Küreler Üzerindeki Çekirdek Enterpolasyonunun Dağıtılmış Belirsizliği Ölçümü

İçeriğe Genel Bakış

Özet ve Giriş

Küreler Üzerindeki Çekirdek Enterpolasyonunun Belirsizlik İlişkisi

Dağıtılmış Çekirdek İnterpolasyonu

Dördülleme Kuralları Yoluyla Operatör Farklılıkları

Kanıtlar

Sayısal Doğrulamalar

Referanslar

Soyut

Dağınık verilerin radyal temel fonksiyonu (RBF) çekirdek enterpolasyonu için, Schaback [30] 1995'te ulaşılabilir yaklaşım hatasının ve temel enterpolasyon matrisinin durum numarasının aynı anda küçük yapılamayacağını kanıtladı. Bu bulguyu bir "belirsizlik ilişkisi" olarak nitelendirdi; bunun istenmeyen sonucu, RBF çekirdek enterpolasyonunun gürültülü verilere duyarlı olmasıdır. Bu yazıda, ihmal edilemeyecek büyüklükteki gürültülü küresel verilerin enterpolasyonunun getirdiği belirsizliği yönetmek ve ölçmek için dağıtılmış bir enterpolasyon yöntemi öneriyor ve inceliyoruz. Ayrıca, yöntemimizin zorlu bilgi işlem ortamlarından gelen gürültülü verileri işleme açısından pratik ve sağlam olduğunu gösteren sayısal simülasyon sonuçlarını da sunuyoruz.

Anahtar kelimeler. Çekirdek enterpolasyonu, dağıtılmış belirsizlik azaltma, dağınık küresel veriler

Küreler Üzerindeki Çekirdek Enterpolasyonunun Belirsizlik İlişkisi

3. Dağıtılmış Çekirdek İnterpolasyonu.

Sonuç 2.2, çekirdek enterpolasyonunun ihmal edilemeyecek büyüklükteki gürültülü verilerle karşı karşıya kalırken zayıf performans gösterdiğini göstermektedir. Bu büyük dezavantajın üstesinden gelmek için, bu bölümde literatürdeki "dağıtılmış öğrenme" ile motive edilen bir dağıtılmış çekirdek enterpolasyonu (DKI) yöntemini öneriyor ve inceliyoruz [37, 19]. Mecazi anlamda konuşursak, bu, belirsizliğin ölçülmesine yönelik bir böl ve yönet stratejisidir. Ayrıntılı olarak, yöntemi üç adımda açıklıyoruz.

4. Dördülleme Kuralları Yoluyla Operatör Farklılıkları.

Bu bölümde, ilk olarak [8]'de başlatılan integral-operatör yaklaşımını kısaca ortaya koyuyoruz ve daha sonra ilgilendiğimiz operatörlerin farklılıkları için sıkı üst sınırlar türetiyoruz ve bir yan ürün olarak belirli bir tür Sobolev örnekleme eşitsizliği [12] elde ediyoruz. Bu bölümün öne çıkan noktaları arasında Önerme 4.5) ve Önerme 4.8 yer almaktadır.

6. Sayısal Doğrulamalar

DKI'nin mükemmel performansını doğrulamak için bu bölümde dört simülasyon gerçekleştirilir. İlki, DKI'nın çekirdek enterpolasyonunun belirsizliğini aşmayı başardığını gösteriyor. İkincisi m'nin DKI'deki rolünü sergiliyor. Üçüncüsü ise DKI'da bölünme stratejisinin rolüne odaklanıyor. Sonuncusu DKI'yı dağıtılmış filtrelenmiş hiperinterpolasyon (DFH) [21], s∗ -tasarımlarıyla çizim [20] ve dağıtılmış çekirdek sırt regresyonu (DKRR) [8] dahil olmak üzere birçok popüler küresel veri uydurma şemasıyla karşılaştırır.

Simülasyon 2: Bu simülasyonda m parametresinin DKI'deki rolünü gösteriyoruz. 10014 eğitim örneği üretiyoruz (girdi olarak 141 tasarımla). Bölme sayısı, m, {5, 10, · · · , 200} arasında değişir. Şekil 6.2, eğitim örneklerinin toplam sayısının verilmesi koşuluyla, DKI'nin RMSE'si ile farklı Gauss gürültüsü seviyeleri altındaki yerel makine sayısı arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Şekil 6.2'den şu iddiaları çıkarabiliriz: 1) Daha yüksek gürültü seviyelerine sahip eğitim örnekleri için, RMSE testi genellikle ilk başta azalır ve yerel makine sayısı arttıkça yavaş yavaş artar. M'nin orta değerleri, DKI için iyi bir yaklaşım özelliği açısından daha iletkendir. Bunun nedeni, çok küçük m'nin çekirdek enterpolasyonundaki belirsizlik sorununu başarılı bir şekilde ele almamasıdır; çok büyük m, uydurma hatasını arttırır, bu da genelleme performansının biraz daha kötü olmasına neden olur. 2) En düşük RMSE'ye sahip optimal m sayısı, Gauss gürültüsünün artmasıyla birlikte büyür. Bu, Teorem 3.2'nin denklemini (3.3) doğrular; burada yaklaşım hatası öncelikle büyük gürültüye (yani büyük M) yönelik örnek hatayla ilgilidir ve büyük bir m kullanılarak azaltılabilir.

REFERANSLAR

[1] R. Bhatia, Matris Analizi, cilt. 169, Springer Bilim ve İşletme Medyası, 2013.

[2] JS Brauchart ve K. Hesse, Keyfi boyutlu küreler üzerinde sayısal entegrasyon, Yapıcı Yaklaşım, 25 (2007), s. 41–71.

[3] G. Brown ve F. Dai, Kompakt iki noktalı homojen uzaylarda düzgün fonksiyonların yaklaşımı, Journal of Functional Analysis, 220 (2005), s. 401–423.

[4] A. Chernih, IH Sloan ve RS Womersley, Artan düzgünlükle Wendland fonksiyonları bir Gaussian'a yakınsar, Advances in Computational Mathematics, 40 (2014), s. 185–200.

[5] F. Dai, İki kat ağırlıklara ve a∞ ağırlıklara göre çok değişkenli polinom eşitsizlikleri, Journal of Functional Analysis, 235 (2006), s. 137–170.

[6] F. Dai, Küre üzerinde genelleştirilmiş hiperinterpolasyon üzerine, Amerikan Matematik Derneği Bildirileri, 134 (2006), s. 2931–2941.

[7] HW Engl, M. Hanke ve A. Neubauer, Ters Problemlerin Düzenlenmesi, cilt. 375, Springer Bilim ve İşletme Medyası, 1996.

[8] H. Feng, S.-B. Lin ve D.-X. Zhou, Küreler üzerinde dağıtıcı olarak depolanan verilerle Radyal temel fonksiyon yaklaşımı, arXiv:2112.02499, (2021).

[9] T. Hangelbroek, FJ Narcowich, X. Sun ve JD Ward, manifoldlar ii üzerinde çekirdek yaklaşımı: l2 projektörünün l∞ normu, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 43 (2011), s. 662–684.

[10] T. Hangelbroek, FJ Narcowich ve JD Ward, i manifoldlarında çekirdek yaklaşımı: lebesgue sabitini sınırlamak, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 42 (2010), s. 1732–1760.

[11] K. Hesse, IH Sloan ve RS Womersley, Küre üzerindeki gürültülü dağınık verilerin radyal temel fonksiyon yaklaşımı, Numerische Mathematik, 137 (2017), s. 579–605.

[12] K. Hesse, IH Sloan ve RS Womersley, Gürültülü dağınık verilerle küre üzerinde yerel rbf tabanlı cezalandırılmış en küçük kareler yaklaşımı, Journal of Computational and Applied Mathematics, 382 (2021), s. 113061.

[13] S. Hubbert, QT Le Gia ve TM Mortonˆ, Küresel radyal temel fonksiyonlar, teori ve uygulamalar, Springer, 2015.

[14] MA King, RJ Bingham, P. Moore, PL Whitehouse, MJ Bentley ve GA Milne, Antarktika deniz seviyesi katkısının alt uydu-gravimetri tahminleri, Nature, 491 (2012), s. 586–589.

[15] QT Le Gia, FJ Narcowich, JD Ward ve H. Wendland, Küreler üzerinde radyal temel fonksiyonlarla sürekli ve ayrık en küçük kareler yaklaşımı, Journal of Approximation Theory, 143 (2006), s. 124–133.

[16] P. Leopardi, Birim kürenin eşit alanlı ve küçük çaplı bölgelere bölünmesi, Elektronik İşlemler Sayısal Analiz, 25 (2006), s. 309–327.

[17] J. Levesley, Z. Luo ve X. Sun, enterpolasyon matrislerinin Norm tahminleri ve bunların kesin pozitif belirli fonksiyonlarla ilişkili tersleri, Amerikan Matematik Derneği Bildirileri, (1999), s. 2127–2134.

[18] S.-B. Lin, X. Chang ve X. Sun, Yüksek boyutlu dağınık verilerin çekirdek enterpolasyonu, arXiv ön baskı arXiv:2009.01514, (2020).

[19] S.-B. Lin, X. Guo ve D.-X. Zhou, Düzenlenmiş en küçük karelerle dağıtılmış öğrenme, The Journal of Machine Learning Research, 18 (2017), s. 3202–3232.

[20] S.-B. Lin, D. Wang ve D.-X. Zhou, Küreler üzerinde küresel tasarımlarla çizim yapmak, SIAM Journal on Scientific Computation, baskıda (2023).

[21] S.-B. Lin, YG Wang ve D.-X. Zhou, Küredeki gürültülü veriler için Dağıtılmış filtrelenmiş hiperinterpolasyon, SIAM Journal on Numerical Analysis, 59 (2021), s. 634–659.

[22] JD McEwen ve Y. Wiaux, Küre üzerinde yeni bir örnekleme teoremi, Sinyal İşleme Üzerine IEEE İşlemleri, 59 (2011), s. 5876–5887.

[23] H. Mhaskar, F. Narcowich ve J. Ward, Küresel marcinkiewicz-zygmund eşitsizlikleri ve pozitif kareleme, Mathematics of Computation, 70 (2001), s. 1113–1130.

[24] HN Mhaskar, Ağırlıklandırılmış kareleme formülleri ve küre üzerindeki bölgesel fonksiyon ağları ile yaklaşım, Journal of Complexity, 22 (2006), s. 348–370.

[25] C. Muller ¨, Küresel Harmonikler, cilt. 17, Springer, 1966.

[26] FJ Narcowich, N. Sivakumar ve JD Ward, Öklid küreleri üzerinde dağınık veri enterpolasyonu için stabilite sonuçları, Advances in Computational Mathematics, 8 (1998), s. 137–163.

[27] FJ Narcowich, X. Sun, JD Ward ve H. Wendland, Küresel temel işlevler yoluyla dağınık veri enterpolasyonu için doğrudan ve ters sobolev hata tahminleri, Computational Mathematics'in Temelleri, 7 (2007), s. 369–390.

[28] FJ Narcowich ve JD Ward, Küreler üzerinde dağınık veri enterpolasyonu: hata tahminleri ve yerel olarak desteklenen temel işlevler, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 33 (2002), s. 1393–1410.

[29] A. Rudi, R. Camoriano ve L. Rosasco, Daha Az Daha Çoktur: Nystr¨om hesaplamalı düzenleme., NIPS, 2015, s. 1657–1665'te.

[30] R. Schaback, Radyal temel fonksiyon enterpolasyonu için hata tahminleri ve durum numaraları, Advances in Computational Mathematics, 3 (1995), s. 251–264.

[31] S. Smale ve D.-X. Zhou, Shannon örnekleme ve nokta değerlerinden fonksiyon yeniden yapılandırması, Amerikan Matematik Derneği Bülteni, 41 (2004), s. 279–305.

[32] S. Smale ve D.-X. Zhou, Shannon örnekleme ii: Öğrenme teorisiyle bağlantılar, Uygulamalı ve Hesaplamalı Harmonik Analiz, 19 (2005), s. 285–302.

[33] Y.-T. Tsai ve Z.-C. Shih, Küresel radyal temel fonksiyonlar ve kümelenmiş tensör yaklaşımı kullanılarak tüm frekanslarda önceden hesaplanmış parlaklık aktarımı, Grafiklerde ACM İşlemleri (TOG), 25 (2006), s. 967–976.

[34] H. Wendland, Dağınık veri yaklaşımı, cilt. 17, Cambridge University Press, 2004.

[35] MA Wieczorek ve RJ Phillips, Bir küre üzerindeki potansiyel anormallikler: Ay kabuğunun kalınlığına yönelik uygulamalar, Jeofizik Araştırma Dergisi: Gezegenler, 103 (1998), s. 1715–1724.

[36] RS Womersley, Çağdaş hesaplamalı matematikte iyi geometrik özelliklere sahip verimli küresel tasarımlar - Ian Sloan'ın 80. doğum günü kutlaması, Springer, 2018, s. 1243–1285.

[37] Y. Zhang, J. Duchi ve M. Wainwright, Çekirdek ridge regresyonunu böl ve yönet: Minimaks optimal oranlara sahip dağıtılmış bir algoritma, The Journal of Machine Learning Research, 16 (2015), s. 3299–3340.

SM1. Ek A: Veri Bölümü için Seç ve Yargıla Stratejisi. Bu Ek'te, seç ve yargıla (SAJ) stratejisinin ayrıntılı uygulamasını sunuyoruz. Amacımız, belirli bir c0 toleransından daha küçük olmayan ayrılma yarıçapına sahip, benzer Önem derecesine sahip bir dizi alt küme türetmektir. SAJ'ın iki aşaması vardır.