গ্র্যাভিটি দ্বীপপুঞ্জ এবং মাল্টিভার্স

লিঙ্কের টেবিল

বিমূর্ত

স্বীকৃতি

খণ্ড I

অধ্যায় 1 ভূমিকা

অধ্যায় 2: টাইপ IIA স্ট্রিং থিওরি থেকে SU(3) LECs

অধ্যায় 3: ঘূর্ণনের অনুপস্থিতি এবং উপস্থিতিতে মধ্যবর্তী কাপলিং-এ তাপীয় QCD-এর মতো তত্ত্বগুলিতে ডিকনফাইনমেন্ট ফেজ ট্রানজিশন

অধ্যায় 4: উপসংহার এবং ভবিষ্যত আউটলুক

দ্বিতীয় খণ্ড

অধ্যায় 5: ভূমিকা

অধ্যায় 6: এইচডি গ্র্যাভিটিতে রেইসনার-নর্ডস্ট্রোম ব্ল্যাক হোলের পৃষ্ঠা কার্ভস

অধ্যায় 7: ইন্টারমিডিয়েট কাপলিং-এ Tc-এর উপরে M-থিওরি ডুয়াল অফ থার্মাল QCD থেকে এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি এবং পেজ কার্ভ

অধ্যায় 8: ব্ল্যাক হোল আইল্যান্ডস ইন মাল্টি-ইভেন্ট হরাইজন স্পেস-টাইমস

অধ্যায় 9: কার্চ-র্যান্ডাল ব্রেনওয়ার্ল্ডে মাল্টিভার্স

অধ্যায় 10: উপসংহার এবং ভবিষ্যতের দৃষ্টিভঙ্গি

অ্যাপেন্ডিক্স এ

পরিশিষ্ট বি

পরিশিষ্ট গ

গ্রন্থপঞ্জি

পার্ট-২ (এইচডি) গ্র্যাভিটি দ্বীপপুঞ্জ এবং মাল্টিভার্স

"ঈশ্বর পাশা খেলেন না।" - আলবার্ট আইনস্টাইন

"ঈশ্বর শুধু পাশা খেলেন না, তিনি মাঝে মাঝে পাশা ছুড়ে দেন যেখানে তাদের দেখা যায় না।" - স্টিফেন হকিং

"যদি ঈশ্বর পাশা নিক্ষেপ করেন যেখানে তাদের দেখা যায় না, তারা আমাদের প্রভাবিত করতে পারে না।" - ডন পেজ

অধ্যায় 5 - ভূমিকা

এই অধ্যায়ে, আমরা হলোগ্রাফি থেকে তথ্য প্যারাডক্স এবং এর রেজোলিউশন বোঝার জন্য প্রয়োজনীয় উপকরণগুলির ভূমিকা উপস্থাপন করি। আমরা অধ্যায় 5.1-এ এনট্র্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি নিয়ে আলোচনা শুরু করি, আমরা বিভাগ 5.2-এ তথ্য প্যারাডক্স এবং পৃষ্ঠা বক্ররেখা নিয়ে আলোচনা করি এবং অবশেষে আমরা দ্বীপ প্রস্তাব থেকে 5.3-এ তথ্য প্যারাডক্সের রেজোলিউশন, দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপ এবং 5.3-এ ওয়েজ হলোগ্রাফি নিয়ে আলোচনা করি। যথাক্রমে 1, 5.3.2 এবং 5.3.3

5.1 হলোগ্রাফিক এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি: রিউ-তাকায়ানাগি এবং ডং এর প্রস্তাবনা

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি (QM): আসুন প্রথমে কোয়ান্টাম মেকানিকাল সিস্টেমে এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি নিয়ে আলোচনা করি। আসুন একটি সিস্টেম বিবেচনা করি যার অবস্থা |ψ⟩ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সিস্টেমের ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি ভন-নিউম্যান এনট্রপি দ্বারা পরিমাপ করা হয়। এর জন্য, প্রথমে আমাদের সিস্টেমটিকে দুটি সাবসিস্টেম A এবং B এ বিভাজন করতে হবে। A এবং B সাবসিস্টেমের স্টেটগুলি |ψ⟩A এবং |ψ⟩B দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যাতে |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ ক ⊗ |ψ⟩B। সাবসিস্টেম A-এর হ্রাসকৃত ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স সাবসিস্টেম B-এর স্বাধীনতার ডিগ্রী এবং এর বিপরীতে ট্রেসিং করে প্রাপ্ত হয়।

এখন, ভন-নিউম্যান এনট্রপিকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরিতে এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি (QFT): সিস্টেমটিকে সাবসিস্টেমে ফ্যাক্টরিং করে কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরিতে (QFTs) এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি গণনা করা সহজ নয় কারণ QFT তে ফ্যাক্টরাইজেশন সবসময় সম্ভব হয় না। QFT-এ এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি রেপ্লিকা ট্রিক ব্যবহার করে গণনা করা হয়। প্রথমে, আসুন রেনি এনট্রপি সংজ্ঞায়িত করি:

• আমাদের বাল্ক Md+1-এ একটি কো-ডাইমেনশন দুই সারফেস (ϵA) খুঁজে বের করতে হবে যা ∂A-এ নোঙর করা আছে।

• অনেকগুলি পৃষ্ঠের সম্ভাবনা রয়েছে তবে আমাদের বিবেচনা করতে হবে যেটি সমতাত্ত্বিক সীমাবদ্ধতাকে সন্তুষ্ট করে, অর্থাৎ, ϵA সীমানা অঞ্চলে মসৃণভাবে প্রত্যাহারযোগ্য।

• যে সারফেসগুলি হোমোলজির সীমাবদ্ধতাকে সন্তুষ্ট করে, আমাদের ন্যূনতম ক্ষেত্রফল সহ একটি বাছাই করতে হবে তারপরে এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপিকে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

Ryu-Takyangi সূত্রের নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতা রয়েছে, এটি সময়-স্বাধীন পটভূমিতে প্রযোজ্য। সময় নির্ভর পটভূমির জন্য, একজনকে এইচআরটি সূত্র ব্যবহার করতে হবে [১২৫] যেখানে এইচআরটি মানে হুবনি, রাঙ্গামানি এবং তাকায়নাগি। Ryu-Takayanagi সূত্রে ℏ-এর সমস্ত ক্রমানুসারে কোয়ান্টাম সংশোধনগুলি [126]-এ অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছিল যেখানে একজনকে সাধারণীকৃত এনট্রপিকে চরম আকার দিতে হবে। যে সারফেসগুলি সাধারণীকৃত এনট্রপিকে চরম করে তারা কোয়ান্টাম এক্সট্রিমাল সারফেস (QES) নামে পরিচিত। যদি একাধিক কোয়ান্টাম এক্সট্রিমাল সারফেস থাকে তাহলে আমাদেরকে ন্যূনতম ক্ষেত্রফল বিবেচনা করতে হবে। [৬], লেখকরা দ্বীপের পৃষ্ঠে QES প্রেসক্রিপশনকে সাধারণীকরণ করেছেন যেখানে আমাদেরকে সাধারণীকৃত এনট্রপিকে বর্ধিত করতে হবে যেমন কার্যকরী যার মধ্যে দ্বীপের পৃষ্ঠ থেকে অবদান রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, এক্সট্রিমাল পৃষ্ঠগুলি কোয়ান্টাম এক্সট্রিমাল দ্বীপ হিসাবে পরিচিত। যেহেতু, এই থিসিসে, আমরা নিজেদেরকে সময়ের স্বাধীন পটভূমিতে সীমাবদ্ধ রাখছি এবং তাই আমরা HRT সূত্র নিয়ে আলোচনা করব না।

• দ্বিতীয় পদের চূড়ান্ত অভিব্যক্তি পাওয়ার পর প্রতিটি পদটিকে αth পদ হিসাবে লেবেল করি যা রিম্যান টেনসরের সাপেক্ষে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের পার্থক্য থেকে দুইবার পাওয়া যায়।

• আমাদের রিম্যান টেনসরের নির্দিষ্ট উপাদানগুলিতে নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে হবে:

এই প্রস্তাবগুলি নিয়ে আলোচনা করার কারণ হল যে আমরা যখন দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপ এবং ওয়েজ হলোগ্রাফিতে ব্ল্যাক হোলের পৃষ্ঠা বক্ররেখা গণনা করি তখন এই প্রস্তাবগুলি কার্যকর হবে। হলোগ্রাফিক এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি যথাক্রমে [128] এবং [129] এ হলোগ্রাফিক স্ট্রেস টেনসর এবং পৃষ্ঠের পদ থেকেও গণনা করা হয়েছে।

5.2 হকিংয়ের তথ্য প্যারাডক্স এবং পেজ কার্ভ

হকিংয়ের ব্ল্যাক হোল ইনফরমেশন প্যারাডক্স একটি দীর্ঘ সময়ের ধাঁধা যা তার কাগজপত্র দিয়ে শুরু হয়েছিল [130, 131]। যখন পদার্থটি একটি ব্ল্যাক হোল তৈরির জন্য ভেঙে পড়ে, তখন পুরো বিষয়টি এককতায় সংরক্ষিত হয়। ব্ল্যাক হোলের দিগন্ত ব্ল্যাক হোলের সিঙ্গুলারিটি জুড়ে। প্রাথমিকভাবে, সিস্টেমটি একটি বিশুদ্ধ অবস্থায় রয়েছে। হকিং কোয়ান্টাম প্রভাবের উপস্থিতিতে ঋণাত্মক এবং ধনাত্মক শক্তির সাথে জোড়ায় কণা তৈরির বিষয়ে অধ্যয়ন করেছিলেন এবং তিনি দেখতে পান যে নেতিবাচক শক্তিযুক্ত একটি কণা ব্ল্যাক হোলের ভিতরে আটকে যায়, যেখানে ইতিবাচক শক্তিযুক্ত কণাটি অসীম পর্যন্ত ছড়িয়ে পড়ে যা আমরা পাই। হকিং বিকিরণে। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের কারণে আমরা ব্ল্যাক হোল থেকে বিকিরণ পেতে পারি, যা একটি সম্ভাব্য বাধার মধ্য দিয়ে কোয়ান্টাম টানেলিংয়ের সম্ভাবনাকে অনুমতি দেয়। একটি ব্ল্যাক হোলের ক্ষেত্রে, দিগন্ত সম্ভাব্য বাধা হিসেবে কাজ করে। হকিং ব্ল্যাক হোল থেকে বেরিয়ে আসা কণার বর্ণালী গণনা করেন এবং দেখতে পান যে বর্ণালীটি হকিং তাপমাত্রা নামে পরিচিত একটি তাপমাত্রার সাথে তাপীয় বিকিরণ বর্ণালী হিসাবে আচরণ করে, যা একটি মিশ্র অবস্থা বোঝায়। এর মানে হল যে ব্ল্যাক হোল বিশুদ্ধ অবস্থা থেকে মিশ্র অবস্থায় বিবর্তিত হয়, এবং তাই কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একক বিবর্তন সংরক্ষিত হয় না। এটি বিখ্যাত "তথ্য প্যারাডক্স" এর দিকে পরিচালিত করে।

পেজ পরামর্শ দিয়েছে যে যখন আমরা কোয়ান্টাম প্রভাবগুলি অন্তর্ভুক্ত করি, তখন ব্ল্যাক হোলকে অবশ্যই একক বিবর্তন অনুসরণ করতে হবে [132]। যদি আমরা ব্ল্যাক হোল এবং বিকিরণ অঞ্চলকে একক সিস্টেম হিসাবে বিবেচনা করি, তবে প্যারাডক্স সমাধানের জন্য একটি পৃষ্ঠা বক্ররেখা পাওয়া উচিত। বাষ্পীভূত ব্ল্যাক হোলের জন্য, হকিং বিকিরণের এনট্রপি প্রথমে পৃষ্ঠা সময় পর্যন্ত রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায় এবং তারপরে শূন্যে ফিরে আসে [132]। আমরা চিরন্তন ব্ল্যাক হোলগুলিতে আগ্রহী, এবং এই কৃষ্ণগহ্বরগুলির জন্য, এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপির শূন্যে পড়ার পরিবর্তে, কেউ পেজ টাইমের পরে ধ্রুবক এনট্রপি পায়, এবং এই ধ্রুবক মানটি কালোর তাপীয় এনট্রপির দ্বিগুণ সমান। গর্ত.

থিসিসের এই অংশে, আমরা সাহিত্যে প্রদত্ত সাম্প্রতিক প্রস্তাবগুলি ব্যবহার করে চিরন্তন ব্ল্যাক হোলের পৃষ্ঠা বক্ররেখা পাওয়ার উপর ফোকাস করি, যেমন, দ্বীপ প্রস্তাব, দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপ এবং ওয়েজ হলোগ্রাফি। পৃষ্ঠা কার্ভ পাওয়ার পাশাপাশি, আমরা অন্যান্য উত্তেজনাপূর্ণ ফলাফলও পেয়েছি, যা আগামী অধ্যায়ে আলোচনা করা হয়েছে।

5.3 হলগ্রাফি থেকে তথ্য প্যারাডক্সের রেজোলিউশন

ব্ল্যাক হোল তথ্য প্যারাডক্স সমাধানের জন্য হলগ্রাফির ধারণা দিয়ে শুরু হওয়া সাহিত্যে নিম্নলিখিত তিনটি প্রস্তাব পাওয়া যায়।

5.3.1 দ্বীপ প্রস্তাব এবং এইচডি গ্র্যাভিটিতে এর সম্প্রসারণ

[6] এর লেখকরা তথ্য প্যারাডক্সের সমাধান করার জন্য একটি পদ্ধতি প্রস্তাব করেছেন যা পৃষ্ঠা বক্ররেখা পাওয়ার সমতুল্য। ধারণা হল যে প্রারম্ভিক সময়ে আমরা কেবলমাত্র বিকিরণ অঞ্চল থেকে অবদান পাই যা শেষ সময়ে এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপির ভিন্ন অংশ দেয় কারণ হকিং বিকিরণের এনট্রপি সময়ের সমানুপাতিক হতে দেখা যায়। [৬] অনুসারে প্রাথমিক সময়ে পরিস্থিতি একই থাকে যেখানে শেষের দিকে ব্ল্যাক হোলের অভ্যন্তরীণ অংশ এনট্যাঙ্গেলমেন্ট ওয়েজের অংশ হয়ে যায় এবং তাই শেষের দিকে এনট্রপি তেজস্ক্রিয়তার পাশাপাশি ব্ল্যাক হোলের অভ্যন্তর থেকে অবদান গ্রহণ করে। ব্ল্যাক হোলের অভ্যন্তরের যে অংশটি এনট্রপিতে ভূমিকা রাখে তাকে "দ্বীপ" বলা হয়।

দ্বীপ শাসন একটি সেটআপ থেকে প্রস্তাব করা হয়েছিল যেখানে আমরা দ্বি-মাত্রিক CFT স্নানের সাথে প্ল্যাঙ্ক ব্রেনে বাষ্পীভূত JT(Jackiw Teitelboim) ব্ল্যাক হোল এবং কনফর্মাল ম্যাটার যুক্ত করি। ব্ল্যাক হোল প্ল্যাঙ্ক ব্রেনে থাকে এবং হকিং বিকিরণ 2D কনফরমাল বাথের মধ্যে সংগ্রহ করা হয়। এই সেটআপে নিম্নলিখিত তিনটি বর্ণনা রয়েছে।

• 2D-গ্রাভিটি: প্ল্যাঙ্ক ব্রেনটি বাহ্যিক CFT স্নানের সাথে মিলিত হয়, যা হকিং বিকিরণের জন্য সিঙ্ক হিসাবে কাজ করে।

• 3D-মাধ্যাকর্ষণ: দ্বি-মাত্রিক কনফরমাল ক্ষেত্র তত্ত্বের AdS/CFT চিঠিপত্রের মাধ্যমে মেট্রিক AdS3 সহ ত্রি-মাত্রিক মাধ্যাকর্ষণ দ্বৈত রয়েছে।

• QM: বাহ্যিক CFT বাথের সীমানা এক মাত্রিক যেখানে কোয়ান্টাম মেকানিক্স (QM) উপস্থিত থাকে।

[133, 134] এ বিশেষ জেটি ব্ল্যাক হোলের প্রতিরূপ কৌশল ব্যবহার করে মহাকর্ষীয় পাথ ইন্টিগ্রাল থেকে দ্বীপ সূত্রটি উদ্ভূত হয়েছিল। লেখক সংযোগ বিচ্ছিন্ন এবং সংযুক্ত স্যাডল থেকে পৃষ্ঠা বক্ররেখা প্রাপ্ত. একটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন স্যাডল থেকে পৃষ্ঠা বক্ররেখায় রৈখিক সময় নির্ভরতা পায়, যেখানে সংযুক্ত স্যাডলগুলি পৃষ্ঠা বক্ররেখার সসীম অংশ তৈরি করে। [১৩৩] এর আলোচনা এন সীমানা সহ রেপ্লিকা ওয়ার্মহোলগুলির জন্যও ধারণ করে। দ্বীপ পৃষ্ঠের উপস্থিতিতে সাধারণীকৃত এনট্রপি নিম্নরূপ লেখা হয়:

যেখানে R, GN এবং I বিকিরণ অঞ্চল, নিউটন ধ্রুবক এবং দ্বীপ পৃষ্ঠের প্রতিনিধিত্ব করছি। সমীকরণে (5.11) দুটি পদ রয়েছে: দ্বীপ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং বিকিরণ এবং দ্বীপ অঞ্চল থেকে পদার্থের অবদান। (5.11) থেকে, আমরা সহজেই দেখতে পাচ্ছি যে যখন দ্বীপের পৃষ্ঠটি অনুপস্থিত থাকে তখন S gen (r) = S ম্যাট r(R)। সাহিত্যে এটি দেখানো হয়েছে যে দ্বীপের পৃষ্ঠটি দেরী সময়ে আবির্ভূত হয় এবং তাই প্রাথমিকভাবে কেউ পাতা বক্ররেখায় রৈখিক সময় নির্ভরতা পায় এবং শেষ সময়ে, যখন দ্বীপ পৃষ্ঠের অবদান প্রাধান্য পায় তখন কেউ বাষ্পীভূত কালোর জন্য এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপির পতন পায়। গর্ত যেখানে চিরন্তন ব্ল্যাক হোলের জন্য ধ্রুবক অংশ (তাদের তাপীয় এনট্রপির দ্বিগুণ)। তাই, যখন আমরা এই অবদানগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করি, আমরা পেজ কার্ভ পাই। যদি একাধিক দ্বীপ পৃষ্ঠ থাকে তবে আমাদের ন্যূনতম এলাকা সহ একটি বিবেচনা করতে হবে। আমরা [12] সালে শোয়ার্জচাইল্ড ডি-সিটার ব্ল্যাক হোলের পৃষ্ঠা কার্ভ পাওয়ার জন্য এই প্রস্তাবটি অনুসরণ করেছি এবং এই থিসিসের 8 অধ্যায়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। জেটি মাধ্যাকর্ষণ এবং অন্যান্য সমস্যা [138-140] প্রসঙ্গে দ্বীপ প্রস্তাবের প্রয়োগের জন্য [135-137] দেখুন।

[141] সালে উচ্চতর ডেরিভেটিভ মাধ্যাকর্ষণ জন্য দ্বীপ প্রস্তাব বাড়ানো হয়েছিল। প্রস্তাবটি হুবহু [6] এর মতই কিন্তু আমাদের (5.11) এর প্রথম পদটিকে সেই পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে যা উচ্চতর ডেরিভেটিভ মহাকর্ষের এনট্রপি সম্পর্কে তথ্য দিতে পারে এবং এর জন্য সূত্রটি X. ডং দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল। [127] এবং তাই মহাকর্ষীয় ক্রিয়াতে উচ্চতর ডেরিভেটিভ পদের উপস্থিতিতে দ্বীপ প্রস্তাবটি লেখা হয় [141]

যেখানে Smatter (5.11) এর S পদার্থ (R ∪ I) এর সমান এবং S মহাকর্ষ ডং এর সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হবে [127]। AdSd+1/CF Td চিঠিপত্রের জন্য ডং-এর সূত্র নিচে দেওয়া হল[1]।

কোথায়

5.3.2 দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপ

ব্ল্যাক হোলের পৃষ্ঠা বক্ররেখা গণনা করার জন্য দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপ একটি চমৎকার সেটআপ। এর নাম অনুসারে, এটি জে. মালদাসেনা দ্বারা প্রস্তাবিত সাধারণ হলোগ্রাফির ডবল কপি। প্রথমত, আমাদের বাল্ক নিতে হবে এবং স্থানিক স্থানাঙ্কগুলির একটি বরাবর জ্যামিতি ছেঁটে ফেলতে হবে [142, 143]। এটি করার মাধ্যমে, একজন (d + 1)- মাত্রিক বাল্কে এমবেড করা d-মাত্রিক জ্যামিতি তৈরি করে। ডি-ডাইমেনশনাল জ্যামিতি সাহিত্যে এন্ড-অফ-দ্য-ওয়ার্ল্ড ব্রেন বা কার্চরান্ডাল ব্রেন নামে পরিচিত এবং এই হলোগ্রাফিকে "ব্রেনওয়ার্ল্ড হলোগ্রাফি" বলা হয়। কার্চ-র্যান্ডাল মডেলের দুটি অনুলিপিতে যোগদানের মাধ্যমে দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপ পাওয়া যায়। সেটআপে ব্রেনের উপর বসবাসকারী একটি চিরন্তন ব্ল্যাক হোল এবং দুটি স্নান রয়েছে যেখানে আমরা হকিং বিকিরণ সংগ্রহ করতে পারি। এই দুটি স্নান থার্মোফিল্ড ডাবল স্টেট হিসাবে আচরণ করে কারণ এগুলি সীমানা কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্বের (BCFT) দুটি অনুলিপির মতো। আসুন আমরা একটি বটম-আপ পদ্ধতি ব্যবহার করে AdS d+1/BCFTd চিঠিপত্রের প্রসঙ্গে ডবল হোলোগ্রাফি নিয়ে আলোচনা করি এবং সেটআপটি চিত্র 5.1-এ দেখানো হয়েছে।

দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপে নীচে সংক্ষিপ্ত তিনটি বর্ণনা রয়েছে।

• সীমানা বর্ণনা: বাল্ক AdS d+1 এর কনফর্মাল সীমানায় d -মাত্রিক BCFT। BCFTd এর সীমানা হল ( d − 1 ) মাত্রিক ত্রুটি।

মধ্যবর্তী বর্ণনা: বিশ্বের শেষ প্রান্তের মাধ্যাকর্ষণটি ত্রুটিতে স্বচ্ছ সীমানা অবস্থার মাধ্যমে BCFT এর সাথে মিলিত হয়।

• বাল্ক বর্ণনা: BCFTd এর হলোগ্রাফিক ডুয়েল হল AdSd+1 স্পেসটাইম।

তথ্য প্যারাডক্স সমাধানের জন্য মধ্যবর্তী বর্ণনা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। কারণ এই বর্ণনায় ব্ল্যাক হোল পৃথিবীর শেষ প্রান্তে বাস করে সরাসরি বাহ্যিক সিএফটি বাথের সাথে মিলিত হয়। বর্ণনা 1-এ একটি ধ্রুবক টাইম স্লাইসে উপ-অঞ্চল R-এর ভন নিউম্যান এনট্রপি হিসাবে S(R)-কে সংজ্ঞায়িত করুন। কেউ দ্বীপের নিয়ম থেকে দ্বিতীয় বিবরণে S(R) পেতে পারে [6]:

যেখানে সাধারণীকৃত এনট্রপি কার্যকরী (S gen (R ∪ I)) হল [126]:

একটি দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপ এই অর্থে সুবিধাজনক যে আমরা ক্লাসিক্যাল Ryu-Takayanagi সূত্র ব্যবহার করে খুব সহজে S(R) পেতে পারি [107]। যখন বাল্ক (d + 1) মাত্রিক হয় তখন [107]:

যেখানে γ বাল্ক দুটি পৃষ্ঠের সর্বনিম্ন সহ-মাত্রা।

চিত্র 5.1-এ, বাল্কের কনফর্মাল সীমানায় দুটি BCFT আছে। উল্লম্ব রেখাটি হল বিশ্বের প্রান্তের ব্রেন যা ব্ল্যাক হোল ধারণ করে। সিএফটি স্নান ব্ল্যাক হোল দ্বারা নির্গত হকিং বিকিরণ সংগ্রহ করে। এই সেটআপের দুটি সম্ভাব্য চরম পৃষ্ঠ রয়েছে: হার্টম্যান-মালডাসেনা [১৪৪] এবং দ্বীপের পৃষ্ঠতল। হার্টম্যান-মালডাসেনা পৃষ্ঠ দুটি বিসিএফটিকে সংযুক্ত করে; এটি CFT বাথ থেকে শুরু হয়, দিগন্ত অতিক্রম করে, টার্নিং পয়েন্ট পর্যন্ত পৌঁছায় এবং তারপর BCFT এর থার্মোফিল্ড ডাবল পার্টনারের সাথে দেখা করে। হার্টম্যান-মালদাসেনা পৃষ্ঠের জন্য এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি দেরীতে ভিন্ন হয়, যা হকিংয়ের তথ্য প্যারাডক্সকে বোঝায়। দ্বীপের পৃষ্ঠটি বাহ্যিক CFT বাথ থেকে শুরু হয় এবং বিশ্বের শেষ প্রান্তে অবতরণ করে। দ্বীপ পৃষ্ঠের এনট্রপি স্থির মানের (ব্ল্যাক হোলের তাপীয় এনট্রপির দ্বিগুণ) হতে দেখা যায়। অতএব, কেউ এই উভয় চরম পৃষ্ঠের এনট্রপির এনট্রপিগুলির অবদানকে একত্রিত করে পৃষ্ঠা বক্ররেখা পুনরুদ্ধার করে। দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপের বিস্তৃত সাহিত্যের জন্য [7, 145-161] দেখুন।

কিছু লেখক খুঁজে পেয়েছেন যে মাধ্যাকর্ষণ বিশ্বের প্রান্তের ব্রেন [162-165] তে বিশাল আকার ধারণ করে যখন আমরা বাহ্যিক CFT স্নানের সাথে ব্রেন জোড়া করি। কিছু কাগজপত্রে, এটি লেখকদের দ্বারা দেখানো হয়েছিল যে আমরা ব্রেন [11, 154, 166, 167] এ ভরহীন মাধ্যাকর্ষণ দিয়ে দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপ তৈরি করতে পারি। আমরা টপ-ডাউন পদ্ধতি থেকে দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপ তৈরি করেছি [১১] এবং বিস্তারিত অধ্যায় 7 এ দেওয়া হয়েছে। আমাদের একটি নন-কনফরমাল বাথ (QCD2+1) আছে এবং হলোগ্রাফিক ডুয়াল হল M থিওরি যার মধ্যে O(R4) সংশোধন রয়েছে। [১]। আমাদের সেটআপে ভরবিহীন গ্র্যাভিটনের অস্তিত্বের কারণ হল যে আমাদের গ্র্যাভিটনের তরঙ্গ ফাংশনকে স্বাভাবিক করার প্রয়োজন ছিল, দ্বিতীয় কারণটি হল গ্র্যাভিটনের তরঙ্গ ফাংশনের ডিরিচলেট সীমানা অবস্থার কারণে এবং তৃতীয় কারণটি হল শেষ -অফ-দ্য-ওয়ার্ল্ড ব্রেনের অ-শূন্য টান ছিল এবং তাই "আগ্নেয়গিরি"-এর মতো সম্ভাব্য ব্রেনে গ্র্যাভিটনের স্থানীয়করণ সম্ভব। আমরা আমাদের সেটআপে ভরহীন মাধ্যাকর্ষণ সহ পৃষ্ঠা বক্ররেখা পেয়েছি, যা ডিজিপি পদ ছাড়া অন্যান্য দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপে অসম্ভব ছিল। ব্রেনের উপর ভরবিহীন মাধ্যাকর্ষণ নির্ণয়ের একটি বিকল্প পদ্ধতি হল ব্রেন [১৬৬].৫.৩.৩ ওয়েজ হলগ্রাফি

5.3.3 ওয়েজ হোলোগ্রাফি

দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপে, বাহ্যিক স্নান একটি নির্দিষ্ট CFT স্নান। কিছু কাগজপত্রে, এটি পাওয়া গেছে যে মহাকর্ষ পৃথিবীর শেষ প্রান্তে বিশাল এবং দ্বীপ প্রেসক্রিপশন ভরহীন মাধ্যাকর্ষণে বৈধ নয়। কিছু লেখক স্নানকে মাধ্যাকর্ষণ বলেও বিবেচনা করেছেন [8, 9, 162, 169]। এই সেটআপটি সাহিত্যে ওয়েজ হলোগ্রাফি নামে পরিচিত। এটাও যুক্তি ছিল যে ওয়েজ হলোগ্রাফিতে, হার্টম্যান-মালডাসেনা পৃষ্ঠের অস্তিত্ব নেই এবং তাই ওয়েজ হলোগ্রাফিতে কোনও পৃষ্ঠা বক্ররেখা নেই। [১৩] এ, আমরা দেখিয়েছি যে হার্টম্যানমালডাসেনা পৃষ্ঠের এনট্র্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপি অ্যাডএস এবং শোয়ার্জশিল্ড ব্ল্যাক হোলের জন্য শূন্য নয় এবং ডি-সিটার ব্ল্যাক হোলের জন্য এটি শূন্য। এটি বোঝায় যে কেউ অ্যাডএস এবং শোয়ার্জচাইল্ড ব্ল্যাক হোলের জন্য পৃষ্ঠা কার্ভ পেতে পারে তবে ওয়েজ হোলোগ্রাফি ব্যবহার করে ডি-সিটার স্পেসের জন্য নয়। ওয়েজ হলোগ্রাফির সচিত্র বর্ণনার জন্য চিত্র.5.2 দেখুন। ওয়েজ হোলোগ্রাফিতে কেউ পেজ কার্ভ পেতে পারে কি না তা একটি বিতর্কিত বিষয়। এই দিকে কিছু অগ্রগতি [166] করা হয়েছে. লেখক দেখিয়েছিলেন যে কার্চ-র্যান্ডাল ব্রেনে ভরবিহীন মাধ্যাকর্ষণ স্থানীয়করণের মাধ্যমে আমরা পেজ কার্ভ পেতে পারি যদি আমাদের কার্চ-র্যান্ডাল ব্রেনে ডিজিপি পদটি অন্তর্ভুক্ত করতে হয়, উদাহরণ সহ বিস্তারিত বিশ্লেষণের জন্য [170, 171] দেখুন। .

ওয়েজ হলোগ্রাফির গাণিতিক বর্ণনা বর্ণনা করার জন্য নিম্নলিখিত পদক্ষেপটি বিবেচনা করুন, [8, 9, 169]:

উপরের সমীকরণের নিম্নলিখিত সমাধান রয়েছে [9]:

ডাবল হলোগ্রাফির মতো, ওয়েজ হলোগ্রাফিরও তিনটি বর্ণনা রয়েছে:

• সীমানা বর্ণনা: ( d − 1 ) মাত্রিক ত্রুটি সহ বাল্ক AdSd+1 এর কনফর্মাল সীমানায় BCF Td।

• মধ্যবর্তী বর্ণনা: ত্রুটির স্বচ্ছ সীমানা অবস্থার মাধ্যমে দুটি মহাকর্ষীয় সিস্টেম একে অপরের সাথে সংযুক্ত থাকে।

• বাল্ক বর্ণনা: BCFTd এর হলোগ্রাফিক ডুয়েল হল ক্লাসিক্যাল গ্র্যাভিটি AdSd+1 স্পেসটাইম।

( d + 1)- মাত্রিক বাল্কের জন্য ওয়েজ হলোগ্রাফিক অভিধানে বলা হয়েছে: হলোগ্রাফিক ডুয়েল অফ দ্য (d−1)-ডাইমেনশনাল ডিফেক্ট কনফরমাল ফিল্ড থিওরি হল ক্লাসিক্যাল মাধ্যাকর্ষণ (d+1)- মাত্রায়। তাই এটি একটি সহ-মাত্রা দুই হলোগ্রাফি। এখন আসুন এই দ্বৈততা কীভাবে বিদ্যমান তা বোঝা যাক।

Braneworld হোলোগ্রাফি [142,143] প্রথম এবং দ্বিতীয় লাইনের সাথে সম্পর্কযুক্ত যেখানে কার্চ-র্যান্ডাল ব্রেনের গতিশীল মাধ্যাকর্ষণ এবং ত্রুটি CFT এর মধ্যে AdS/CFT পত্রবিন্যাস [17] দ্বিতীয় এবং তৃতীয় লাইনকে সংযুক্ত করে। অতএব, ( d + 1) বাল্কে ধ্রুপদী মাধ্যাকর্ষণ ত্রুটিতে CFTd−1 এর দ্বৈত । ওয়েজ হোলোগ্রাফি 5.3.2 এ আলোচিত দ্বিগুণ হলোগ্রাফিক সেটআপের মতো ব্ল্যাক হোলের পৃষ্ঠা বক্ররেখা পেতে আমাদের সাহায্য করে। হার্টম্যান-মালদাসেনা এবং দ্বীপের পৃষ্ঠতলের এনট্রপিগুলির এনট্রপিগুলি গণনা করতে হবে এবং সময়ের সাথে সাথে এই এনট্রপিগুলির প্লট পৃষ্ঠা বক্ররেখা দেবে।

[1] আমরা ইতিমধ্যে (5.1) তে সূত্রটি লিখেছি, এখানে আমরা (5.1) এর কোভেরিয়েন্ট ফর্মটি লিখছি। এই সূত্রে, a এবং i, j স্পর্শক এবং স্বাভাবিক দিক নির্দেশ করে।