Yerçekimi Adaları ve Çoklu Evren

Bağlantı Tablosu

Soyut

Teşekkür

BÖLÜM I

Bölüm 1: Giriş

Bölüm 2: Tip IIA Sicim Teorisinden SU(3) LEC'ler

Bölüm 3: Rotasyonun Varlığında ve Yokluğunda Ara Eşleşmede Termal QCD Benzeri Teorilerde Sınırlandırmadan Arındırma Faz Geçişi

Bölüm 4: Sonuç ve Geleceğe Bakış

BÖLÜM II

Bölüm 5: Giriş

Bölüm 6: Reissner-Nordström Kara Deliğinin HD Yerçekimindeki Sayfa Eğrileri

Bölüm 7: Ara Bağlantıda Tc Üzerindeki Termal QCD'nin M-Teorisi İkilisinden Dolaşma Entropisi ve Sayfa Eğrisi

Bölüm 8: Çok Olaylı Ufuk Uzay-Zamanlarındaki Kara Delik Adaları

Bölüm 9: Karch-Randall Braneworld'deki Çoklu Evren

Bölüm 10: Sonuç ve Geleceğe Bakış

EK A

EK B

EK C

Kaynakça

Bölüm-II (HD) Yerçekimi Adaları ve Çoklu Evren

"Tanrı zar atmaz." - Albert Einstein

"Tanrı sadece zar atmaz, bazen de zarları görülemeyecek yerlere atar." - Stephen Hawking

"Eğer Tanrı zarları görülmeyecek bir yere atarsa, bunlar bizi etkileyemez." - Don Sayfası

BÖLÜM 5 - GİRİŞ

Bu bölümde bilgi paradoksunu anlamak ve holografiden çözümünü anlamak için gereken materyallerin tanıtımını sunuyoruz. Bölüm 5.1'de dolaşma entropisi tartışmasıyla başlıyoruz, bölüm 5.2'de bilgi paradoksunu ve Sayfa eğrisini tartışıyoruz ve son olarak 5.3'teki bilgi paradoksunun çözümünü, 5.3'teki ada önerisinden, çift holografik düzenden ve kama holografisinden tartışıyoruz. Sırasıyla 1, 5.3.2 ve 5.3.3

5.1 Holografik Dolaşma Entropisi: Ryu-Takayanagi ve Dong'un Önerileri

Kuantum Mekaniğinde (QM) Dolaşma Entropisi: Öncelikle kuantum mekaniği sisteminde dolaşıklık entropisini tartışalım. Durumu |ψ⟩ ile gösterilen bir sistemi ele alalım. Sistemin yoğunluk matrisi şu şekilde tanımlanır:

Dolaşma entropisi von-Neumann entropisi ile ölçülür. Bunun için öncelikle sistemi A ve B olmak üzere iki alt sisteme ayırmalıyız. A ve B alt sistemlerindeki durumlar |ψ⟩A ve |ψ⟩B ile gösterilir, öyle ki |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ A ⊗ |ψ⟩B . A alt sisteminin azaltılmış yoğunluk matrisi, B alt sisteminin serbestlik derecelerinin izlenmesiyle elde edilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Von-Neumann entropisi şu şekilde tanımlanır:

Kuantum Alan Teorisinde (QFT) Dolaşıklık Entropisi: Kuantum alan teorilerinde (QFT) dolaşıklık entropisini, sistemi alt sistemlere ayırarak hesaplamak kolay değildir çünkü QFT'lerde çarpanlara ayırma her zaman mümkün değildir. QFT'deki dolaşıklık entropisi kopyalama hilesi kullanılarak hesaplanır. Öncelikle Renyi entropisini tanımlayalım:

• ∂A'ya sabitlenmiş Md+1 kütlesinde eş boyutlu iki yüzey (ϵA) bulmamız gerekiyor.

• Birçok yüzey olasılığı vardır ancak homoloji kısıtını karşılayanı dikkate almalıyız, yani ϵA, A sınır bölgesine sorunsuz bir şekilde geri çekilebilir.

• Homoloji kısıtını karşılayan yüzeylerden minimum alana sahip olanı seçmemiz gerekir, ardından dolaşma entropisi şu şekilde tanımlanır:

Ryu-Takayangi formülünün belirli sınırlamaları vardır; zamandan bağımsız arka planlara uygulanabilir. Zamana bağlı arka plan için, HRT'nin Hubney, Rangamani ve Takayanagi'yi temsil ettiği HRT formülünün [125] kullanılması gerekir. Ryu-Takayanagi formülüne ℏ cinsinden tüm sıralarda kuantum düzeltmeleri, genelleştirilmiş entropiyi aşırıya çıkarmak için gerekli olan [126]'ya dahil edilmiştir. Genelleştirilmiş entropiyi aşırıya çıkaran yüzeyler, kuantum ekstremal yüzeyler (QES) olarak bilinir. Birden fazla kuantum ekstremal yüzey varsa, minimum alana sahip olanı dikkate almamız gerekir. [6]'da yazarlar, QES reçetesini, ada yüzeylerinden gelen katkıyı içeren fonksiyonel benzeri genelleştirilmiş entropiyi aşırıya çıkarmamızın gerekli olduğu ada yüzeylerine genelleştirdiler. Bu durumda ekstremal yüzeyler kuantum ekstremal adalar olarak bilinir. Bu tezde kendimizi zamandan bağımsız arka planlarla sınırladığımız için HRT formülünü tartışmayacağız.

• Lagrangian'ın Riemann tensörüne göre türevinin iki kez alınmasından elde edilen ikinci terimin son ifadesini aldıktan sonra her terimi α'cı terim olarak etiketleyelim.

• Riemann tensörlerinin belirli bileşenleri üzerinde aşağıdaki dönüşümleri uygulamamız gerekiyor:

Bu önerileri tartışmamızın nedeni, kara deliklerin Sayfa eğrisini çift holografik düzende ve kama holografisinde hesapladığımızda bu önerilerin faydalı olacağıdır. Holografik dolaşma entropisi ayrıca sırasıyla [128] ve [129]'daki holografik gerilim tensörü ve yüzey terimlerinden hesaplanmıştır.

5.2 Hawking'in Bilgi Paradoksu ve Sayfa Eğrisi

Hawking'in kara delik bilgi paradoksu, makaleleriyle başlayan uzun süredir devam eden bir bilmecedir [130, 131]. Madde çökerek bir kara delik oluşturduğunda, maddenin tamamı tekillikte depolanır. Kara deliğin ufku kara delik tekilliğini kapsıyor. Başlangıçta sistem saf durumdadır. Hawking, kuantum etkilerinin varlığında negatif ve pozitif enerjili çiftler halinde parçacıkların oluşumunu inceledi ve negatif enerjili bir parçacığın kara deliğin içinde sıkışıp kaldığını, pozitif enerjili parçacığın ise sonsuza saçıldığını buldu. Hawking radyasyonunda. Potansiyel bir bariyerden kuantum tünelleme olanağı sağlayan kuantum mekaniği nedeniyle kara delikten radyasyon alabiliriz. Kara delik durumunda ufuk potansiyel bariyer görevi görür. Hawking, kara delikten çıkan parçacıkların spektrumunu hesapladı ve spektrumun, Hawking sıcaklığı olarak bilinen ve karma durumu ima eden bir sıcaklığa sahip termal radyasyon spektrumu gibi davrandığını buldu. Bu, kara deliğin saf durumdan karma duruma doğru evrimleştiği ve dolayısıyla kuantum mekaniğinin üniter evriminin korunmadığı anlamına gelir. Bu da meşhur “bilgi paradoksuna” yol açıyor.

Page, kuantum etkilerini dahil ettiğimizde kara deliğin üniter evrimi takip etmesi gerektiğini öne sürdü [132]. Kara delik ve radyasyon bölgesini tek bir sistem olarak düşünürsek, paradoksu çözmek için Sayfa eğrisinin elde edilmesi gerekir. Buharlaşan kara delik için, Hawking radyasyonunun dolaşıklık entropisi önce Page zamanına kadar zamanla doğrusal olarak artar ve sonra tekrar sıfıra düşer [132]. Ebedi kara deliklerle ilgileniyoruz ve bu kara çapalar için dolaşıklık entropisinin sıfıra düşmesi yerine Page zamanından sonra sabit dolaşıklık entropisi elde ediliyor ve bu sabit değer siyahın termal entropisinin iki katına eşit oluyor. delikler.

Tezin bu bölümünde, literatürde verilen ada önerisi, çift holografik düzen ve kama holografisi gibi son önerileri kullanarak sonsuz kara deliklerin Sayfa eğrisini elde etmeye odaklanıyoruz. Sayfa eğrisini elde etmenin yanı sıra, gelecek bölümlerde tartışılacak olan başka heyecan verici sonuçlar da elde ettik.

5.3 Holografiden Bilgi Paradoksunun Çözümü

Kara delik bilgi paradoksunu çözmek için holografi fikriyle başlayan literatürde aşağıdaki üç öneri bulunmaktadır.

5.3.1 Ada Önerisi ve HD Yer Çekimine Uzatılması

[6]'daki yazarlar bilgi paradoksunu çözmek için Sayfa eğrisini elde etmeye eşdeğer bir yöntem önerdiler. Fikir şu ki, erken zamanlarda yalnızca dolaşıklık entropisinin ıraksak kısmını veren radyasyon bölgesinden katkı alıyoruz, çünkü Hawking radyasyonunun dolaşıklık entropisi zamanla orantılı çıkıyor. [6]'ya göre, erken zamanlarda durum aynı kalırken, geç zamanlarda kara deliklerin içi dolaşma kamasının bir parçası haline gelir ve dolayısıyla geç zamanlarda dolaşma entropisi, kara deliklerin içinden olduğu kadar radyasyondan da katkı alır. Karadeliklerin iç kısmında dolaşıklık entropisine katkıda bulunan kısım “ada” olarak bilinir.

Ada kuralı, buharlaşan JT(Jackiw Teitelboim) kara deliği artı Planck zarı üzerindeki uyumlu maddeyi iki boyutlu CFT banyosuyla birleştirdiğimiz bir kurulumdan önerildi [6]. Kara delik Planck zarında bulunur ve Hawking radyasyonu 2 boyutlu konformal banyoda toplanır. Bu kurulum aşağıdaki üç açıklamaya sahiptir.

• 2D-Yerçekimi: Planck zarı, Hawking radyasyonu için bir havuz görevi gören harici CFT banyosuna bağlanmıştır.

• 3D-Yerçekimi: İki boyutlu konformal alan teorisi, AdS/CFT yazışması yoluyla metrik AdS3 ile üç boyutlu yerçekimi ikilisine sahiptir.

• QM: Harici CFT banyosunun sınırı, kuantum mekaniğinin (QM) mevcut olduğu tek boyutludur.

Ada formülü, [133, 134]'teki özel JT kara delikleri için kopya hilesi kullanılarak yerçekimsel yol integralinden türetilmiştir. Yazarlar, bağlantısız ve bağlı eyerlerden Sayfa eğrisini elde ettiler. Sayfa eğrisindeki doğrusal zamana bağımlılık, bağlantısız eyerlerden elde edilirken, bağlantılı eyerler, Sayfa eğrisinin sonlu kısmını üretir. [133]'teki tartışma n sınırı olan kopya solucan delikleri için de geçerlidir. Ada yüzeyinin varlığında genelleştirilmiş entropi şu şekilde yazılır:

burada R, GN ve I radyasyon bölgesini, Newton sabitini ve ada yüzeyini temsil etmektedir. Denklem (5.11) iki terim içermektedir: ada yüzeyinin alanı ve radyasyon ve ada bölgelerinden gelen madde katkısı. (5.11)'den, ada yüzeyi olmadığında S gen (r) = S mat r(R) olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Literatürde ada yüzeyinin geç zamanlarda ortaya çıktığı ve dolayısıyla başlangıçta Page eğrisinde doğrusal zamana bağlılığın elde edildiği ve geç zamanlarda ada yüzeyinin katkısının baskın olduğu durumlarda buharlaşan siyah için dolaşma entropisinin düşüşünün elde edildiği gösterilmiştir. sonsuz kara delikler için sabit kısım (termal entropilerinin iki katı). Dolayısıyla bu katkıları dahil ettiğimizde Sayfa eğrisini elde ederiz. Birden fazla ada yüzeyi varsa, minimum alana sahip olanı dikkate almalıyız. Schwarzschild de-Sitter kara deliğinin Page eğrisini elde etmek için [12]'de bu öneriyi takip ettik ve bu tezin 8. bölümünde ayrıntılı olarak tartıştık. JT yerçekimi ve diğer konular [138-140] bağlamında ada önerisinin uygulanması için bkz. [135–137].

Ada önerisi [141]'de daha yüksek türevsel yerçekimi için genişletildi. Öneri [6]'ya tamamen benzer ancak (5.11)'in ilk terimini daha yüksek türevsel yerçekiminin dolaşıklık entropisi hakkında bilgi verebilecek terimle değiştirmemiz gerekiyor ve bunun formülü X. Dong tarafından önerildi. [127] ve dolayısıyla yerçekimi eyleminde daha yüksek türev terimlerinin varlığında ada önerisi şu şekilde yazılmıştır: [141]

burada Smatter, (5.11)'deki S maddesi (R ∪ I) ile aynıdır ve S yerçekimi, Dong formülü [127] kullanılarak hesaplanacaktır. AdSd+1/CF Td uyumu için Dong formülleri aşağıda verilmiştir[1].

Neresi

5.3.2 Çift Holografik Kurulum

Çift holografik kurulum, kara deliklerin Sayfa eğrisini hesaplamak için güzel bir kurulumdur. Adından da anlaşılacağı gibi, J. Maldacena tarafından önerilen alışılagelmiş holografinin çift kopyasıdır. İlk olarak, kütleyi almamız ve geometriyi uzaysal koordinatlardan biri boyunca kesmemiz gerekiyor [142, 143]. Bunu yaparak, (d + 1) boyutlu kütleye gömülü d boyutlu geometri oluşturulur. D boyutlu geometri literatürde dünyanın sonu zarı veya KarchRandall zarı olarak bilinir ve bu holografiye “braneworld holografisi” adı verilir. Çift holografik düzen, Karch-Randall modelinin iki kopyasının birleştirilmesiyle elde ediliyor. Kurulum, zar üzerinde yaşayan sonsuz bir kara delikten ve Hawking radyasyonunu toplayabileceğimiz iki banyodan oluşuyor. Bu iki banyo, termofield çift durumları gibi davranır çünkü bunlar sınır konformal alan teorisinin (BCFT) iki kopyası gibidir. Aşağıdan yukarıya bir yaklaşım kullanarak AdS d+1/BCFTd yazışmaları bağlamında çift holografiyi tartışalım ve kurulum şekil 5.1'de gösterilmektedir.

Çift holografik kurulum aşağıda özetlenen üç açıklamaya sahiptir.

• Sınır açıklaması: toplu AdS d+1'in uyumlu sınırındaki d boyutlu BCFT. BCFTd'nin sınırı ( d − 1 ) boyutlu kusurdur.

• Ara açıklama: Dünyanın sonu zarı üzerindeki yerçekimi, kusurdaki şeffaf sınır koşulu aracılığıyla BCFT'ye bağlanır.

• Toplu açıklama: BCFTd'nin holografik ikilisi AdSd+1 uzay-zamanıdır.

Ara açıklama, bilgi paradoksunu çözmek için çok önemlidir. Çünkü bu tanımlamada dünyanın sonu zarında yaşayan kara delik doğrudan dış CFT banyosuyla birleşiyor. Açıklama 1'de S(R)'yi sabit bir zaman dilimindeki R alt bölgesinin von Neumann entropisi olarak tanımlayın. İkinci açıklamadaki S(R) ada kuralından [6] elde edilebilir:

burada genelleştirilmiş entropi fonksiyoneli (S gen (R ∪ I)) şu şekildedir [126]:

Çift holografik düzen, klasik Ryu-Takayanagi formülünü [107] kullanarak S(R)'yi çok kolay bir şekilde elde edebilmemiz açısından avantajlıdır. Kütle (d + 1) boyutlu olduğunda [107]:

burada γ toplu olarak iki yüzeyin minimum eş boyutudur.

Şekil 5.1'de kütlenin konformal sınırında iki BCFT bulunmaktadır. Dikey çizgi, kara deliği içeren dünyanın sonu zarıdır. CFT banyosu kara deliğin yaydığı Hawking radyasyonunu topluyor. Bu düzeneğin iki olası ekstrem yüzeyi vardır: Hartman-Maldacena [144] ve ada yüzeyleri. Hartman-Maldacena yüzeyi iki BCFT'yi birbirine bağlar; CFT banyosunda başlıyor, ufukları aşıyor, dönüm noktasına ulaşıyor ve ardından BCFT'nin termofield çift ortağıyla buluşuyor. Hartman-Maldacena yüzeyi için dolaşıklık entropisi geç zamanlarda ıraksaktır, bu da Hawking'in bilgi paradoksunu ima eder. Adanın yüzeyi dış CFT banyosundan başlıyor ve dünyanın sonu zarına iniyor. Ada yüzeyinin dolaşıklık entropisinin sabit bir değer olduğu ortaya çıkıyor (kara deliğin termal entropisinin iki katı). Bu nedenle, her iki ekstremal yüzeyin dolaşma entropilerinin katkıları birleştirilerek Page eğrisi elde edilebilir. Çifte holografik düzene ilişkin kapsamlı literatür için bkz. [7, 145–161].

Bazı yazarlar, zarı harici CFT banyosuna bağladığımızda, dünyanın sonu zarında yerçekiminin çok büyük olduğunu bulmuşlardır [162-165]. Bazı makalelerde, zar üzerinde kütlesiz yerçekimi ile çift holografik düzeneği inşa edebileceğimiz yazarlar tarafından gösterilmiştir [11, 154, 166, 167]. Çift holografik düzeneği [11]'de yukarıdan aşağıya bir yaklaşımla oluşturduk ve ayrıntılar bölüm 7'de verilmiştir. Uygun olmayan bir banyomuz (QCD2+1) var ve holografik ikili, O(R4) düzeltmelerini içeren M teorisidir. [1] Kurulumumuzda kütlesiz gravitonun var olmasının nedeni, gravitonun dalga fonksiyonunun normalleştirilmesine ihtiyaç duymamız, ikinci neden, gravitonun dalga fonksiyonu üzerindeki Dirichlet sınır koşulundan kaynaklanmaktadır ve üçüncü neden ise, gravitonun dalga fonksiyonunun normalleştirilmesidir. Dünya zarı sıfır olmayan bir gerilime sahipti ve bu nedenle gravitonun zar üzerinde "volkan" benzeri bir potansiyelde lokalizasyonu mümkündür. Kurulumumuzda, DGP terimi olmadan diğer çift holografik kurulumlarda imkansız olan, kütlesiz yerçekimine sahip Page eğrisini elde ettik. Zar üzerindeki kütlesiz yerçekimini ortaya çıkarmanın alternatif bir yöntemi, zar üzerine Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP) terimini [168] dahil etmektir [166].5.3.3 Kama Holografisi

5.3.3 Kama Holografisi

Çift holografik kurulumda harici banyo sabit bir CFT banyosudur. Bazı makalelerde yerçekiminin dünyanın sonu zarında çok büyük olduğu ve kütlesiz yerçekiminde ada reçetesinin geçerli olmadığı ortaya çıktı. Bazı yazarlar banyonun da yerçekimi olduğunu düşünmüştür [8, 9, 162, 169]. Bu kurulum literatürde kama holografisi olarak bilinmektedir. Ayrıca kama holografisinde Hartman-Maldacena yüzeyinin bulunmadığı ve dolayısıyla kama holografisinde Page eğrisinin bulunmadığı da ileri sürüldü. [13]'te Hartman Maldacena yüzeyinin dolaşma entropisinin AdS ve Schwarzschild kara deliği için sıfır olmadığını, de-Sitter kara deliği için ise sıfır olduğunu gösterdik. Bu, kama holografisi kullanılarak AdS ve Schwarzschild kara deliği için Sayfa eğrisinin elde edilebileceği ancak de-Sitter uzayı için elde edilemeyeceği anlamına gelir. Kama holografisinin resimli açıklaması için Şekil 5.2'ye bakın. Kama holografisinde Sayfa eğrisinin elde edilip edilemeyeceği tartışmalı bir konudur. Bu yönde bazı ilerlemeler [166]'da kaydedilmiştir. Yazar tarafından, DGP terimini Karch-Randall zarına dahil etmek zorunda olmamız koşuluyla, Karch-Randall zarı üzerinde lokalize kütlesiz yerçekimine sahip Page eğrisini elde edebileceğimiz gösterilmiştir, örneklerle ayrıntılı analiz için bkz. [170, 171] .

Kama holografisinin matematiksel tanımını açıklamak için aşağıdaki eylemi [8, 9, 169] dikkate alın:

Yukarıdaki denklemin çözümü şu şekildedir [9]:

Çift holografiye benzer şekilde kama holografisinin de üç tanımı vardır:

• Sınır açıklaması: ( d − 1 ) boyutsal kusurlu AdSd+1 yığınının uyumlu sınırındaki BCF Td.

• Ara açıklama: iki yerçekimi sistemi, kusurdaki şeffaf sınır koşulu aracılığıyla birbirine bağlanır.

• Toplu açıklama: BCFTd'nin holografik ikilisi klasik yerçekimi AdSd+1 uzay-zamandır.

( d + 1) boyutlu kütle için kama holografik sözlüğü şu şekilde ifade edilir: (d−1) boyutlu kusur konformal alan teorisinin holografik ikilisi, (d+1) boyutlarında klasik yerçekimidir . Bu nedenle eş boyutlu iki holografidir. Şimdi bu dualitenin nasıl var olduğunu anlayalım.

Braneworld holografisi [142,143] birinci ve ikinci çizgiyi ilişkilendirirken, Karch-Randall zarı üzerindeki dinamik yerçekimi ile kusurlu CFT arasındaki AdS/CFT yazışması [17] ikinci ve üçüncü çizgiyi birbirine bağlar. Bu nedenle, ( d + 1) kütledeki klasik yerçekimi, kusurdaki CFTd−1'e dualdir . Kama holografisi, 5.3.2'de tartışılan çift holografik düzene benzer şekilde kara deliklerin Sayfa eğrisini elde etmemize yardımcı olur. Hartman-Maldacena ve ada yüzeylerinin dolaşıklık entropilerinin hesaplanması gerekir ve bu entropilerin zamanla grafiği, Sayfa eğrisini verecektir.

[1] Formülü zaten (5.1)’de yazmıştık, burada (5.1)’in kovaryant formunu yazıyoruz. Bu formülde a ve i, j teğet ve normal yönleri temsil etmektedir.