Autor:  (1) David Staines.  Tabla de enlaces   Abstracto   1 Introducción   2 Argumentos matemáticos   3 Esquema y vista previa   4 Marco de Calvo y 4.1 Problema del hogar   4.2 Preferencias   4.3 Condiciones de equilibrio del hogar   4.4 Problema de fijación de precios   4.5 Condiciones de equilibrio nominal   4.6 Condiciones de equilibrio real y 4.7 Choques   4.8 Equilibrio recursivo   5 soluciones existentes   5.1 Curva de Phillips singular   5.2 Persistencia y enigmas políticos   5.3 Dos modelos de comparación   5.4 Crítica de Lucas   6 Equilibrio estocástico y 6.1 Teoría ergódica y sistemas dinámicos aleatorios   6.2 Construcción de equilibrio   6.3 Comparación de la literatura   6.4 Análisis de equilibrio   7 Curva de Phillips linealizada general   7.1 Coeficientes de pendiente   7.2 Coeficientes de error   8 Resultados de existencia y 8.1 Resultados principales   8.2 Pruebas clave   8.3 Discusión   9 Análisis de bifurcación   9.1 Aspectos analíticos   9.2 Aspectos algebraicos (I) Singularidades y recubrimientos   9.3 Aspectos algebraicos (II) Homología   9.4 Aspectos algebraicos (III) Esquemas   9.5 Interpretaciones económicas más amplias   10 Implicaciones econométricas y teóricas y 10.1 Identificación y compensaciones   10.2 Dualidad econométrica   10.3 Propiedades de los coeficientes   10.4 Interpretación microeconómica   11 Regla de política   12 Conclusiones y referencias   Apéndices   Una demostración del teorema 2 y A.1 Prueba de la parte (i)   A.2 Comportamiento de ∆   A.3 Prueba Parte (iii)   B Pruebas de la Sección 4 y B.1 Demanda de productos individuales (4.2)   B.2 Equilibrio de precios flexible y ZINSS (4.4)   B.3 Dispersión de precios (4.5)   B.4 Minimización de costos (4.6) y (10.4)   B.5 Consolidación (4.8)   C Pruebas de la Sección 5 y C.1 Acertijos, política y persistencia   C.2 No prolongación de la persistencia   D.1 Equilibrio estocástico y D.2 Equilibrio no estocástico   D.2 Beneficios y crecimiento a largo plazo   Pendientes y valores propios y coeficientes de pendiente E.1   E.2 Solución DSGE linealizada   E.3 Condiciones de valores propios   E.4 Condiciones del teorema de Rouche   Álgebra abstracta F y grupos de homología F.1   F.2 Categorías básicas   F.3 Cohomología de De Rham   F.4 Costos marginales e inflación   G Otros modelos keynesianos y G.1 Precios de Taylor   G.2 Curva de Phillips de Calvo Wage   G.3 Configuraciones de políticas no convencionales   H Robustez empírica y H.1 Selección de parámetros   Curva de Phillips H.2   I Evidencia adicional y I.1 Otros parámetros estructurales   I.2 Crítica de Lucas   I.3 Tendencia de la volatilidad de la inflación  9.5 Interpretaciones económicas más amplias  El componente final de la sección proporciona una aplicación más amplia y un contexto económico a los objetos y argumentos matemáticos desarrollados aquí.  1.   La idea del teorema de Grobman-Hartman para trayectorias y de los teoremas de función inversa[85] para aplicaciones es que se pueden usar aproximaciones lineales para representar el comportamiento local porque el sistema es invertible. La invertibilidad se rompe en ZINSS porque las superficies singulares restringen el valor de las variables pasadas, que de otra manera determinan el comportamiento cualitativo del cociclo, en la vecindad de ZINSS. Esto es más claro para (3) y (4) pero como quedará claro en la siguiente sección, también es el caso para (5). Invertibilidad  2.   El que la dispersión de precios sea de primer o segundo orden alrededor de ZINSS depende de la métrica límite que se utilice. Esta es una idea nueva para los economistas. La razón es que a diferencia de las otras dos del Teorema 6, esta cobertura no está ramificada por ninguna singularidad porque alrededor de ZINSS se puede escribir en forma estática, volviendo a la Proposición 3. El límite |ε| puede verse como el régimen volátil, mientras que √ ε es el régimen estable donde el efecto de la volatilidad de la inflación ha desaparecido. Debería resultar útil estudiar el papel dinámico de la dispersión de precios en ausencia de sus efectos estáticos. Es probable que los resultados se extiendan a una amplia clase de modelos con rigidez real. Coberturas y polidromía  Además, el límite |ε| es una forma natural de incorporar la volatilidad en la inflación tendencial. La evidencia empírica, considerada en el Apéndice I.3, parece mixta en cuanto a si los shocks de inflación tendencial tienen efectos dinámicos de primer orden. Por lo tanto, recomiendo que los artículos posteriores consideren ambos hasta que aparezca evidencia decisiva.  Además, el resultado tiene implicaciones econométricas y computacionales inmediatas. De manera informal, el límite de ruido pequeño |ε| engloba su contraparte √ ε, el límite de ruido muy pequeño. Esto lo convierte en la aproximación más precisa en términos computacionales y en el modelo robusto en un sentido econométrico.  Alternativamente, introduce la posibilidad, aunque limitada, de equilibrios múltiples en DSGE. De hecho, en la Sección 11, muestro que esto siempre será así porque las condiciones de existencia del equilibrio serán las mismas para ambos. Este resultado es general porque la dispersión de precios se comporta como un término de error alrededor de ZINSS.  3.   Dos de las coberturas del Teorema 6 tienen especial importancia para un debate macroeconómico de larga data. Ball y Romer [1990] descomponen el efecto de la política monetaria en un modelo keynesiano en dos fuerzas: rigidez nominal y rigidez real. La rigidez real es el efecto de la no neutralidad monetaria sobre el comportamiento de las empresas con precios flexibles, mientras que la rigidez nominal sólo se aplica a aquellas con precios rígidos. Esta dicotomía produce implicaciones tanto teóricas como empíricas.  Coberturas y rigidez  Empirismo  Los resultados dan cuenta de un viejo debate sobre la interacción entre las distorsiones clásicas y keynesianas. La débil relación entre la dispersión de precios y la inflación y la prometedora estructura híbrida de la curva de Phillips √ ε desmienten la afirmación de Ball y Romer [1990] de que se requiere una rigidez real para ajustarse a la evidencia del ciclo económico y hacer que los efectos de la política monetaria sean sustanciales. Esto subraya la importancia del tiempo en contraposición a la mera dependencia del estado a la hora de modelar la política monetaria, que fue la base de sus afirmaciones.[87] Un análisis más completo aparecerá en el artículo empírico complementario que sigue.  4.   Además, los sistemas de cobertura pueden verse a través de una lente de economía del bienestar, más parecida a la microeconomía. El sistema de rigidez nominal podría reflejar el fracaso individual por parte de las empresas con precios rígidos, en la terminología de Barile et al. [2017] (véase también Bernheim [2009] y Bernheim [2016]). De lo contrario, podrían ser fallos institucionales o de gobernanza; nótese las perspectivas de Vives [ed.] y Tirole [2010].[88] Por otro lado, la rigidez real aquí refleja un fallo de coordinación, un tema tradicional en macroeconomía (véase Cooper y John [1988] y Leijonhufvud [1968]). Coberturas y fallos del mercado  5.   Esto explica cómo la curva de Phillips de equilibrio límite (π, |ε|) → 0 representa un equilibrio límite que "falta" en el espacio tangente, como una veta en una roca. Homología y equilibrio faltante  6.   Las construcciones de equilibrio limitante de ruido pequeño son robustas a la discretización, en cierto sentido. Supongamos que los procesos estocásticos continuos de la Sección 4.8 y empleados a lo largo del documento se reemplazaran por un proceso discreto no degenerado. Ahora supongamos que la distancia máxima entre dos realizaciones cualesquiera de los choques fuera ε. El límite |ε| → 0 recuperaría nuestro equilibrio limitante. Por lo tanto, los resultados aquí pueden verse como una aproximación a los marcos de cambio de régimen, como Hamilton [1989] y Hamilton [2010], lo que podría ser sorprendente. Discretización  7.   La Figura 1 representa "la aprobación de la crítica de Lucas" con respecto al criterio de microfundamentos. Crítica de Lucas  8.   Alrededor de ZINSS hay una doble bifurcación en el sistema de anillos local, asociada con la unión de todas las aproximaciones lineales a los equilibrios estocásticos y no estocásticos. Hay una bifurcación de inflación de tendencia  Doble bifurcación  que los economistas conocen desde Ascari y Rankin [2002]. Sin embargo, hay una bifurcación estocástica adicional a medida que el tamaño del término de error cae a cero.   Los economistas no han sido conscientes de esta bifurcación, lo que está provocando que todas las aproximaciones del marco existente den resultados erróneos. Puede surgir cierta confusión porque una diferencia de segundo orden entre las raíces de los polinomios desfasados está provocando una bifurcación de primer orden. Se trata, sin duda, de una patología geométrica inusual.   10.   El espacio ambiental tiene codimensión uno, en el sentido de que si se ajusta una variable se pasa al interior de la superficie singular (alrededor de ZINSS (3) implica que será la inflación actual o su rezago). Esto garantiza que la ruptura de las restricciones de precios intertemporales "causa" la bifurcación. Esto no aumentaría, sin embargo, muchas otras variables que agregué para completar la descripción del lado de la oferta. Codimensionalidad  Se podría decir que el principal interés para los economistas establecidos es la codimensión de la superficie singular. Esta representa cuántos coeficientes cambian cuando se pasa de la aproximación singular existente (1) a la aproximación "correcta" (2). Es fácil ver que esto es igual a la dimensión del espacio completo. Se puede pensar en la codimensión de la superficie singular menos la codimensión de la superficie no singular como una medida del "tamaño" de la bifurcación. Es una medida de cuán poco representativa es la aproximación ZINSS.  Para nuestro modelo, este tamaño es máximo. En cierto sentido, es la peor patología posible. Es imposible aprender nada de la aproximación existente porque no hay ningún componente de la curva de Phillips que no se vea afectado. La optimización escalonada crea un mecanismo de transmisión completamente nuevo para el análisis de la política monetaria. Esto me permitirá revertir las propiedades de existencia y estabilización del modelo de la Sección 11, en comparación con las de Rotemberg en el Teorema 5. Podemos considerar la segunda dimensión del agujero como la representación de las disyuntivas intertemporales, asociadas con la ecuación de Euler y el canal de costos, que surgen inherentemente de la presencia de términos de rezago. Vincula el "agujero dentro de un agujero" con la simetría de error, que aparece en un estado estable libre de distorsiones intertemporales.  11.   El sistema de singularidades son restricciones impuestas al planificador social o, equivalentemente, a la empresa representativa de Acemoglu [2009] por la historia de comportamiento no optimizador de la economía. Restricciones y eficiencia  Formalmente, el problema de las empresas representativas toma la forma   La ruptura simultánea de todas estas restricciones es la "coincidencia" detrás de la "coincidencia divina". Esto completa la explicación teórica de la optimización del modelo estándar de Calvo en torno a ZINSS.  La coincidencia divina está íntimamente ligada al horizonte infinito del problema de optimización de Calvo. Con la heterogeneidad en el proceso de fijación de precios de las empresas, se puede considerar como de codimensión infinita porque una sola medida de empresas restringidas crearía una falla de mercado. Esto tiene implicaciones prácticas, por ejemplo, cuando los períodos de precios se truncan, como es común en el trabajo empírico.[89] Alrededor de ZINSS siempre habría un multiplicador de restricción positivo sobre las empresas obligadas a restablecer sus precios, por lo que no habría coincidencia divina. En general, la heterogeneidad puede aumentar el tamaño de la bifurcación al aumentar la codimensión de la superficie singular, sin cambiar la dimensión de la pared.[90]  12.   Los resultados de este artículo han demostrado que la distinción entre matemáticas y física, en la que los físicos teorizan y formulan conjeturas mientras que los matemáticos proporcionan pruebas rigurosas, no funcionará en el caso de la economía. El DSGE y la mayoría de los demás modelos económicos están sobreidentificados (poseen grados de libertad negativos). Esto significa que las conjeturas vagas pueden resultar falsas y los economistas deben ser conscientes de las patologías analíticas. Esto debería proporcionar un terreno fértil para la futura colaboración entre economistas y matemáticos. Economía matemática  Este artículo está   bajo licencia CC 4.0. disponible en arxiv  [85] A diferencia de Grobman-Hartman, existen teoremas de función inversa para derivadas discontinuas, pero presuponen que la derivada es localmente invertible, lo que falta aquí (véase https://terrytao.wordpress.com/2011/09/12/the-inverse-function-theorem-foreverywhere-differentiable-maps/).  [86] Este argumento es un poco más difícil de fundamentar; surgiría si la volatilidad de la producción dominara la volatilidad de la inflación. Heurísticamente, imaginemos un modelo estático de oferta y demanda agregada. Esto correspondería a casos en los que la curva de oferta es considerablemente más pronunciada que la curva de demanda agregada. Alternativamente, se podría eliminar la dispersión de precios a priori con la motivación analizada anteriormente.  [87 Una interpretación alternativa menos formal de la rigidez real es que aplana la curva de Phillips. Esto se tratará en la siguiente sección. Las conclusiones no cambiarán.  [88] Alternativamente, podría verse como un comportamiento prosocial por parte de la empresa, como en Rotemberg [2011]. Podría decirse que esta es una vía más importante para la investigación aplicada futura.  [89] Consideremos, por ejemplo, la formulación generalizada de Taylor de Dixon [2012] y Dixon y Le Bihan [2012], que aproxima el ajuste de precios heterogéneo con contratos de duración finita que difieren entre empresas. Demuestran que estos pueden aproximarse arbitrariamente a la distribución de reajuste bajo el método Calvo estándar.  [90] De hecho, la bifurcación sería teóricamente de dimensión infinita si utilizáramos una función no paramétrica para estimar la probabilidad del precio de reinicio.

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