFT의 열장 이중 파트너를 만납니다. 얽힘 엔트로피는 하트만-말다세나 표면에서 늦게 발산하는데, 이는 호킹의 정보 역설을 의미합니다. 섬 표면은 외부 CFT 욕조에서 시작하여 세계 종말 브레인에 도달합니다. 섬 표면의 얽힘 엔트로피는 일정한 값(블랙홀 열 엔트로피의 두 배)으로 밝혀졌습니다. 따라서 두 극단 표면의 얽힘 엔트로피 기여도를 결합하여 페이지 곡선을 복구합니다. 이중 홀로그램 설정에 대한 광범위한 문헌은 [7, 145–161]을 참조하십시오.  일부 저자는 브레인을 외부 CFT 수조에 연결할 때 종말 브레인[162-165]에서 중력이 거대하다는 것을 발견했습니다. 일부 논문에서는 저자가 브레인에 질량 없는 중력을 사용하여 이중 홀로그램 설정을 구성할 수 있음을 보여주었습니다[11, 154, 166, 167]. 우리는 [11]에서 하향식 접근 방식으로 이중 홀로그램 설정을 구성했으며 자세한 내용은 7장에 나와 있습니다. 비등각 배스(QCD2+1)가 있고 홀로그램 이중은 O(R4) 보정을 포함하는 M 이론입니다. [1]. 우리 설정에서 질량이 없는 중력자가 존재하는 이유는 중력자의 파동함수를 정규화해야 했기 때문이고, 두 번째 이유는 중력자의 파동함수에 대한 디리클레 경계조건 때문이고, 세 번째 이유는 -세계의 브레인은 0이 아닌 장력을 갖고 있으므로 "화산"과 같은 잠재력의 브레인에서 중력자의 위치 파악이 가능합니다. 우리는 설정에서 질량 없는 중력으로 페이지 곡선을 얻었는데, 이는 DGP 항이 없는 다른 이중 홀로그램 설정에서는 불가능했습니다. 브레인의 무질량 중력을 추론하는 한 가지 대체 방법은 브레인[166]에 Dvali-Gabadadze-Porrati(DGP) 항[168]을 포함하는 것입니다.5.3.3 웨지 홀로그래피  5.3.3 웨지 홀로그래피  이중 홀로그램 설정에서 외부 수조는 고정 CFT 수조입니다. 일부 논문에서는 종말 브레인에서는 중력이 거대하고 질량이 없는 중력에서는 섬 처방이 유효하지 않다는 사실이 밝혀졌습니다. 일부 저자는 목욕도 중력을 받는 것으로 간주했습니다 [8, 9, 162, 169]. 이 설정은 문헌에서 웨지 홀로그래피로 알려져 있습니다. 또한 쐐기형 홀로그래피에서는 Hartman-Maldacena 표면이 존재하지 않으므로 쐐기형 홀로그래피에서는 페이지 곡선이 없다는 주장도 있었습니다. [13]에서 우리는 HartmanMaldacena 표면의 얽힘 엔트로피가 AdS 및 Schwarzschild 블랙홀의 경우 0이 아니고 de-Sitter 블랙홀의 경우 0임을 보여주었습니다. 이는 AdS 및 Schwarzschild 블랙홀에 대한 페이지 곡선을 얻을 수 있지만 웨지 홀로그래피를 사용하여 de-Sitter 공간에 대해서는 얻을 수 없음을 의미합니다. 웨지 홀로그래피에 대한 그림 설명은 그림 5.2를 참조하세요. 웨지 홀로그래피에서 페이지 곡선을 얻을 수 있는지 여부는 논쟁의 여지가 있는 주제입니다. 이 방향에 대한 일부 진전은 [166]에서 이루어졌습니다. 저자는 Karch-Randall 브레인에 DGP 항을 포함해야 하는 경우 Karch-Randall 브레인에 위치하는 질량 없는 중력을 사용하여 페이지 곡선을 얻을 수 있음을 보여주었습니다. 예제와 함께 자세한 분석은 [170, 171]을 참조하세요. .   쐐기 홀로그래피의 수학적 설명을 설명하려면 다음 작업 [8, 9, 169]을 고려하십시오.   위 방정식의 해는 다음과 같습니다[9].   이중 홀로그래피와 유사하게 웨지 홀로그래피에도 세 가지 설명이 있습니다.    (   ) 차원 결함이 있는 벌크   의 등각 경계에 있는 BCF Td입니다. • 경계 설명: d − 1 AdSd+1    두 개의 중력 시스템은 결함의 투명한 경계 조건을 통해 서로 연결됩니다. • 중간 설명:      의 홀로그램 이중은 고전 중력   시공간입니다. • 대량 설명: BCFTd AdSd+1  (   +1)차원 벌크에 대한 쐐기 홀로그램 사전은 다음과 같이 명시됩니다.   . 그러므로 그것은 동일차원의 2차원 홀로그래피이다. 이제 이 이중성이 어떻게 존재하는지 이해해 봅시다.  d (d−1)차원 결함 등각장 이론의 홀로그램 이중은 (d+1)차원의 고전 중력입니다  Braneworld 홀로그래피[142,143]는 첫 번째와 두 번째 라인을 연결하는 반면, Karch-Randall 브레인의 동적 중력과 결함 CFT 사이의 AdS/CFT 대응[17]은 두 번째와 세 번째 라인을 연결합니다. 따라서 (   + 1) 벌크   은     . 웨지 홀로그램은 5.3.2에서 설명한 이중 홀로그램 설정과 유사한 블랙홀의 페이지 곡선을 얻는 데 도움이 됩니다. Hartman-Maldacena와 섬 표면의 얽힘 엔트로피를 계산해야 하며 시간에 따른 이러한 엔트로피를 플롯하면 페이지 곡선이 제공됩니다. d 의 고전 중력 결함 에서 CFTd−1과 이중입니다  [1] 우리는 이미 (5.1)에서 공식을 작성했으며, 여기서는 (5.1)의 공변 형식을 작성하고 있습니다. 이 공식에서 a와 i, j는 접선 방향과 법선 방향을 나타냅니다.  이 문서는 CC 4.0 라이선스에 따라   . arxiv에서 볼 수 있습니다

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