Định lượng độ không đảm bảo phân phối của phép nội suy hạt nhân trên hình cầu

Tổng quan về nội dung

Tóm tắt & Giới thiệu

Mối quan hệ không chắc chắn của phép nội suy hạt nhân trên hình cầu

Nội suy hạt nhân phân tán

Sự khác biệt của toán tử thông qua quy tắc cầu phương

Bằng chứng

Xác minh bằng số

Người giới thiệu

trừu tượng

Đối với phép nội suy nhân hàm cơ sở xuyên tâm (RBF) của dữ liệu phân tán, Schaback [30] năm 1995 đã chứng minh rằng sai số gần đúng có thể đạt được và số điều kiện của ma trận nội suy cơ bản không thể đồng thời được làm nhỏ đi. Ông gọi phát hiện này là một “mối quan hệ không chắc chắn”, một hậu quả không mong muốn của nó là phép nội suy nhân RBF dễ bị ảnh hưởng bởi dữ liệu nhiễu. Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất và nghiên cứu một phương pháp nội suy phân tán để quản lý và định lượng độ không đảm bảo đo do nội suy dữ liệu hình cầu nhiễu có cường độ không đáng kể. Chúng tôi cũng trình bày các kết quả mô phỏng số cho thấy phương pháp của chúng tôi thực tế và mạnh mẽ trong việc xử lý dữ liệu nhiễu từ các môi trường điện toán đầy thách thức.

Từ khóa. Nội suy hạt nhân, giảm thiểu độ không đảm bảo phân tán, dữ liệu hình cầu phân tán

Mối quan hệ không chắc chắn của phép nội suy hạt nhân trên hình cầu

3. Nội suy hạt nhân phân tán.

Hệ quả 2.2 cho thấy phép nội suy kernel hoạt động kém khi đối mặt với dữ liệu nhiễu có cường độ không đáng kể. Để khắc phục nhược điểm lớn này, chúng tôi đề xuất và nghiên cứu trong phần này phương pháp nội suy hạt nhân phân tán (DKI), được thúc đẩy bởi “học tập phân tán” trong tài liệu [37, 19]. Nói một cách hình tượng, đây là một chiến lược chia để trị để định lượng độ không chắc chắn. Để giải thích rõ hơn, chúng tôi mô tả phương pháp này theo ba bước.

4. Sự khác biệt của toán tử thông qua Quy tắc cầu phương.

Trong phần này, trước tiên chúng tôi trình bày ngắn gọn cách tiếp cận toán tử tích phân được khởi xướng trong [8] và sau đó rút ra các giới hạn trên chặt chẽ cho sự khác biệt của các toán tử mà chúng tôi quan tâm, thu được một loại bất đẳng thức lấy mẫu Sobolev nhất định [12] làm sản phẩm phụ. Điểm nổi bật của phần này bao gồm Mệnh đề 4.5) và Bổ đề 4.8.

6. Xác minh bằng số

Bốn mô phỏng được thực hiện trong phần này để xác minh hiệu suất tuyệt vời của DKI. Điều đầu tiên cho thấy DKI thành công trong việc tránh được sự không chắc chắn của phép nội suy hạt nhân. Cái thứ hai thể hiện vai trò của m trong DKI. Phần thứ ba tập trung vào vai trò của chiến lược phân chia trong DKI. Phần cuối cùng so sánh DKI với một số sơ đồ khớp dữ liệu hình cầu phổ biến bao gồm siêu nội suy lọc phân tán (DFH) [21], phác thảo với s ∗ -designs [20] và hồi quy sườn nhân phân tán (DKRR) [8].

Mô phỏng 2: Trong mô phỏng này, chúng tôi thể hiện vai trò của tham số m trong DKI. Chúng tôi tạo ra 10014 mẫu đào tạo (với 141 thiết kế làm đầu vào). Số đơn vị m dao động từ {5, 10, · · · , 200}. Hình 6.2 cho thấy mối quan hệ giữa RMSE của DKI và số lượng máy cục bộ ở các mức nhiễu Gaussian khác nhau, với điều kiện là có tổng số mẫu huấn luyện được đưa ra. Từ Hình 6.2, chúng ta có thể kết luận các khẳng định sau: 1) Đối với các mẫu huấn luyện có mức nhiễu cao hơn, RMSE thử nghiệm thường giảm lúc đầu và sau đó tăng chậm khi số lượng máy cục bộ tăng lên. Các giá trị vừa phải của m sẽ dẫn đến đặc tính gần đúng tốt hơn cho DKI. Lý do là m quá nhỏ không giải quyết thành công vấn đề không chắc chắn trong phép nội suy hạt nhân; m quá lớn sẽ làm tăng sai số khớp, dẫn đến hiệu suất tổng quát hóa kém hơn một chút. 2) Số m tối ưu với RMSE thấp nhất tăng khi nhiễu Gaussian tăng. Điều này xác minh phương trình (3.3) của Định lý 3.2, trong đó sai số gần đúng chủ yếu liên quan đến sai số mẫu đối với nhiễu lớn (tức là M lớn) và có thể giảm đi bằng cách sử dụng m lớn.

NGƯỜI GIỚI THIỆU

[1] R. Bhatia, Phân tích ma trận, tập. 169, Khoa học & Truyền thông Kinh doanh Springer, 2013.

[2] JS Brauchart và K. Hesse, Tích hợp số trên các mặt cầu có chiều tùy ý, Xấp xỉ mang tính xây dựng, 25 (2007), trang 41–71.

[3] G. Brown và F. Dai, Xấp xỉ các hàm trơn trên không gian đồng nhất hai điểm nhỏ gọn, Tạp chí Phân tích Hàm, 220 (2005), trang 401–423.

[4] A. Chernih, IH Sloan, và RS Womersley, Hàm Wendland với độ mượt tăng dần hội tụ về một gaussian, Những tiến bộ trong toán học tính toán, 40 (2014), trang 185– 200.

[5] F. Dai, Bất đẳng thức đa thức đa biến đối với trọng số nhân đôi và trọng số a∞, Tạp chí Phân tích Hàm, 235 (2006), trang 137–170.

[6] F. Dai, Về siêu nội suy tổng quát trên mặt cầu, Kỷ yếu của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ, 134 (2006), trang 2931–2941.

[7] HW Engl, M. Hanke và A. Neubauer, Chính quy hóa các vấn đề nghịch đảo, tập. 375, Khoa học & Truyền thông Kinh doanh Springer, 1996.

[8] H. Feng, S.-B. Lin và D.-X. Chu, Xấp xỉ hàm cơ sở bán kính với dữ liệu được lưu trữ phân bố trên các hình cầu, arXiv:2112.02499, (2021).

[9] T. Hangelbroek, FJ Narcowich, X. Sun, và JD Ward, Xấp xỉ hạt nhân trên đa tạp ii: Định mức l∞ của máy chiếu l2, Tạp chí SIAM về Phân tích Toán học, 43 (2011), trang 662–684.

[10] T. Hangelbroek, FJ Narcowich, và JD Ward, Xấp xỉ hạt nhân trên đa tạp i: giới hạn hằng số lebesgue, Tạp chí SIAM về phân tích toán học, 42 (2010), trang 1732–1760.

[11] K. Hesse, IH Sloan và RS Womersley, Xấp xỉ hàm cơ sở xuyên tâm của dữ liệu phân tán nhiễu trên hình cầu, Numerische Mathematik, 137 (2017), trang 579–605.

[12] K. Hesse, IH Sloan và RS Womersley, Xấp xỉ bình phương nhỏ nhất bị phạt dựa trên rbf cục bộ trên hình cầu với dữ liệu phân tán nhiễu, Tạp chí Toán học tính toán và ứng dụng, 382 (2021), p. 113061.

[13] S. Hubbert, QT Lê Gia, và TM Morton ˆ, Hàm cơ sở xuyên tâm hình cầu, lý thuyết và ứng dụng, Springer, 2015.

[14] MA King, RJ Bingham, P. Moore, PL Whitehouse, MJ Bentley và GA Milne, Ước tính trọng lực vệ tinh thấp hơn về sự đóng góp của mực nước biển ở Nam Cực, Nature, 491 (2012), trang 586–589.

[15] QT Lê Gia, FJ Narcowich, JD Ward, và H. Wendland, Xấp xỉ bình phương nhỏ nhất liên tục và rời rạc bằng các hàm cơ sở xuyên tâm trên mặt cầu, Tạp chí Lý thuyết xấp xỉ, 143 (2006), trang 124–133.

[16] P. Leopardi, Sự phân chia khối cầu đơn vị thành các vùng có diện tích bằng nhau và đường kính nhỏ, Giao dịch điện tử về phân tích số, 25 (2006), trang 309–327.

[17] J. Levesley, Z. Luo và X. Sun, Ước lượng chuẩn của ma trận nội suy và nghịch đảo của chúng liên quan đến các hàm xác định dương nghiêm ngặt, Kỷ yếu của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ, (1999), trang 2127–2134.

[18] S.-B. Lin, X. Chang và X. Sun, Nội suy hạt nhân của dữ liệu phân tán nhiều chiều, bản in trước arXiv arXiv:2009.01514, (2020).

[19] S.-B. Lin, X. Guo và D.-X. Chu, Học tập phân tán với bình phương tối thiểu chính quy, Tạp chí Nghiên cứu Học máy, 18 (2017), trang 3202–3232.

[20] S.-B. Lin, D. Wang và D.-X. Chu, Phác thảo các thiết kế hình cầu trên mặt cầu, Tạp chí SIAM về tính toán khoa học, đang xuất bản (2023).

[21] S.-B. Lin, YG Wang và D.-X. Chu, Siêu nội suy lọc phân tán cho dữ liệu nhiễu trên hình cầu, Tạp chí SIAM về Phân tích Số, 59 (2021), trang 634–659.

[22] JD McEwen và Y. Wiaux, Một định lý lấy mẫu mới trên hình cầu, Giao dịch IEEE về xử lý tín hiệu, 59 (2011), trang 5876–5887.

[23] H. Mhaskar, F. Narcowich, và J. Ward, Bất đẳng thức marcinkiewicz-zygmund hình cầu và cầu phương dương, Toán học tính toán, 70 (2001), trang 1113–1130.

[24] HN Mhaskar, Công thức cầu phương có trọng số và phép tính gần đúng bằng mạng hàm đới trên mặt cầu, Tạp chí Độ phức tạp, 22 (2006), trang 348–370.

[25] C. Muller ¨ , Hài hòa hình cầu, tập. 17, Springer, 1966.

[26] FJ Narcowich, N. Sivakumar và JD Ward, Kết quả ổn định cho phép nội suy dữ liệu phân tán trên hình cầu Euclide, Những tiến bộ trong Toán học tính toán, 8 (1998), trang 137– 163.

[27] FJ Narcowich, X. Sun, JD Ward và H. Wendland, Ước tính lỗi sobolev trực tiếp và nghịch đảo cho phép nội suy dữ liệu phân tán thông qua các hàm cơ sở hình cầu, Cơ sở toán học tính toán, 7 (2007), trang 369–390.

[28] FJ Narcowich và JD Ward, Nội suy dữ liệu phân tán trên các mặt cầu: ước tính lỗi và các hàm cơ sở được hỗ trợ cục bộ, Tạp chí SIAM về Phân tích Toán học, 33 (2002), trang 1393–1410.

[29] A. Rudi, R. Camoriano và L. Rosasco, Ít hơn là nhiều hơn: Chính quy tính toán Nystr¨om., trong NIPS, 2015, trang 1657–1665.

[30] R. Schaback, Ước tính lỗi và số điều kiện cho phép nội suy hàm cơ sở bán kính, Những tiến bộ trong Toán học tính toán, 3 (1995), trang 251–264.

[31] S. Smale và D.-X. Lấy mẫu và tái thiết hàm của Chu, Shannon từ các giá trị điểm, Bản tin của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ, 41 (2004), trang 279–305.

[32] S. Smale và D.-X. Lấy mẫu Chu, Shannon ii: Mối liên hệ với lý thuyết học tập, Phân tích hài hòa tính toán và ứng dụng, 19 (2005), trang 285–302.

[33] Y.-T. Tsai và Z.-C. Shih, Truyền bức xạ được tính toán trước ở mọi tần số bằng cách sử dụng các hàm cơ sở bán kính hình cầu và xấp xỉ tensor phân cụm, Giao dịch ACM trên Đồ họa (TOG), 25 (2006), trang 967–976.

[34] H. Wendland, Xấp xỉ dữ liệu phân tán, tập. 17, Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2004.

[35] MA Wieczorek và RJ Phillips, Các dị thường tiềm tàng trên một quả cầu: Ứng dụng cho độ dày của lớp vỏ mặt trăng, Tạp chí Nghiên cứu Địa vật lý: Các hành tinh, 103 (1998), trang 1715–1724.

[36] RS Womersley, Thiết kế hình cầu hiệu quả với các đặc tính hình học tốt, trong Toán học tính toán đương đại-Kỷ niệm sinh nhật lần thứ 80 của Ian Sloan, Springer, 2018, trang 1243–1285.

[37] Y. Zhang, J. Duchi và M. Wainwright, Phân chia và chinh phục hồi quy sườn nhân: Một thuật toán phân tán với tỷ lệ tối ưu tối thiểu, Tạp chí Nghiên cứu Máy học, 16 (2015), trang 3299–3340.

SM1. Phụ lục A: Chiến lược lựa chọn và đánh giá cho việc phân chia dữ liệu. Trong Phụ lục này, chúng tôi trình bày cách triển khai chi tiết chiến lược lựa chọn và đánh giá (SAJ). Mục đích của chúng tôi là rút ra một loạt các tập hợp con có số lượng tương tự với bán kính phân tách không nhỏ hơn dung sai cho trước c0. Có hai giai đoạn cho SAJ.