Гравитационные острова и Мультивселенная

Таблица ссылок

Абстрактный

Подтверждение

ЧАСТЬ I

Глава 1 Введение

Глава 2. LEC SU(3) из теории струн типа IIA

Глава 3. Фазовый переход деконфайнмента в термических теориях, подобных КХД, при промежуточном взаимодействии в отсутствие и при наличии вращения

Глава 4: Заключение и перспективы на будущее

ЧАСТЬ II

Глава 5: Введение

Глава 6: Кривые страницы черной дыры Райсснера-Нордстрема в гравитации HD

Глава 7: Энтропия запутанности и кривая страницы из двойной М-теории термической КХД выше Tc при промежуточной связи

Глава 8: Острова черных дыр в многособытийном горизонте пространства-времени

Глава 9: Мультивселенная в мире бран Карча-Рэндалла

Глава 10: Заключение и перспективы на будущее

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ С

Библиография

Часть II (HD) Гравитационные острова и Мультивселенная

«Бог не играет в кости». - Альберт Эйнштейн

«Бог не только играет в кости, он иногда бросает кости туда, где их нельзя увидеть». - Стивен Хокинг

«Если Бог бросает игральные кости туда, где их нельзя увидеть, они не смогут повлиять на нас». - Дон Пейдж

ГЛАВА 5 – ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы представляем материалы, необходимые для понимания информационного парадокса и его разрешения с помощью голографии. Мы начнем с обсуждения энтропии запутанности в разделе 5.1, обсудим информационный парадокс и кривую Пейджа в разделе 5.2 и, наконец, обсудим разрешение информационного парадокса в 5.3 на основе предложения острова, двойной голографической установки и клиновой голографии в 5.3. 1, 5.3.2 и 5.3.3 соответственно

5.1 Голографическая энтропия запутанности: предложения Рю-Такаянаги и Донга

Энтропия запутанности в квантовой механике (КМ). Давайте сначала обсудим энтропию запутанности в квантово-механической системе. Рассмотрим систему, состояние которой обозначается |ψ⟩. Матрица плотности системы определяется как:

Энтропия запутанности измеряется энтропией фон Неймана. Для этого сначала нам нужно разбить систему на две подсистемы A и B. Состояния в подсистемах A и B обозначаются |ψ⟩A и |ψ⟩B такие, что |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ А ⊗ |ψ⟩B . Приведенная матрица плотности подсистемы A получается путем отслеживания степеней свободы подсистемы B и наоборот.

Теперь энтропия фон Неймана определяется как:

Энтропия запутанности в квантовой теории поля (КТП). Нелегко вычислить энтропию запутанности в квантовых теориях поля (КТП) путем разложения системы на подсистемы, поскольку факторизация не всегда возможна в КТП. Энтропия запутанности в QFT рассчитывается с использованием трюка с репликами. Сначала определим энтропию Реньи:

• Нам нужно найти поверхность коразмерности два (ϵA) в объеме Md+1, которая привязана к ∂A.

• Возможно существование многих поверхностей, но мы должны рассмотреть ту, которая удовлетворяет ограничению гомологии, т. е. ϵA плавно стягивается в граничную область A.

• Из тех поверхностей, которые удовлетворяют ограничению гомологии, нам нужно выбрать поверхность с минимальной площадью, тогда энтропия запутанности определяется как:

Формула Рю-Такаянги имеет определенные ограничения: она применима к не зависящим от времени фонам. Для фона, зависящего от времени, необходимо использовать формулу HRT [125], где HRT означает Хабни, Рангамани и Такаянаги. Квантовые поправки всех порядков по ℏ к формуле Рю-Такаянаги были введены в работе [126], где требовалось экстремизировать обобщенную энтропию. Поверхности, экстремумы обобщенной энтропии, известны как квантовые экстремальные поверхности (КЭП). Если существует более одной квантовой экстремальной поверхности, то нам нужно рассмотреть поверхность с минимальной площадью. В [6] авторы обобщили рецепт КЭС на островные поверхности, где от нас требуется экстремизировать обобщенный энтропийный функционал, который включает вклад островных поверхностей. В этом случае экстремальные поверхности называются квантовыми экстремальными островами. Поскольку в данной диссертации мы ограничиваемся независимыми от времени фонами и поэтому не будем обсуждать формулу HRT.

• Обозначим каждый член как α-й после получения окончательного выражения второго члена, которое получается в результате дифференцирования лагранжиана по тензору Римана дважды.

• Нам необходимо выполнить следующие преобразования над некоторыми компонентами тензоров Римана:

Причина обсуждения этих предложений заключается в том, что когда мы вычисляем кривую Пейджа черных дыр в двойной голографической установке и клиновой голографии, эти предложения будут полезны. Энтропия голографической запутанности также была вычислена на основе тензора голографических напряжений и поверхностных членов в [128] и [129] соответственно.

5.2 Информационный парадокс Хокинга и кривая страницы

Информационный парадокс черной дыры Хокинга – это давняя загадка, начало которой положили его работы [130, 131]. Когда материя коллапсирует, образуя черную дыру, вся материя сохраняется в сингулярности. Горизонт черной дыры закрывает сингулярность черной дыры. Изначально система находится в чистом состоянии. Хокинг изучал парное рождение частиц с отрицательной и положительной энергией при наличии квантовых эффектов и обнаружил, что частица с отрицательной энергией попадает в ловушку внутри черной дыры, тогда как частица с положительной энергией, рассеянная в бесконечность, — это то, что мы получаем. в излучении Хокинга. Получить излучение от черной дыры мы можем благодаря квантовой механике, которая допускает возможность квантового туннелирования через потенциальный барьер. В случае черной дыры горизонт действует как потенциальный барьер. Хокинг рассчитал спектр частиц, выходящих из черной дыры, и обнаружил, что этот спектр ведет себя как спектр теплового излучения с температурой, известной как температура Хокинга, что подразумевает смешанное состояние. Это означает, что черная дыра эволюционирует из чистого состояния в смешанное, и, следовательно, унитарная эволюция квантовой механики не сохраняется. Это приводит к знаменитому «информационному парадоксу».

Пейдж предположил, что если мы учтем квантовые эффекты, то черная дыра должна будет следовать унитарной эволюции [132]. Если рассматривать черную дыру и область излучения как единую систему, то для разрешения парадокса необходимо получить кривую Пейджа. Для испаряющейся черной дыры энтропия запутывания излучения Хокинга сначала линейно возрастает со временем вплоть до времени Пейджа, а затем снова падает до нуля [132]. Нас интересуют вечные черные дыры, и для этих черных мотыг вместо падения энтропии запутывания до нуля мы получаем постоянную энтропию запутывания после времени Пейджа, и это постоянное значение равно удвоенной тепловой энтропии черной отверстия.

В этой части диссертации мы сосредотачиваемся на получении кривой Пейджа вечных черных дыр, используя недавние предложения, представленные в литературе, например, предложение острова, двойную голографическую установку и клиновидную голографию. Помимо получения кривой Пейджа, мы также получили и другие интересные результаты, которые обсуждаются в следующих главах.

5.3 Разрешение информационного парадокса голографии

В литературе доступны следующие три предложения, которые начались с идеи голографии для разрешения информационного парадокса черной дыры.

5.3.1 Предложение об острове и его распространение на HD Gravity

Авторы в [6] предложили метод разрешения информационного парадокса, эквивалентный получению кривой Пейджа. Идея состоит в том, что на ранних временах мы получаем только вклад от области излучения, которая дает расходящиеся части энтропии запутанности на поздних временах, поскольку энтропия запутанности излучения Хокинга оказывается пропорциональна времени. Согласно [6] в ранние времена ситуация остается той же, тогда как в поздние времена внутренняя часть черных дыр становится частью клина запутанности и, следовательно, в поздние времена энтропия запутанности получает вклад как от излучения, так и от внутренней части черных дыр. Часть внутренней части черной дыры, которая способствует энтропии запутанности, известна как «остров».

Правило острова было предложено на основе установки, в которой мы соединяем испаряющуюся черную дыру JT (Джеки Тейтельбойма) плюс конформную материю на бране Планка с двумерной ванной CFT [6]. Черная дыра содержится на бране Планка, а излучение Хокинга собирается в двумерной конформной ванне. Эта установка имеет следующие три описания.

• 2D-гравитация: брана Планка соединена с внешней ванной CFT, которая действует как сток для излучения Хокинга.

• 3D-гравитация: двумерная конформная теория поля имеет двойственную трехмерную гравитацию с метрикой AdS3 через соответствие AdS/CFT.

• QM: Граница внешней ванны КТМ является одномерной, где присутствует квантовая механика (QM).

Формула острова была получена из гравитационного интеграла по траекториям с использованием трюка с репликами для специальных черных дыр JT в [133, 134]. Авторы получили кривую Пейджа из несвязных и связных седел. Из несвязных седел получается линейная зависимость от времени на кривой Пейджа, тогда как связанные седла образуют конечную часть кривой Пейджа. Обсуждение [133] справедливо и для реплик червоточин с n границей. Обобщенная энтропия при наличии островной поверхности записывается следующим образом:

где R, GN и I представляют область излучения, постоянную Ньютона и поверхность острова. Уравнение (5.11) содержит два слагаемых: площадь поверхности острова и вклад вещества от радиации и островных областей. Из (5.11) легко видеть, что при отсутствии островковой поверхности S gen (r) = S matte r(R). В литературе было показано, что островковая поверхность появляется в более поздние моменты времени, и, следовательно, первоначально на кривой Пейджа получается линейная зависимость от времени, а в более поздние моменты времени, когда вклад островковой поверхности доминирует, можно получить падение энтропии запутывания для испаряющейся черной дыр, тогда как постоянная часть (удвоенная их тепловая энтропия) для вечных черных дыр. Следовательно, когда мы учитываем эти вклады, мы получаем кривую Пейджа. Если существует более одной островной поверхности, то мы должны рассмотреть ту, которая имеет минимальную площадь. Мы последовали этому предложению, чтобы получить кривую Пейджа черной дыры Шварцшильда-де-Ситтера в [12] и подробно обсужденную в главе 8 этой диссертации. См. [135–137] о применении предложения об острове в контексте гравитации JT и других проблем [138–140].

Предложение об острове было расширено для более высокой производной гравитации в [141]. Предложение в точности аналогично [6], но мы должны заменить первый член (5.11) на член, который может дать информацию об энтропии запутывания более высокой производной гравитации, а формула для нее была предложена X. Dong в [127] и, следовательно, островное предложение при наличии высших производных гравитационного действия записывается как [141]

где Smatter — это то же самое, что S- материя (R ∪ I) в (5.11), а S- гравитация будет рассчитываться по формуле Донга [127]. Для соответствия AdSd+1/CF Td формулы Донга приведены ниже[1].

где

5.3.2 Двойная голографическая установка

Двойная голографическая установка — хорошая установка для расчета кривой Пейджа черных дыр. Как следует из названия, это двойная копия обычной голографии, предложенной Дж. Малдасеной. Сначала нам нужно взять объем и усечь геометрию по одной из пространственных координат [142, 143]. Поступая таким образом, создается d-мерная геометрия, встроенная в (d + 1)-мерный объем. D-мерная геометрия известна в литературе как брана конца света или брана Карч-Рэндалла, а такая голография называется «голографией мира бран». Двойная голографическая установка получается путем объединения двух копий модели Карча-Рэндалла. Установка состоит из вечной черной дыры, живущей на бране, и двух ванн, в которых мы можем собирать излучение Хокинга. Эти две ванны ведут себя как двойные термополевые состояния, поскольку они представляют собой две копии граничной конформной теории поля (BCFT). Давайте обсудим двойную голографию в контексте соответствия AdS d+1/BCFTd, используя восходящий подход, схема показана на рисунке 5.1.

Двойная голографическая установка имеет три описания, кратко изложенные ниже.

• Граничное описание: d -мерная BCFT на конформной границе объемного AdS d+1 . Границей BCFTd является ( d − 1 ) размерный дефект.

• Промежуточное описание: Гравитация на бране конца света связана с BCFT посредством прозрачного граничного условия на дефекте.

• Общее описание: Голографический двойник BCFTd — это пространство-время AdSd+1 .

Промежуточное описание очень важно для разрешения информационного парадокса. Потому что в этом описании черная дыра, живущая на бране конца света, напрямую соединяется с внешней ванной КТМ. Определим S(R) как энтропию фон Неймана подобласти R на постоянном интервале времени в описании 1. Во втором описании S(R) можно получить из правила острова [6]:

где обобщенный функционал энтропии (S gen (R ∪ I)) равен [126]:

Двойная голографическая установка выгодна в том смысле, что мы можем очень легко получить S(R) , используя классическую формулу Рю-Такаянаги [107]. Когда объем имеет размерность (d + 1), тогда [107]:

где γ — минимальный соразмерность двух поверхностей в объеме.

На рисунке 5.1 на конформной границе объема имеются два BCFT. Вертикальная линия — это брана конца света, содержащая черную дыру. Ванна CFT собирает излучение Хокинга, испускаемое черной дырой. Эта установка имеет две возможные экстремальные поверхности: поверхности Хартмана-Малдасены [144] и островные поверхности. Поверхность Хартмана-Мальдасены соединяет два BCFT; оно начинается в ванне CFT, пересекает горизонты, достигает поворотной точки и затем встречается с двойным термополем-партнером BCFT. Энтропия запутанности в поздние времена для поверхности Хартмана-Малдасены расходится, что подразумевает информационный парадокс Хокинга. Поверхность острова начинается у внешней ванны КТМ и заканчивается на бране конца света. Энтропия запутывания поверхности острова оказывается постоянной величиной (в два раза больше тепловой энтропии черной дыры). Таким образом, можно восстановить кривую Пейджа, объединив вклады энтропии запутывания обеих этих экстремальных поверхностей. Обширную литературу по двойной голографической установке см. в [7, 145–161].

Некоторые авторы обнаружили, что гравитация на бране конца света является массивной [162–165], когда мы соединяем брану с внешней ванной CFT. В ряде работ авторы показали, что на бране можно построить двойной голографическую установку с безмассовой гравитацией [11, 154, 166, 167]. Мы построили двойную голографическую установку на основе нисходящего подхода в [11], а подробности приведены в главе 7. У нас есть неконформная ванна (КХД2+1), а голографическая двойственная система представляет собой М-теорию, включающую поправки O(R4). [1]. Причина существования безмассового гравитона в нашей установке заключается в том, что мы потребовали нормализации волновой функции гравитона, вторая причина связана с граничным условием Дирихле на волновую функцию гравитона, а третья причина заключается в том, что конец Брана -мира имела ненулевое напряжение и, следовательно, на бране возможна локализация гравитона в «вулканоподобном» потенциале. В нашей установке мы получили кривую Пейджа с безмассовой гравитацией, что было невозможно в других двойной голографических установках без члена ДГП. Одним из альтернативных методов вывода безмассовой гравитации на бране является включение в брану члена Двали-Габададзе-Поррати (DGP) [168] [166]. 5.3.3. Клиновая голография.

5.3.3 Клиновая голография

В двойной голографической установке внешняя ванна представляет собой фиксированную ванну CFT. В некоторых статьях было обнаружено, что гравитация на бране конца света является массивной, а рецепт острова недействителен в безмассовой гравитации. Некоторые авторы считали ванну также тяготеющей [8, 9, 162, 169]. Такая установка известна в литературе как клиновая голография. Также утверждалось, что в клиновой голографии не существует поверхности Хартмана-Малдасены и, следовательно, нет кривой Пейджа в клиновой голографии. В [13] мы показали, что энтропия запутанности поверхности Хартмана-Мальдасены отлична от нуля для черных дыр АдС и Шварцшильда и равна нулю для черной дыры Де-Ситтера. Это означает, что с помощью клиновой голографии можно получить кривую Пейджа для черной дыры АдС и Шварцшильда, но не для пространства деситтера. Графическое описание клиновой голографии см. на рис.5.2. Можно ли получить кривую Пейджа или нет в клиновой голографии — тема дискуссионная. Некоторый прогресс в этом направлении был достигнут в [166]. Автором было показано, что мы можем получить кривую Пейджа с безмассовой гравитацией, локализованную на бране Карча-Рэндалла, если нам придется включить член DGP на бране Карча-Рэндалла, подробный анализ с примерами см. в [170, 171] .

Для описания математического описания клиновой голографии примем во внимание следующее действие [8, 9, 169]:

Приведенное выше уравнение имеет следующее решение [9]:

Подобно двойной голографии, клиновая голография также имеет три описания:

• Граничное описание: БКФ Td на конформной границе объемного AdSd+1 с размерным дефектом ( d − 1 ).

• Промежуточное описание: две гравитирующие системы связаны между собой прозрачным граничным условием на дефекте.

• Общее описание: голографический двойник BCFTd — это классическое гравитационное пространство-время AdSd+1 .

Клиновой голографический словарь для ( d + 1)-мерного объема формулируется так: голографическая двойственная конформная теория поля (d−1)-мерного дефекта — это классическая гравитация в (d+1)-мерности . Следовательно, это голография двух измерений. Теперь давайте поймем, как существует эта двойственность.

Голография мира бран [142,143] связывает первую и вторую линию, тогда как соответствие AdS/CFT [17] между динамической гравитацией на бране Карча-Рэндалла и дефектной CFT соединяет вторую и третью линии. Следовательно, классическая гравитация в ( d + 1) объеме двойственна CFTd−1 в дефекте. Клиновая голография помогает нам получить кривую Пейджа для черных дыр, аналогичную схеме двойной голографии, обсуждавшейся в 5.3.2. Требуется вычислить энтропию запутанности поверхностей Хартмана-Малдасены и островных поверхностей, и график зависимости этой энтропии от времени даст кривую Пейджа.

[1] Формулу в (5.1) мы уже записали, здесь мы пишем ковариантную форму (5.1). В этой формуле a и i, j представляют тангенциальное и нормальное направления.