Autor:  (1) David Staines.  Tabela de Links   Resumo   1 Introdução   2 Argumentos Matemáticos   3 Esboço e visualização   4 Estrutura Calvo e 4.1 Problema da Família   4.2 Preferências   4.3 Condições de equilíbrio doméstico   4.4 Problema de definição de preços   4.5 Condições de equilíbrio nominal   4.6 Condições de equilíbrio real e 4.7 Choques   4.8 Equilíbrio Recursivo   5 Soluções existentes   5.1 Curva de Phillips singular   5.2 Persistência e quebra-cabeças de políticas   5.3 Dois modelos de comparação   5.4 Crítica de Lucas   6 Equilíbrio Estocástico e 6.1 Teoria Ergódica e Sistemas Dinâmicos Aleatórios   6.2 Construção de equilíbrio   6.3 Comparação de literatura   6.4 Análise de equilíbrio   7 Curva de Phillips Linearizada Geral   7.1 Coeficientes de Inclinação   7.2 Coeficientes de erro   8 Resultados de Existência e 8.1 Resultados Principais   8.2 Provas-chave   8.3 Discussão   9 Análise de Bifurcação   9.1 Aspectos analíticos   9.2 Aspectos Algébricos (I) Singularidades e Coberturas   9.3 Aspectos Algébricos (II) Homologia   9.4 Esquemas de Aspectos Algébricos (III)   9.5 Interpretações econômicas mais amplas   10 Implicações econométricas e teóricas e 10.1 Identificação e trade-offs   10.2 Dualidade Econométrica   10.3 Propriedades dos coeficientes   10.4 Interpretação Microeconômica   11 Regra de política   12 Conclusões e Referências   Apêndices   Uma prova do Teorema 2 e A.1 Prova da Parte (i)   A.2 Comportamento de ∆   A.3 Prova Parte (iii)   B Provas da Seção 4 e B.1 Demanda Individual de Produto (4.2)   B.2 Equilíbrio de preços flexível e ZINSS (4.4)   B.3 Dispersão de preços (4.5)   B.4 Minimização de custos (4.6) e (10.4)   B.5 Consolidação (4.8)   C Provas da Seção 5 e C.1 Quebra-cabeças, Política e Persistência   C.2 Estendendo a Não Persistência   D Equilíbrio Estocástico e D.1 Equilíbrio Não Estocástico   D.2 Lucros e crescimento de longo prazo   Declives E e autovalores e coeficientes de declive E.1   E.2 Solução DSGE Linearizada   E.3 Condições de autovalor   E.4 Condições do Teorema de Rouche   F Álgebra Abstrata e F.1 Grupos de Homologia   F.2 Categorias básicas   F.3 Cohomologia de De Rham   F.4 Custos marginais e inflação   G Outros modelos keynesianos e G.1 Precificação de Taylor   G.2 Curva de Phillips do salário de Calvo   G.3 Configurações de política não convencionais   H Robustez Empírica e H.1 Seleção de Parâmetros   Curva de Phillips H.2   I Evidências Adicionais e I.1 Outros Parâmetros Estruturais   I.2 Crítica de Lucas   I.3 Tendência da Volatilidade da Inflação  9.5 Interpretações econômicas mais amplas  O componente final da seção fornece uma aplicação mais ampla e um contexto econômico aos objetos e argumentos matemáticos desenvolvidos aqui.  1.   A ideia do teorema de Grobman-Hartman para trajetórias e teoremas de função inversa[85] para mapeamentos é que aproximações lineares podem ser usadas para representar comportamento local porque o sistema é invertível. A invertibilidade falha em ZINSS porque as superfícies singulares restringem o valor de variáveis passadas, que de outra forma determinam o comportamento qualitativo do cociclo, na vizinhança de ZINSS. Isso é mais claro para (3) e (4), mas como ficará claro na próxima seção, também é o caso para (5). Invertibilidade  2.   Se a dispersão de preços é de primeira ou segunda ordem em torno de ZINSS depende de qual métrica limitante é usada. Esta é uma ideia nova para economistas. A razão é que, diferentemente das outras duas no Teorema 6, esta cobertura não é ramificada por nenhuma singularidade porque em torno de ZINSS ela pode ser escrita em forma estática, voltando à Proposição 3. O limite |ε| pode ser visto como o regime volátil, enquanto √ ε é o regime estável onde o efeito da volatilidade da inflação desapareceu. Deve ser útil estudar o papel dinâmico da dispersão de preços na ausência de seus efeitos estáticos. Os resultados provavelmente se estenderão a uma ampla classe de modelos com rigidez real. Coberturas e Polidromia  Além disso, o limite |ε| é uma maneira natural de incorporar volatilidade na inflação de tendência. A evidência empírica, considerada no Apêndice I.3, parece mista sobre se choques de inflação de tendência têm efeitos dinâmicos de primeira ordem. Portanto, aconselho que artigos subsequentes considerem ambos até que evidências decisivas apareçam.  Além disso, o resultado tem implicações econométricas e computacionais imediatas. Informalmente, o limite de ruído pequeno |ε| abrange sua contraparte √ ε, o limite de ruído muito pequeno. Isso o torna a aproximação mais precisa em termos computacionais e o modelo robusto em um sentido econométrico.  Alternativamente, ele introduz a possibilidade, embora limitada, de múltiplos equilíbrios de volta ao DSGE. De fato, na Seção 11, mostro que esse sempre será o caso porque as condições de existência de equilíbrio serão as mesmas para ambos. Esse resultado é geral porque a dispersão de preço se comporta como um termo de erro em torno do ZINSS.  3.   Duas das coberturas do Teorema 6 têm significado especial para um debate macroeconômico de longa data. Ball e Romer [1990] decompõem o efeito da política monetária em um modelo keynesiano em duas forças; rigidez nominal e rigidez real. A rigidez real é o efeito da não neutralidade monetária no comportamento de empresas de preços flexíveis, enquanto a rigidez nominal diz respeito apenas àquelas que têm preços rígidos. Essa dicotomia produz implicações teóricas e empíricas.  Coberturas e Rigidez  Empíricos  Os resultados falam de um antigo debate sobre a interação entre distorções clássicas e keynesianas. A fraca relação entre dispersão de preços e inflação e a promissora estrutura híbrida da curva √ ε Phillips desmentem a alegação de Ball e Romer [1990] de que a rigidez real é necessária para se ajustar à evidência do ciclo de negócios e tornar os efeitos da política monetária substanciais. Isso sublinha a importância do tempo em oposição à mera dependência do estado ao modelar a política monetária, que foi a base para suas alegações.[87] Uma análise mais completa aparecerá no artigo empírico complementar a seguir.  4.   Além disso, os sistemas de cobertura podem ser vistos através de uma lente de economia de bem-estar, mais semelhante à microeconomia. O sistema de rigidez nominal pode refletir falha individual por parte das empresas com preços rígidos, na terminologia de Barile et al. [2017] (ver também Bernheim [2009] e Bernheim [2016]). Caso contrário, podem ser falhas institucionais ou de governança; observe as perspectivas de Vives [ed.] e Tirole [2010].[88] Por outro lado, a rigidez real aqui reflete falha de coordenação, um tema tradicional em macroeconomia (ver Cooper e John [1988] e Leijonhufvud [1968]). Coberturas e falhas de mercado  5.   Isso explica como a curva de Phillips de equilíbrio limite (π, |ε|) → 0 representa um equilíbrio limite que está "ausente" no espaço tangente, como uma veia em uma rocha. Homologia e Equilíbrio Ausente  6.   Construções de equilíbrio limitantes de ruído pequeno são robustas à discretização, em certo sentido. Suponha que os processos estocásticos contínuos na Seção 4.8 e empregados ao longo do artigo fossem substituídos por um processo discreto não degenerado. Agora suponha que a distância máxima entre quaisquer duas realizações dos choques fosse ε. O limite |ε| → 0 recuperaria nosso equilíbrio limitante. Portanto, os resultados aqui podem ser vistos como aproximações de estruturas de troca de regime, como Hamilton [1989] e Hamilton [2010], o que pode ser surpreendente. Discretização  7.   A Figura 1 representa a "aprovação na crítica de Lucas" com relação ao critério de microfundamentos. Crítica de Lucas  8.   Em torno do ZINSS há uma dupla bifurcação no sistema de anéis local, associada à colagem de todas as aproximações lineares para equilíbrios estocásticos e não estocásticos. Há uma bifurcação de inflação de tendência  Dupla Bifurcação  que os economistas têm conhecimento desde Ascari e Rankin [2002]. No entanto, há uma bifurcação estocástica adicional quando o tamanho do termo de erro cai para zero.   É essa bifurcação que os economistas não tinham conhecimento, que está fazendo com que todas as aproximações da estrutura existente forneçam resultados errôneos. Alguma confusão pode surgir porque uma diferença de segunda ordem entre raízes polinomiais de defasagem está causando uma bifurcação de primeira ordem. Esta é certamente uma patologia geométrica incomum.   10.   O espaço ambiente tem codimensão um, no sentido de que se você ajustar uma variável, você se move dentro da superfície singular (em torno de ZINSS (3) implica que esta será a inflação atual ou seu atraso). Isso garante que a quebra de restrições de preços intertemporais "causa" a bifurcação. Isso não aumentaria, no entanto, muitas outras variáveis que adicionei para dar corpo à descrição do lado da oferta. Codimensionalidade  Indiscutivelmente, o principal interesse para economistas estabelecidos é a codimensão da superfície singular. Isso representa quantos coeficientes mudam quando você passa da aproximação singular existente (1) para a aproximação "correta" (2). É fácil ver que isso é igual à dimensão do espaço total. Pode-se pensar na codimensão da superfície singular menos a codimensão da superfície não singular como uma medida do "tamanho" da bifurcação. É uma medida de quão não representativa é a aproximação ZINSS.  Para nosso modelo, esse tamanho é máximo. Em certo sentido, essa é a pior patologia possível. É impossível aprender qualquer coisa com a aproximação existente porque não há nenhum componente da curva de Phillips não afetado. A otimização escalonada cria um mecanismo de transmissão totalmente novo para análise de política monetária. Isso me permitirá anular as propriedades de existência e estabilização do modelo na Seção 11, em comparação com Rotemberg no Teorema 5. Podemos ver a segunda dimensão do buraco como representando as compensações intertemporais, associadas à equação de Euler e ao canal de custo, inerentemente, decorrentes da presença de termos de defasagem. Ela vincula o "buraco dentro de um buraco" de volta à simetria do erro, aparecendo em um estado estável livre de distorções intertemporais.  11.   O sistema de singularidades são restrições impostas ao planejador social ou, equivalentemente, à empresa representativa de Acemoglu [2009] pelo histórico de comportamento não otimizado da economia. Restrições e Eficiência  Formalmente, o problema das empresas representativas assume a forma   A quebra de todas essas restrições simultaneamente é a "Coincidência" por trás da "Coincidência Divina". Isso completa a conta teórica de otimização do modelo Calvo padrão em torno do ZINSS.  A Coincidência Divina está intimamente ligada ao horizonte infinito do problema de otimização de Calvo. Com a heterogeneidade no processo de precificação das empresas, ela pode ser vista como de codimensão infinita porque apenas uma medida de empresas restritas criaria falha de mercado. Isso tem implicações práticas, por exemplo, onde os períodos de preços são truncados, como é comum em trabalhos empíricos.[89] Em torno do ZINSS sempre haveria um multiplicador de restrição positivo nas empresas forçadas a redefinir seus preços para que não houvesse Coincidência Divina. Em geral, a heterogeneidade pode aumentar o tamanho da bifurcação aumentando a codimensão da superfície singular, sem alterar a dimensão da parede.[90]  12.   Os resultados deste artigo demonstraram que a distinção entre matemática e física, onde os físicos teorizam e fazem conjecturas, enquanto os matemáticos fornecem provas rigorosas, não funcionará para a economia. DSGE e a maioria dos outros modelos econômicos são superidentificados (possuem graus negativos de liberdade). Isso significa que conjecturas soltas são propensas a se provarem falsas e os economistas precisam estar cientes das patologias analíticas. Isso deve fornecer terreno fértil para futuras colaborações entre economistas e matemáticos. Economia Matemática  Este artigo está   sob licença CC 4.0. disponível no arxiv  [85] Ao contrário de Grobman-Hartman, existem teoremas de função inversa para derivadas descontínuas, mas eles pressupõem que a derivada seja localmente invertível, o que está ausente aqui (veja https://terrytao.wordpress.com/2011/09/12/the-inverse-function-theorem-foreverywhere-differentiable-maps/).  [86] Este argumento é um pouco mais difícil de motivar; ele surgiria se a volatilidade da produção dominasse a volatilidade da inflação. Heuristicamente, imagine um modelo estático de demanda e oferta agregadas. Isso corresponderia a instâncias onde a curva de oferta é consideravelmente mais íngreme do que o cronograma de demanda agregada. Alternativamente, alguém poderia eliminar a dispersão de preços a priori com a motivação discutida anteriormente.  [87 Uma abordagem alternativa menos formal sobre a rigidez real é achatar a curva de Phillips. Isso será abordado na próxima seção. As conclusões não mudarão.  [88] Alternativamente, poderia ser visto como um comportamento pró-social por parte da empresa, como em Rotemberg [2011]. Este é sem dúvida um caminho mais significativo para futuras pesquisas aplicadas.  [89] Considere, por exemplo, a formulação de Taylor Generalizada de Dixon [2012] e Dixon e Le Bihan [2012], que aproxima o ajuste de preço heterogêneo com contratos de comprimento finito que diferem entre empresas. Eles mostram que estes podem aproximar arbitrariamente bem a distribuição de redefinição sob o Calvo padrão aqui.  [90] Na verdade, a bifurcação seria teoricamente de dimensão infinita se usássemos uma função não paramétrica para estimar a probabilidade de preço de redefinição.

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