Autoren:  (1) Sha-Bo Lin, Zentrum für intelligente Entscheidungsfindung und maschinelles Lernen, School of Management, Xi'an Jiaotong University;  (2) Xingping Sun, Fakultät für Mathematik, Missouri State University;  (3) Di Wang, §Center for Intelligent Decision-Making and Machine Learning, School of Management, Xi'an Jiaotong University.  Inhaltsübersicht  Zusammenfassung und Einführung  Unsicherheitsbeziehung der Kernelinterpolation auf Kugeln  Verteilte Kernel-Interpolation  Operatordifferenzen über Quadraturregeln  Beweise  Numerische Überprüfungen  Verweise  Abstrakt  Für die Kernelinterpolation mit radialer Basisfunktion (RBF) von verstreuten Daten bewies Schaback [30] 1995, dass der erreichbare Approximationsfehler und die Bedingungszahl der zugrunde liegenden Interpolationsmatrix nicht gleichzeitig klein gemacht werden können. Er bezeichnete diesen Befund als „Unsicherheitsbeziehung“, deren unerwünschte Folge darin besteht, dass die RBF-Kernelinterpolation anfällig für verrauschte Daten ist. In diesem Artikel schlagen wir eine verteilte Interpolationsmethode vor und untersuchen sie, um die Unsicherheit zu verwalten und zu quantifizieren, die durch die Interpolation verrauschter sphärischer Daten nicht vernachlässigbarer Größenordnung entsteht. Wir präsentieren auch numerische Simulationsergebnisse, die zeigen, dass unsere Methode praktisch und robust im Hinblick auf den Umgang mit verrauschten Daten aus anspruchsvollen Computerumgebungen ist.    Kernel-Interpolation, verteilte Unsicherheitsminderung, verstreute sphärische Daten  Schlüsselwörter.  Unsicherheitsbeziehung der Kernelinterpolation auf Kugeln   3. Verteilte Kernel-Interpolation.  Folgerung 2.2 zeigt, dass die Kernel-Interpolation bei verrauschten Daten nicht vernachlässigbarer Größenordnung schlecht abschneidet. Um diesen großen Nachteil zu überwinden, schlagen wir in diesem Abschnitt eine Methode der verteilten Kernelinterpolation (DKI) vor und untersuchen sie, die durch das „verteilte Lernen“ in der Literatur motiviert ist [37, 19]. Im übertragenen Sinne handelt es sich hierbei um eine Divide-and-Conquer-Strategie zur Unsicherheitsquantifizierung. Zur Erläuterung beschreiben wir die Methode in drei Schritten.   4. Operatorunterschiede über Quadraturregeln.  In diesem Abschnitt stellen wir zunächst kurz einen Integraloperator-Ansatz dar, der in [8] initiiert wurde, und leiten dann enge Obergrenzen für Unterschiede von Operatoren von unserem Interesse ab, wobei wir als Nebenprodukt eine bestimmte Art von Sobolev-Stichprobenungleichungen erhalten [12]. Zu den Höhepunkten des Abschnitts gehören Proposition 4.5) und Lemma 4.8.   6. Numerische Überprüfungen  In diesem Abschnitt werden vier Simulationen durchgeführt, um die hervorragende Leistung von DKI zu überprüfen. Die erste zeigt, dass es DKI gelingt, die Unsicherheit der Kernel-Interpolation zu umgehen. Der zweite zeigt die Rolle von m im DKI. Der dritte Schwerpunkt liegt auf der Rolle der Divisionsstrategie im DKI. Der letzte vergleicht DKI mit mehreren gängigen sphärischen Datenanpassungsschemata, einschließlich der verteilten gefilterten Hyperinterpolation (DFH) [21], dem Skizzieren mit s ∗ -Designs [20] und der verteilten Kernel-Ridge-Regression (DKRR) [8].     In dieser Simulation zeigen wir die Rolle des Parameters m im DKI. Wir generieren 10014 Trainingsbeispiele (mit 141 Designs als Eingaben). Die Anzahl der Unterteilungen m reicht von {5, 10, · · · , 200}. Abbildung 6.2 zeigt die Beziehung zwischen RMSE von DKI und der Anzahl lokaler Maschinen bei unterschiedlichem Gauß-Rauschen, vorausgesetzt, dass die Gesamtzahl der Trainingsbeispiele angegeben ist. Aus Abbildung 6.2 können wir die folgenden Aussagen schließen: 1) Bei Trainingsproben mit höheren Rauschpegeln nimmt der Test-RMSE im Allgemeinen zunächst ab und steigt dann langsam an, wenn die Anzahl der lokalen Maschinen zunimmt. Moderate Werte von m führen eher zu einer guten Näherung für DKI. Der Grund dafür ist, dass ein zu kleines m das Unsicherheitsproblem bei der Kernel-Interpolation nicht erfolgreich löst; Ein zu großes m erhöht den Anpassungsfehler, was zu einer etwas schlechteren Generalisierungsleistung führt. 2) Die optimale Zahl m mit dem niedrigsten RMSE wächst mit zunehmendem Gaußschen Rauschen. Dies bestätigt die Gleichung (3.3) von Theorem 3.2, in der der Näherungsfehler hauptsächlich mit dem Stichprobenfehler für großes Rauschen (dh großes M) zu tun hat und mit einem großen m reduziert werden kann.  Simulation 2:  VERWEISE  [1] R. Bhatia, Matrix Analysis, vol. 169, Springer Science & Business Media, 2013.  [2] JS Brauchart und K. 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In diesem Anhang stellen wir die detaillierte Umsetzung der Select-and-Judge (SAJ)-Strategie vor. Unser Ziel ist es, eine Reihe von Teilmengen ähnlicher Kardinalität abzuleiten, deren Trennungsradius nicht kleiner als eine gegebene Toleranz c0 ist. Es gibt zwei Stufen für SAJ.  SM1. Anhang A: Select-and-Judge-Strategie für die Datenabteilung.  Dieses Dokument ist   . auf arxiv unter der CC0 1.0 DEED-Lizenz verfügbar

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Verteilte Unsicherheitsquantifizierung der Kernelinterpolation auf Kugeln

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