Autor:  (1) David Staines.  Linktabelle   Abstrakt   1 Einleitung   2 Mathematische Argumente   3 Gliederung und Vorschau   4 Calvo-Rahmenwerk und 4.1 Haushaltsproblem   4.2 Einstellungen   4.3 Gleichgewichtsbedingungen für Haushalte   4.4 Preissetzungsproblem   4.5 Nominelle Gleichgewichtsbedingungen   4.6 Reale Gleichgewichtsbedingungen und 4.7 Schocks   4.8 Rekursives Gleichgewicht   5 Vorhandene Lösungen   5.1 Singuläre Phillips-Kurve   5.2 Persistenz und politische Rätsel   5.3 Zwei Vergleichsmodelle   5.4 Lucas-Kritik   6 Stochastisches Gleichgewicht und 6.1 Ergodentheorie und zufällige dynamische Systeme   6.2 Gleichgewichtskonstruktion   6.3 Literaturvergleich   6.4 Gleichgewichtsanalyse   7 Allgemeine linearisierte Phillips-Kurve   7.1 Steigungskoeffizienten   7.2 Fehlerkoeffizienten   8 Existenzergebnisse und 8.1 Hauptergebnisse   8.2 Wichtige Beweise   8.3 Diskussion   9 Bifurkationsanalyse   9.1 Analytische Aspekte   9.2 Algebraische Aspekte (I) Singularitäten und Überdeckungen   9.3 Algebraische Aspekte (II) Homologie   9.4 Algebraische Aspekte (III) Schemata   9.5 Weiter gefasste ökonomische Interpretationen   10 Ökonometrische und theoretische Implikationen und 10.1 Identifikation und Kompromisse   10.2 Ökonometrische Dualität   10.3 Koeffizienteneigenschaften   10.4 Mikroökonomische Interpretation   11 Grundsatzregel   12 Schlussfolgerungen und Referenzen   Anhänge   A Beweis von Theorem 2 und A.1 Beweis von Teil (i)   A.2 Verhalten von ∆   A.3 Beweisteil (iii)   B Beweise aus Abschnitt 4 und B.1 Individuelle Güternachfrage (4.2)   B.2 Flexibles Preisgleichgewicht und ZINSS (4.4)   B.3 Preisstreuung (4.5)   B.4 Kostenminimierung (4.6) und (10.4)   B.5 Konsolidierung (4.8)   C Beweise aus Abschnitt 5 und C.1 Rätsel, Strategie und Persistenz   C.2 Keine Persistenz erweitern   D Stochastisches Gleichgewicht und D.1 Nicht-stochastisches Gleichgewicht   D.2 Gewinne und langfristiges Wachstum   E Steigungen und Eigenwerte und E.1 Steigungskoeffizienten   E.2 Linearisierte DSGE-Lösung   E.3 Eigenwertbedingungen   E.4 Bedingungen für den Rouche-Satz   F Abstrakte Algebra und F.1 Homologiegruppen   F.2 Grundkategorien   F.3 De Rham-Kohomologie   F.4 Grenzkosten und Inflation   G Weitere keynesianische Modelle und G.1 Taylorpreis   G.2 Calvo-Lohn-Phillips-Kurve   G.3 Unkonventionelle politische Einstellungen   H Empirische Robustheit und H.1 Parameterauswahl   H.2 Phillips-Kurve   I Weitere Nachweise und I.1 Weitere Strukturparameter   I.2 Lucas-Kritik   I.3 Trendvolatilität der Inflation  9.5 Weiter gefasste ökonomische Interpretationen  Der letzte Teil des Abschnitts bietet einen breiteren Anwendungs- und wirtschaftlichen Kontext für die hier entwickelten mathematischen Objekte und Argumente.  1.   Die Idee des Grobman-Hartman-Theorems für Trajektorien und der Umkehrfunktionssätze[85] für Abbildungen besteht darin, dass lineare Näherungen verwendet werden können, um lokales Verhalten darzustellen, da das System invertierbar ist. Die Invertierbarkeit bricht bei ZINSS zusammen, da die singulären Flächen den Wert vergangener Variablen, die sonst das qualitative Verhalten des Kozykels bestimmen, in der Nähe von ZINSS einschränken. Dies ist am deutlichsten für (3) und (4), aber wie im nächsten Abschnitt deutlich wird, ist dies auch für (5) der Fall. Invertierbarkeit  2.   Ob die Preisstreuung um ZINSS erster oder zweiter Ordnung ist, hängt davon ab, welche Grenzmetrik verwendet wird. Dies ist für Ökonomen eine neue Idee. Der Grund dafür ist, dass diese Überdeckung im Gegensatz zu den anderen beiden in Theorem 6 nicht durch eine Singularität verzweigt ist, da sie um ZINSS in statischer Form geschrieben werden kann, was auf Proposition 3 zurückgeht. Die |ε|-Grenze kann als volatiles Regime betrachtet werden, während √ ε das stabile Regime ist, in dem der Effekt der Inflationsvolatilität verschwunden ist. Es sollte sich als nützlich erweisen, die dynamische Rolle der Preisstreuung ohne ihre statischen Effekte zu untersuchen. Die Ergebnisse lassen sich wahrscheinlich auf eine breite Klasse von Modellen mit realer Starrheit ausweiten. Überdeckungen und Polydromie  Darüber hinaus ist die |ε|-Grenze eine natürliche Möglichkeit, die Volatilität in die Trendinflation einzubeziehen. Die empirischen Beweise, die in Anhang I.3 behandelt werden, scheinen gemischte Ergebnisse darüber zu liefern, ob Trendinflationsschocks dynamische Effekte erster Ordnung haben. Daher empfehle ich, in nachfolgenden Arbeiten beides zu berücksichtigen, bis entscheidende Beweise vorliegen.  Darüber hinaus hat das Ergebnis unmittelbare ökonometrische und rechnerische Auswirkungen. Informell umfasst die kleine Rauschgrenze |ε| ihr Gegenstück √ ε, die sehr kleine Rauschgrenze. Dies macht sie zur rechnerisch präziseren Näherung und zum robusten Modell im ökonometrischen Sinne.  Alternativ führt es die Möglichkeit, wenn auch begrenzt, für mehrere Gleichgewichte zurück in DSGE ein. Tatsächlich zeige ich in Abschnitt 11, dass dies immer der Fall sein wird, da die Bedingungen für das Vorhandensein eines Gleichgewichts für beide gleich sind. Dieses Ergebnis ist allgemeingültig, da sich die Preisstreuung wie ein Fehlerterm um ZINSS verhält.  3.   Zwei der Deckungen aus Theorem 6 haben eine besondere Bedeutung für eine langjährige makroökonomische Debatte. Ball und Romer [1990] zerlegen die Wirkung der Geldpolitik in einem keynesianischen Modell in zwei Kräfte: nominale Rigidität und reale Rigidität. Reale Rigidität ist die Auswirkung der monetären Nichtneutralität auf das Verhalten von Unternehmen mit flexiblen Preisen, während nominale Rigidität nur diejenigen betrifft, die starre Preise haben. Diese Dichotomie hat sowohl theoretische als auch empirische Implikationen.  Deckungen und Rigidität  Empirie  Die Ergebnisse spiegeln eine alte Debatte über das Zusammenspiel klassischer und keynesianischer Verzerrungen wider. Die schwache Beziehung zwischen Preisstreuung und Inflation und die vielversprechende Hybridstruktur der √ ε Phillips-Kurve widerlegen die Behauptung von Ball und Romer [1990], dass echte Starrheit erforderlich sei, um die Konjunkturdaten zu berücksichtigen und die Auswirkungen der Geldpolitik substanziell zu machen. Dies unterstreicht die Bedeutung der Zeit im Gegensatz zur bloßen Abhängigkeit vom Staat bei der Modellierung der Geldpolitik, die die Grundlage für seine Behauptungen bildete.[87] Eine umfassendere Analyse wird im folgenden empirischen Begleitpapier erscheinen.  4.   Darüber hinaus können die Deckungssysteme durch eine wohlfahrtsökonomische Linse betrachtet werden, die eher der Mikroökonomie ähnelt. Das nominale Rigiditätssystem könnte ein individuelles Versagen der Unternehmen mit starren Preisen widerspiegeln, in der Terminologie von Barile et al. [2017] (siehe auch Bernheim [2009] und Bernheim [2016]). Andernfalls könnte es sich um institutionelles oder Governance-Versagen handeln; beachten Sie die Perspektiven von Vives [Hrsg.] und Tirole [2010]. [88] Andererseits spiegelt reale Rigidität hier ein Koordinationsversagen wider, ein traditionelles Thema in der Makroökonomie (siehe Cooper und John [1988] und Leijonhufvud [1968]). Deckungen und Marktversagen  5.   Dies erklärt, wie die Grenzgleichgewichts-Phillipskurve (π, |ε|) → 0 ein Grenzgleichgewicht darstellt, das im Tangentialraum „fehlt“, wie eine Ader in einem Felsen. Homologie und fehlendes Gleichgewicht  6.   Kleine, rauscharme Grenzgleichgewichtskonstruktionen sind in gewissem Sinne robust gegenüber Diskretisierung. Nehmen wir an, die kontinuierlichen stochastischen Prozesse in Abschnitt 4.8 und im gesamten Dokument würden durch einen nicht entarteten diskreten Prozess ersetzt. Nehmen wir nun an, der maximale Abstand zwischen zwei beliebigen Realisierungen der Schocks wäre ε. Der Grenzwert |ε| → 0 würde unser Grenzgleichgewicht wiederherstellen. Daher können die hier erzielten Ergebnisse als Annäherung an Regimewechselrahmen wie Hamilton [1989] und Hamilton [2010] angesehen werden, was überraschend sein könnte. Diskretisierung  7.   Abbildung 1 stellt das „Bestehen der Lucas-Kritik“ in Bezug auf das Mikrofundamentationskriterium dar. Lucas-Kritik  8.   Um ZINSS herum gibt es eine doppelte Bifurkation im lokalen Ringsystem, die mit dem Zusammenkleben aller linearen Näherungen an stochastische und nicht-stochastische Gleichgewichte verbunden ist. Es gibt eine Trendinflations-Bifurkation  Doppelte Bifurkation  die Ökonomen seit Ascari und Rankin [2002] kennen. Es gibt jedoch eine zusätzliche stochastische Bifurkation, wenn die Größe des Fehlerterms auf Null fällt.   Es ist diese Bifurkation, die den Ökonomen unbekannt war und die dazu führt, dass alle Näherungen des bestehenden Rahmens zu fehlerhaften Ergebnissen führen. Es kann zu Verwirrung kommen, weil ein Unterschied zweiter Ordnung zwischen den Wurzeln des Lag-Polynoms eine Bifurkation erster Ordnung verursacht. Dies ist sicherlich eine ungewöhnliche geometrische Pathologie.   10.   Der Umgebungsraum hat die Kodimension eins, in dem Sinne, dass man sich innerhalb der singulären Oberfläche bewegt, wenn man eine Variable anpasst (um ZINSS (3) herum bedeutet dies, dass dies entweder die aktuelle Inflation oder ihre Verzögerung sein wird). Dies stellt sicher, dass der Zusammenbruch der intertemporalen Preisbeschränkungen die Bifurkation „verursacht“. Dies würde jedoch nicht die Anzahl anderer Variablen erhöhen, die ich hinzugefügt habe, um die Beschreibung der Angebotsseite zu konkretisieren. Kodimensionalität  Das Hauptinteresse etablierter Ökonomen gilt wohl der Kodimension der singulären Oberfläche. Diese gibt an, wie viele Koeffizienten sich ändern, wenn man von der bestehenden singulären Näherung (1) zur „richtigen“ Näherung (2) übergeht. Es ist leicht zu erkennen, dass dies der Dimension des gesamten Raums entspricht. Man kann sich die Kodimension der singulären Oberfläche abzüglich der Kodimension der nicht singulären Oberfläche als Maß für die „Größe“ der Bifurkation vorstellen. Sie ist ein Maß dafür, wie unrepräsentativ die ZINSS-Näherung ist.  Für unser Modell ist diese Größe maximal. In gewisser Weise ist dies die schlimmstmögliche Pathologie. Es ist unmöglich, aus der bestehenden Näherung etwas zu lernen, da keine Komponente der Phillips-Kurve unberührt bleibt. Die gestaffelte Optimierung schafft einen völlig neuen Übertragungsmechanismus für die Analyse der Geldpolitik. Dies wird es mir ermöglichen, die Existenz und die Stabilisierungseigenschaften des Modells in Abschnitt 11 im Vergleich zu Rotemberg in Theorem 5 umzukehren. Wir können die zweite Dimension des Lochs als Darstellung der intertemporalen Kompromisse betrachten, die mit der Euler-Gleichung und dem Kostenkanal verbunden sind und von Natur aus aus der Anwesenheit von Verzögerungstermen entstehen. Es verbindet das „Loch im Loch“ wieder mit der Fehlersymmetrie, die in einem stationären Zustand ohne intertemporale Verzerrungen auftritt.  11.   Das System der Singularitäten sind Beschränkungen, die dem Sozialplaner oder gleichwertig dem repräsentativen Unternehmen von Acemoglu [2009] durch die Geschichte nicht optimierenden Verhaltens der Wirtschaft auferlegt werden. Beschränkungen und Effizienz  Formal nimmt das Problem der repräsentativen Firmen die Form an   Der gleichzeitige Zusammenbruch all dieser Einschränkungen ist der „Zufall“ hinter dem „göttlichen Zufall“. Damit ist die optimierungstheoretische Darstellung des Standard-Calvo-Modells rund um ZINSS abgeschlossen.  Der göttliche Zufall ist eng mit dem unendlichen Horizont des Calvo-Optimierungsproblems verbunden. Angesichts der Heterogenität im Preisfindungsprozess von Unternehmen kann dieser als von unendlicher Kodimension angesehen werden, da bereits eine einzige Maßnahme eingeschränkter Unternehmen zu einem Marktversagen führen würde. Dies hat praktische Auswirkungen, beispielsweise wenn Preisperioden verkürzt werden, wie dies in der empirischen Arbeit üblich ist.[89] Um ZINSS herum würde es immer einen positiven Einschränkungsmultiplikator für die Unternehmen geben, die gezwungen sind, ihre Preise neu festzulegen, sodass es keinen göttlichen Zufall gäbe. Im Allgemeinen kann Heterogenität die Größe der Bifurkation erhöhen, indem sie die Kodimension der singulären Oberfläche erhöht, ohne die Dimension der Wand zu ändern.[90]  12.   Die Ergebnisse dieses Artikels haben gezeigt, dass die Unterscheidung zwischen Mathematik und Physik, wo Physiker Theorien aufstellen und Vermutungen anstellen, während Mathematiker strenge Beweise liefern, in der Ökonomie nicht funktioniert. DSGE und die meisten anderen Wirtschaftsmodelle sind überidentifiziert (besitzen negative Freiheitsgrade). Das bedeutet, dass sich vage Vermutungen als falsch erweisen können und Ökonomen sich analytischer Pathologien bewusst sein müssen. Dies sollte einen fruchtbaren Boden für die zukünftige Zusammenarbeit zwischen Ökonomen und Mathematikern bieten. Mathematische Ökonomie  Dieses Dokument ist   . auf Arxiv unter der CC 4.0-Lizenz verfügbar  [85] Im Gegensatz zu Grobman-Hartman gibt es inverse Funktionssätze für unstetige Ableitungen, aber diese setzen voraus, dass die Ableitung lokal invertierbar ist, was hier fehlt (siehe https://terrytao.wordpress.com/2011/09/12/the-inverse-function-theorem-foreverywhere-differentiable-maps/).  [86] Dieses Argument ist etwas schwieriger zu begründen; es würde sich ergeben, wenn die Volatilität der Produktion die Volatilität der Inflation dominieren würde. Stellen Sie sich heuristisch ein statisches aggregiertes Nachfrage- und Angebotsmodell vor. Dies würde Fällen entsprechen, in denen die Angebotskurve erheblich steiler ist als die aggregierte Nachfragekurve. Alternativ könnte man die Preisstreuung mit der zuvor diskutierten Begründung von vornherein streichen.  [87 Eine alternative, weniger formale Sichtweise auf reale Rigidität geht von einer Abflachung der Phillips-Kurve aus. Dies wird im nächsten Abschnitt behandelt. Die Schlussfolgerungen werden sich nicht ändern.  [88] Alternativ könnte es als pro-soziales Verhalten seitens des Unternehmens betrachtet werden, wie in Rotemberg [2011]. Dies ist wohl ein bedeutenderer Ansatz für zukünftige angewandte Forschung.  [89] Betrachten wir beispielsweise die verallgemeinerte Taylor-Formulierung von Dixon [2012] und Dixon und Le Bihan [2012], die heterogene Preisanpassungen mit Verträgen endlicher Laufzeit approximiert, die sich zwischen den Unternehmen unterscheiden. Sie zeigen, dass diese die Reset-Verteilung unter dem hier üblichen Calvo beliebig gut approximieren können.  [90] Tatsächlich wäre die Bifurkation theoretisch unendlich dimensional, wenn wir eine nichtparametrische Funktion zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit einer Preisneufestsetzung verwenden würden.

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