Количественная оценка распределенной неопределенности ядра интерполяции на сферах

Обзор контента

Аннотация и введение

Отношение неопределенностей ядерной интерполяции на сферах

Распределенная интерполяция ядра

Различия операторов через правила квадратур

Доказательства

Численные проверки

Рекомендации

Абстрактный

Для интерполяции разбросанных данных ядром радиальной базисной функции (RBF) Шабак [30] в 1995 году доказал, что достижимая ошибка аппроксимации и число обусловленности базовой матрицы интерполяции не могут быть одновременно уменьшены. Он назвал этот вывод «отношением неопределенности», нежелательным следствием которого является то, что интерполяция ядра RBF чувствительна к зашумленным данным. В этой статье мы предлагаем и изучаем метод распределенной интерполяции для управления и количественной оценки неопределенности, вызванной интерполяцией зашумленных сферических данных значительной величины. Мы также представляем результаты численного моделирования, показывающие, что наш метод практичен и надежен с точки зрения обработки зашумленных данных из сложных вычислительных сред.

Ключевые слова. Интерполяция ядра, смягчение распределенной неопределенности, разбросанные сферические данные

Отношение неопределенностей ядерной интерполяции на сферах

3. Распределенная интерполяция ядра.

Следствие 2.2 показывает, что интерполяция ядра работает плохо при работе с зашумленными данными значительной величины. Чтобы преодолеть этот серьезный недостаток, мы предлагаем и изучаем в этом разделе метод интерполяции распределенного ядра (DKI), который мотивирован «распределенным обучением» в литературе [37, 19]. Образно говоря, это стратегия «разделяй и властвуй» для количественной оценки неопределенности. Чтобы уточнить, мы опишем метод в три этапа.

4. Операторные различия посредством правил квадратур.

В этом разделе мы сначала кратко излагаем интегрально-операторный подход, начатый в [8], а затем получаем точные верхние оценки для разностей интересующих нас операторов, получая в качестве побочного продукта определенный тип неравенств Соболева [12]. Основные моменты этого раздела включают предложение 4.5) и лемму 4.8.

6. Численные проверки

В этом разделе проводятся четыре моделирования для проверки превосходной производительности DKI. Первый показывает, что DKI удается обойти неопределенность интерполяции ядра. Второй демонстрирует роль m в DKI. Третий фокусируется на роли стратегии подразделения в DKI. Последний сравнивает DKI с несколькими популярными схемами подбора сферических данных, включая распределенную фильтрованную гиперинтерполяцию (DFH) [21], эскизирование с помощью s∗-дизайнов [20] и распределенную регрессию гребня ядра (DKRR) [8].

Моделирование 2: В этом моделировании мы показываем роль параметра m в DKI. Мы генерируем 10014 обучающих выборок (со 141 дизайном в качестве входных данных). Число делений m варьируется в пределах {5, 10, · · · , 200}. На рисунке 6.2 показана связь между RMSE DKI и количеством локальных машин при разных уровнях гауссовского шума при условии, что задано общее количество обучающих выборок. Из рисунка 6.2 мы можем сделать следующие выводы: 1) Для обучающих выборок с более высоким уровнем шума среднеквадратическое отклонение тестирования обычно сначала уменьшается, а затем медленно увеличивается по мере увеличения количества локальных машин. Умеренные значения m более способствуют хорошей аппроксимации DKI. Причина в том, что слишком маленькое значение m не решает проблему неопределенности при интерполяции ядра; слишком большое m увеличивает ошибку аппроксимации, что приводит к несколько худшему качеству обобщения. 2) Оптимальное число m с наименьшим среднеквадратическим отклонением растет с увеличением гауссовского шума. Это подтверждает уравнение (3.3) теоремы 3.2, в котором ошибка аппроксимации в первую очередь связана с ошибкой выборки при большом шуме (т. е. при большом M) и может быть уменьшена с помощью большого m.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Р. Бхатия, Матричный анализ, том. 169, Springer Science & Business Media, 2013.

[2] Дж. С. Браухарт и К. Гессе, Численное интегрирование по сферам произвольной размерности, Конструктивное приближение, 25 (2007), стр. 41–71.

[3] Г. Браун и Ф. Дай, Приближение гладких функций на компактных двухточечных однородных пространствах, Журнал функционального анализа, 220 (2005), стр. 401–423.

[4] А. Черных, И. Х. Слоан и Р. С. Уомерсли, Функции Вендланда с увеличением гладкости сходятся к гауссиане, Успехи в вычислительной математике, 40 (2014), стр. 185–200.

[5] Ф. Дай, Многомерные полиномиальные неравенства относительно удвоения весов и весов a∞, Журнал функционального анализа, 235 (2006), стр. 137–170.

[6] Ф. Дай, Об обобщенной гиперинтерполяции на сфере, Труды Американского математического общества, 134 (2006), стр. 2931–2941.

[7] Х. В. Энгл, М. Ханке и А. Нойбауэр, Регуляризация обратных задач, т. 1, с. 375, Springer Science & Business Media, 1996.

[8] Х. Фэн, С.-Б. Лин и Д.-Х. Чжоу, Приближение радиальной базисной функции с распределенно хранимыми данными о сферах, arXiv:2112.02499, (2021).

[9] Т. Хангельбрук, Ф. Дж. Наркович, X. Сан и Дж. Д. Уорд, Ядерная аппроксимация на многообразиях ii: норма l∞ проектора l2, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 43 (2011), стр. 662–684.

[10] Т. Хангельбрук, Ф. Дж. Наркович и Дж. Д. Уорд, Ядерная аппроксимация на многообразиях i: ограничение константы Лебега, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 42 (2010), стр. 1732–1760.

[11] К. Гессе, И. Х. Слоан и Р. С. Уомерсли, Приближение радиальной базисной функции зашумленных рассеянных данных на сфере, Numerische Mathematik, 137 (2017), стр. 579–605.

[12] К. Гессе, И.Х. Слоан и Р.С. Уомерсли, Локальная аппроксимация методом наименьших квадратов со штрафом на основе rbf на сфере с зашумленными разбросанными данными, Журнал вычислительной и прикладной математики, 382 (2021), с. 113061.

[13] С. Хабберт, К. Т. Ле Гиа и Т. М. Мортон, Сферические радиальные базисные функции, теория и приложения, Springer, 2015.

[14] М. А. Кинг, Р. Дж. Бингэм, П. Мур, П. Л. Уайтхаус, М. Дж. Бентли и Г. А. Милн, Нижние спутниковые гравиметрические оценки вклада уровня антарктического моря, Nature, 491 (2012), стр. 586–589.

[15] К. Т. Ле Гиа, Ф. Дж. Наркович, Дж. Д. Уорд и Х. Вендланд, Непрерывная и дискретная аппроксимация методом наименьших квадратов радиальными базисными функциями на сферах, Журнал теории приближения, 143 (2006), стр. 124–133.

[16] П. Леопарди, Разделение единичной сферы на области равной площади и малого диаметра, Электронные транзакции по численному анализу, 25 (2006), стр. 309–327.

[17] Дж. Левсли, З. Луо и X. Сан, Нормальные оценки интерполяционных матриц и их обратных, связанных со строго положительно определенными функциями, Труды Американского математического общества, (1999), стр. 2127–2134.

[18] С.-Б. Лин, К. Чанг и К. Сан, Интерполяция ядра многомерных разбросанных данных, препринт arXiv arXiv:2009.01514, (2020).

[19] С.-Б. Линь, С. Го и Д.-Х. Чжоу, Распределенное обучение с регуляризованным методом наименьших квадратов, Журнал исследований машинного обучения, 18 (2017), стр. 3202–3232.

[20] С.-Б. Линь, Д. Ван и Д.-Х. Чжоу, Зарисовки сферических изображений на сферах, SIAM Journal on Scientific Computing, в печати (2023 г.).

[21] С.-Б. Линь, Ю.Г. Ван и Д.-Х. Чжоу, Распределенная гиперинтерполяция с фильтрацией для зашумленных данных о сфере, SIAM Journal on Numerical Analysis, 59 (2021), стр. 634–659.

[22] Дж. Д. МакИвен и Ю. Вио, Новая теорема выборки в сфере, IEEE Transactions on Signal Processing, 59 (2011), стр. 5876–5887.

[23] Х. Мхаскар, Ф. Наркович и Дж. Уорд, Сферические неравенства Марцинкевича-Зигмунда и положительная квадратура, Математика вычислений, 70 (2001), стр. 1113–1130.

[24] Х. Н. Мхаскар, Взвешенные квадратурные формулы и аппроксимация сетями зональных функций на сфере, Journal of Complexity, 22 (2006), стр. 348–370.

[25] К. Мюллер ¨, Сферические гармоники, т. 1, с. 17, Спрингер, 1966.

[26] Ф. Дж. Наркович, Н. Сивакумар и Дж. Д. Уорд, Результаты устойчивости для интерполяции рассеянных данных на евклидовых сферах, Успехи в вычислительной математике, 8 (1998), стр. 137–163.

[27] Ф. Дж. Наркович, К. Сан, Дж. Д. Уорд и Х. Вендланд, Прямые и обратные оценки ошибок Соболева для интерполяции разбросанных данных с помощью сферических базисных функций, Основы вычислительной математики, 7 (2007), стр. 369–390.

[28] Ф. Дж. Наркович и Дж. Д. Уорд, Интерполяция разбросанных данных по сферам: оценки ошибок и локально поддерживаемые базисные функции, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 33 (2002), стр. 1393–1410.

[29] А. Руди, Р. Камориано и Л. Росаско, «Меньше значит больше: вычислительная регуляризация Нистрема», в NIPS, 2015, стр. 1657–1665.

[30] Р. Шабак, Оценки ошибок и числа обусловленности для интерполяции радиальной базисной функции, Успехи в вычислительной математике, 3 (1995), стр. 251–264.

[31] С. Смейл и Д.-Х. Чжоу, Выборка Шеннона и реконструкция функций по точечным значениям, Бюллетень Американского математического общества, 41 (2004), стр. 279–305.

[32] С. Смейл и Д.-Х. Чжоу, Выборка Шеннона II: Связь с теорией обучения, Прикладной и вычислительный гармонический анализ, 19 (2005), стр. 285–302.

[33] Ю.-Т. Цай и З.-Ц. Ши, Предварительно вычисленная передача излучения на всех частотах с использованием сферических радиальных базисных функций и аппроксимации кластерных тензоров, ACM Transactions on Graphics (TOG), 25 (2006), стр. 967–976.

[34] Х. Вендланд, Аппроксимация рассеянных данных, том. 17, издательство Кембриджского университета, 2004.

[35] М. А. Вечорек и Р. Дж. Филлипс, Потенциальные аномалии на сфере: Применение к толщине лунной коры, Журнал геофизических исследований: Планеты, 103 (1998), стр. 1715–1724.

[36] Р.С. Уомерсли, Эффективные сферические конструкции с хорошими геометрическими свойствами, в журнале «Современная вычислительная математика: празднование 80-летия Яна Слоана», Springer, 2018, стр. 1243–1285.

[37] Ю. Чжан, Дж. Дучи и М. Уэйнрайт, Регрессия гребня ядра «разделяй и властвуй»: распределенный алгоритм с минимаксными оптимальными показателями, Журнал исследований машинного обучения, 16 (2015), стр. 3299–3340.

СМ1. Приложение A: Стратегия выбора и оценки для отдела данных. В этом приложении мы представляем подробную реализацию стратегии выбора и оценки (SAJ). Наша цель — получить серию подмножеств одинаковой мощности с радиусом разделения не меньшим заданного допуска c0. SAJ состоит из двух этапов.