著者:  (1) Sha-Bo Lin、西安交通大学経営学部インテリジェント意思決定および機械学習センター、  (2) ミズーリ州立大学数学部、Xingping Sun、  (3) Di Wang、§西安交通大学経営学部インテリジェント意思決定および機械学習センター。 コンテンツの概要 要約と紹介 球上のカーネル補間の不確実性関係 分散カーネル補間 求積則による演算子の違い 証拠 数値検証 参考文献 抽象的な 散乱データの動径基底関数 (RBF) カーネル補間に関して、Schaback [30] は 1995 年に、達成可能な近似誤差と基礎となる補間行列の条件数を同時に小さくすることはできないことを証明しました。彼はこの発見を「不確実性関係」と呼び、その望ましくない結果として、RBF カーネル補間はノイズの多いデータの影響を受けやすくなります。この論文では、無視できない大きさのノイズを含む球面データを補間することによってもたらされる不確実性を管理および定量化するための分散補間法を提案および研究します。また、困難なコンピューティング環境からのノイズの多いデータを処理するという点で、私たちの方法が実用的で堅牢であることを示す数値シミュレーション結果も示します。 カーネル補間、分散不確実性の軽減、散乱球面データ キーワード。 球上のカーネル補間の不確実性関係  3. 分散カーネル補間。 系 2.2 は、無視できない大きさのノイズを含むデータに直面すると、カーネル補間のパフォーマンスが低下することを示しています。この大きな欠点を克服するために、このセクションでは、文献 [37、19] の「分散学習」を動機とする分散カーネル補間 (DKI) 方法を提案および研究します。比喩的に言えば、これは不確実性を定量化するための分割統治戦略です。さらに詳しく説明すると、その方法を 3 つのステップに分けて説明します。   4. 求積規則による演算子の違い。 このセクションでは、まず [8] で開始された積分演算子アプローチを簡単に説明し、次に関心のある演算子の差異に対する厳密な上限を導出し、副産物として特定のタイプの Sobolev サンプリング不等式 [12] を取得します。このセクションのハイライトには、命題 4.5) と補題 4.8 が含まれます。   6. 数値的検証 このセクションでは、DKI の優れたパフォーマンスを検証するために 4 つのシミュレーションが実行されます。 1 つ目は、DKI がカーネル補間の不確実性を回避することに成功していることを示しています。 2 番目のものは、DKI における m の役割を示しています。 3 番目は、DKI における部門戦略の役割に焦点を当てています。最後の例では、DKI を、分散フィルター超内挿 (DFH) [21]、s ∗ -designs によるスケッチ [20]、分散カーネル リッジ回帰 (DKRR) [8] などのいくつかの一般的な球面データ フィッティング スキームと比較します。  このシミュレーションでは、DKI におけるパラメーター m の役割を示します。 10014 個のトレーニング サンプルを生成します (入力として 141 個の設計を使用)。分割数 m の範囲は {5, 10, · · · , 200} です。図 6.2 は、トレーニング サンプルの総数が与えられた場合の、さまざまなレベルのガウス ノイズの下での DKI の RMSE とローカル マシンの数との関係を示しています。図 6.2 から、次の主張を結論付けることができます。 1) 高レベルのノイズを含むトレーニング サンプルの場合、テスト RMSE は通常、最初は減少し、その後、ローカル マシンの数が増加するにつれてゆっくりと増加します。 m の値が適度であると、DKI の近似特性がより良くなります。その理由は、m が小さすぎると、カーネル補間における不確実性の問題にうまく対処できないためです。 m が大きすぎるとフィッティング誤差が増加し、汎化パフォーマンスがわずかに低下します。 2) RMSE が最も低い最適な数 m は、ガウス ノイズが増加するにつれて増加します。これは、定理 3.2 の式 (3.3) を検証します。ここで、近似誤差は主に大きなノイズ (つまり、大きな M) のサンプル誤差に関係しており、大きな m を使用して削減できます。  シミュレーション 2: 参考文献 [1] R. Bhatia、マトリックス分析、vol. 169、シュプリンガー サイエンス & ビジネス メディア、2013 年。  [2] JS Brauchart および K. Hesse、任意次元の球面上の数値積分、Constructive Average、25 (2007)、41 ～ 71 ページ。  [3] G. Brown および F. Dai、コンパクト 2 点均質空間上の滑らかな関数の近似、Journal of Functional Analysis、220 (2005)、401 ～ 423 ページ。  [4] A. Chernih、IH Sloan、および RS Womersley、「滑らかさが増加するウェンドランド関数はガウス分布に収束する」、『Advances in Computational Mathematics』、40 (2014)、185 ～ 200 ページ。  [5] F. Dai、「倍加重みおよび a∞ 重みに関する多変量多項式不等式」、Journal of Functional Analysis、235 (2006)、137 ～ 170 ページ。  [6] F. Dai、「球面上の一般化超補間について」、米国数学協会論文集、134 (2006)、2931 ～ 2941 ページ。  [7] HW Engl、M. Hanke、および A. Neubauer、「逆問題の正則化」、第 1 巻。 375、シュプリンガー サイエンス & ビジネス メディア、1996 年。  [8] H. フェン、S.-B.リン、D.-X。 Zhou、球体上に分散的に保存されたデータによる動径基底関数近似、arXiv:2112.02499、(2021)。  [9] T. Hangelbroek、FJ Narcowich、X. Sun、および JD Ward、多様体上のカーネル近似 ii: l2 プロジェクターの l∞ ノルム、SIAM Journal on Mathematical Analysis、43 (2011)、662–684 ページ。  [10] T. 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球上のカーネル補間の分散不確実性の定量化

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