重力諸島と多元宇宙

リンク表

抽象的な

了承

パート I

第1章;序章

第 2 章: IIA 型文字列理論からの SU(3) LEC

第 3 章: 回転の有無における中間結合における熱 QCD 様理論における閉じ込め解除相転移

第4章：結論と今後の展望

パート II

第 5 章: はじめに

第 6 章: HD 重力におけるライスナー ノルドストローム ブラック ホールのページ カーブ

第 7 章: 中間結合における Tc を超える熱 QCD の M 理論双対からのもつれエントロピーとページ曲線

第 8 章: マルチイベントの地平線時空におけるブラック ホール諸島

第 9 章: カーチ・ランダル ブレーンワールドの多元世界

第10章：結論と今後の展望

付録 A

付録 B

付録 C

参考文献

パート II (HD) 重力諸島とマルチバース

「神はサイコロを振らない。」 - アルバート・アインシュタイン

「神はサイコロを振るだけではなく、時には目に見えないところでもサイコロを投げます。」 - スティーブン・ホーキング博士

「神が目に見えないところにサイコロを振っても、それが私たちに影響を与えることはありません。」 - ドン・ペイジ

第 5 章 - はじめに

この章では、ホログラフィーによる情報パラドックスとその解決を理解するために必要な資料を紹介します。セクション 5.1 のエンタングルメントエントロピーに関する議論から始まり、セクション 5.2 で情報パラドックスとページ曲線について議論し、最後に 5.3 でアイランド提案、二重ホログラフィックセットアップ、およびウェッジホログラフィーからの情報パラドックスの解決について議論します。それぞれ1、5.3.2、5.3.3

5.1 ホログラフィックもつれエントロピー: Ryu-Takayanagi と Dong の提案

量子力学におけるもつれエントロピー (QM):まず、量子力学系におけるもつれエントロピーについて説明します。状態が |ψ⟩ で表されるシステムを考えてみましょう。システムの密度行列は次のように定義されます。

もつれのエントロピーは、フォン ノイマン エントロピーによって測定されます。このためには、まずシステムを 2 つのサブシステム A と B に分割する必要があります。サブシステム A と B の状態は、|ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ となるように |ψ⟩A と |ψ⟩B で表されます。 A ⊗ |ψ⟩B 。サブシステム A の縮小密度行列は、サブシステム B の自由度をトレースすることによって取得され、その逆も同様です。

ここで、フォン ノイマン エントロピーは次のように定義されます。

場の量子論 (QFT) におけるもつれエントロピー: QFT では因数分解が常に可能であるとは限らないため、システムをサブシステムに因数分解することにより、場の量子論 (QFT) でもつれエントロピーを計算するのは簡単ではありません。 QFT のもつれエントロピーはレプリカ トリックを使用して計算されます。まず、Renyi エントロピーを定義しましょう。

• ∂A に固定されたバルク Md+1 内の共次元 2 曲面 (ϵA) を見つける必要があります。

• 多くの面が存在する可能性がありますが、相同性制約を満たすもの、つまり ϵA が境界領域 A にスムーズに後退できるものを考慮する必要があります。

• 相同性制約を満たす表面のうち、面積が最小のものを選択する必要があるため、もつれエントロピーは次のように定義されます。

Ryu-Takayangi 式には一定の制限があり、時間に依存しない背景に適用できます。時間依存のバックグラウンドについては、HRT 公式 [125] を使用する必要があります。ここで、HRT はハブニー、ランガマニ、高柳を表します。 Ryu-Takayanagi の公式に対する ℏ のすべての次数に対する量子補正は [126] に組み込まれており、一般化エントロピーを極限化する必要があります。一般化エントロピーを極限化する曲面は量子極限曲面(QES)として知られています。複数の量子極値面がある場合は、面積が最小のものを考慮する必要があります。 [6] では、著者らは QES 処方を島表面に一般化し、島表面からの寄与を含む一般化エントロピーのような汎関数を極限化する必要があります。この場合、極値表面は量子極値アイランドとして知られています。この論文では、時間に依存しない背景に限定しているため、HRT 公式については説明しません。

• ラグランジアンをリーマンテンソルで 2 回微分して得られる第 2 項の最終式を求めた後、各項を α 番目の項とします。

• リーマンテンソルの特定の成分に対して次の変換を実行する必要があります。

これらの提案について議論する理由は、二重ホログラフィックセットアップとウェッジホログラフィーでブラックホールのページ曲線を計算するときに、これらの提案が役立つからです。ホログラフィックもつれエントロピーも、それぞれ [128] と [129] でホログラフィック応力テンソルと表面項から計算されています。

5.2 ホーキングの情報パラドックスとページカーブ

ホーキング博士のブラックホール情報パラドックスは、彼の論文から始まった長年の謎です[130、131]。物質が崩壊してブラックホールが形成されると、物質全体が特異点に格納されます。ブラック ホールの地平線はブラック ホールの特異点を覆っています。最初、システムは純粋な状態にあります。ホーキング博士は、量子効果の存在下で負のエネルギーと正のエネルギーを持った粒子がペアで生成されることを研究し、負のエネルギーを持った粒子はブラックホールの中に閉じ込められるのに対し、無限に散乱した正のエネルギーを持った粒子は私たちが受け取るものであることを発見しました。ホーキング放射で。量子力学によりブラックホールから放射線を得ることができ、ポテンシャル障壁を通過する量子トンネリングの可能性が可能になります。ブラックホールの場合、地平線は潜在的な障壁として機能します。ホーキング博士は、ブラック ホールから出てくる粒子のスペクトルを計算し、そのスペクトルがホーキング温度として知られる温度の熱放射のスペクトルとして振る舞うことを発見しました。これは混合状態を意味します。これは、ブラック ホールが純粋状態から混合状態に進化することを意味し、したがって量子力学のユニタリ進化は保存されません。これは有名な「情報パラドックス」につながります。

Page は、量子効果を含めると、ブラック ホールは単一進化に従う必要があると示唆しました [132]。ブラック ホールと放射線領域を 1 つのシステムとして考える場合、パラドックスを解決するにはページ曲線を取得する必要があります。蒸発するブラック ホールの場合、ホーキング放射のエンタングルメント エントロピーは、まずページ時間まで時間とともに直線的に増加し、その後ゼロに戻ります [132]。私たちは永遠のブラック ホールに興味を持っています。そして、これらのブラック ホーの場合、エンタングルメント エントロピーがゼロになる代わりに、ページ時間後に一定のエンタングルメント エントロピーが得られます。この一定の値は、ブラック ホールの熱エントロピーの 2 倍に等しくなります。穴。

論文のこの部分では、文献で与えられた最近の提案、たとえばアイランド提案、二重ホログラフィックセットアップ、ウェッジホログラフィを使用して、永遠のブラックホールのページ曲線を取得することに焦点を当てます。 Page 曲線の取得とは別に、他の興味深い結果も得られました。これについては次の章で説明します。

5.3 ホログラフィーによる情報パラドックスの解決

ブラックホール情報パラドックスを解決するためのホログラフィーのアイデアから始まった文献には、次の3つの提案があります。

5.3.1 アイランド提案とその HD Gravity への拡張

著者らは [6] で、ページ曲線を取得するのと同等の情報パラドックスを解決する方法を提案しました。アイデアとしては、ホーキング放射のもつれエントロピーは時間に比例することが判明するため、早い時間には、遅い時間ではもつれエントロピーの発散部分を与える放射領域からの寄与のみが得られるということです。 [6] によると、初期には状況は同じままですが、後期にはブラック ホールの内部がエンタングルメント ウェッジの一部となり、したがって後期にはエンタングルメント エントロピーがブラック ホールの内部だけでなく放射からも寄与を受けます。ブラックホール内部のエンタングルメントエントロピーに寄与する部分は「アイランド」として知られています。

アイランド則は、プランク ブレーン上の蒸発する JT(Jackiew Taitelboim) ブラック ホールと共形物質を 2 次元 CFT バスと結合する設定から提案されました [6]。ブラック ホールはプランク ブレーンに含まれており、ホーキング放射は 2D コンフォーマル バスに収集されます。この設定には次の 3 つの説明があります。

• 2D-Gravity:プランク ブレーンは外部 CFT バスに結合されており、ホーキング放射のシンクとして機能します。

• 3D-重力: 2 次元共形場理論には、AdS/CFT 対応を介してメトリック AdS3 との 3 次元重力デュアルがあります。

• QM:外部 CFT バスの境界は 1 次元であり、量子力学 (QM) が存在します。

島の公式は、[133, 134] の特別な JT ブラック ホールのレプリカ トリックを使用して、重力経路積分から導かれました。著者らは、切断されたサドルと接続されたサドルからページ曲線を取得しました。切り離されたサドルからはページ曲線の線形時間依存性が得られますが、接続されたサドルはページ曲線の有限部分を生成します。 [133] の議論は、 n境界を持つレプリカ ワームホールにも当てはまります。島の表面が存在する場合の一般化エントロピーは次のように記述されます。

ここで、R、GN、I は放射領域、ニュートン定数、島の表面を表します。式 (5.11) には、島の表面の面積と、放射線と島の領域からの物質の寄与という 2 つの項が含まれています。 (5.11) から、島の表面が存在しない場合、 S gen (r) = S mat r(R) であることが簡単にわかります。文献では、島の表面が遅い時間に出現するため、最初はページ曲線で線形の時間依存性が得られ、遅い時間で島の表面の寄与が支配的になると、蒸発する黒のもつれエントロピーの低下が得られることが示されています。ホールは、永遠のブラック ホールの定数部分 (熱エントロピーの 2 倍) です。したがって、これらの寄与を含めると、ページ曲線が得られます。複数の島の表面がある場合は、面積が最小のものを考慮する必要があります。我々はこの提案に従い、[12] でシュワルツシルト デシッター ブラック ホールのページ曲線を取得し、この論文の第 8 章で詳細に説明しました。 JT 重力およびその他の問題 [138-140] に関連した島提案の適用については、[135-137] を参照してください。

アイランドの提案は、[141] でより高い微分重力のために拡張されました。この提案は [6] とまったく同様ですが、(5.11) の最初の項を、より高い微分重力のもつれエントロピーに関する情報を与えることができる項に置き換える必要があります。同じ式は X. Dong によって提案されました。 [127] したがって、重力作用に高次の微分項が存在する場合の島の提案は次のように書かれます [141]

ここで、Smatter は (5.11) の S物質(R ∪ I) と同じであり、S重力はDong の公式 [127] を使用して計算されます。 AdSd+1/CF Td の対応関係については、Dong の公式を以下に示します [1]。

どこ

5.3.2 二重ホログラフィックのセットアップ

二重ホログラフィック設定は、ブラック ホールのページ曲線を計算するのに最適な設定です。その名前が示すように、これは J. マルダセナによって提案された通常のホログラフィーの二重コピーです。まず、バルクを取得し、空間座標の 1 つに沿ってジオメトリを切り詰める必要があります [142、143]。そうすることで、(d + 1) 次元のバルクに埋め込まれた d 次元のジオメトリが生成されます。 d 次元幾何学は文献では世界の終わりのブレーンまたはカーチランダル ブレーンとして知られており、このホログラフィーは「ブレーンワールド ホログラフィー」と呼ばれています。二重ホログラフィック セットアップは、Karch-Randall モデルの 2 つのコピーを結合することによって得られます。この設定は、ブレーン上に存在する永遠のブラック ホールと、ホーキング放射を収集できる 2 つの槽で構成されています。これら 2 つの浴は、境界共形場理論 (BCFT) の 2 つのコピーのようなものであるため、熱場の二重状態として動作します。ボトムアップアプローチを使用した AdS d+1/BCFTd対応のコンテキストでダブルホログラフィーについて説明します。セットアップを図 5.1 に示します。

二重ホログラフィック設定には、以下にまとめた 3 つの説明があります。

• 境界の説明:バルク AdS d+1の等角境界におけるd次元 BCFT。 BCFTdの境界は ( d − 1 ) 次元の欠陥です。

• 中間の説明:世界の終わりのブレーン上の重力は、欠陥における透明な境界条件を介して BCFT に結合されます。

• 一括説明: BCFTdのホログラフィック デュアルはAdSd+1時空です。

中間記述は、情報パラドックスを解決するために非常に重要です。なぜなら、この説明では、世界の終わりのブレーンに住むブラックホールが外部のCFTバスと直接結合しているからです。 S(R) を、記述 1 の一定タイム スライス上の部分領域 R のフォン ノイマン エントロピーとして定義します。アイランド ルール [6] から 2 番目の記述の S(R) を取得できます。

ここで、一般化エントロピー汎関数 (S gen (R ∪ I)) は [126] です。

二重ホログラフィックセットアップは、古典的な Ryu-Takayanagi 式 [107] を使用してS(R)を非常に簡単に取得できるという意味で有利です。バルクが (d + 1) 次元の場合、[107]:

ここで、 γ はバルク内の 2 つの表面の最小共次元です。

図 5.1 では、バルクの等角境界上に 2 つの BCFT があります。縦の線はブラックホールが存在する世界の終わりのブレーンです。 CFT バスは、ブラック ホールから放出されるホーキング放射を収集します。この設定には、Hartman-Maldacena [144] とアイランド サーフェスという 2 つの可能な極表面があります。 Hartman-Maldacena 曲面は 2 つの BCFT を接続します。それは CFT バスから始まり、地平線を越え、転換点に達し、その後 BCFT のサーモフィールド ダブルパートナーと出会います。ハートマン・マルダセナ面では、もつれのエントロピーは遅い時間で発散しており、これはホーキングの情報パラドックスを暗示しています。島の表面は外部の CFT バスから始まり、世界の終わりのブレーンに到着します。島表面のもつれエントロピーは一定値(ブラックホールの熱エントロピーの2倍)であることが判明する。したがって、これらの両方の極表面のもつれエントロピーの寄与を組み合わせることによってページ曲線を復元します。二重ホログラフィック設定に関する広範な文献については、[7, 145–161] を参照してください。

一部の著者は、世界の終わりのブレーンを外部の CFT バスに接続すると、重力がこのブレーン上で巨大になることを発見しました [162-165]。いくつかの論文では、ブレーン上に無重力を備えた二重ホログラフィック装置を構築できることが著者らによって示されている[11、154、166、167]。 [11] でトップダウンアプローチから二重ホログラフィックセットアップを構築しました。詳細は第 7 章で説明されています。非コンフォーマルバス (QCD2+1) があり、ホログラフィックデュアルは O(R4 ) 補正を含む M 理論です。 [1]。私たちの設定に無質量重力子が存在する理由は、重力子の波動関数を正規化する必要があるためであり、2 番目の理由は重力子の波動関数に関するディリクレ境界条件によるもので、3 番目の理由はその目的です。世界のブレーンはゼロではない張力を持っていたため、「火山」のようなポテンシャルのブレーン上で重力子の局在化が可能です。私たちのセットアップでは、無質量重力を伴うページ曲線が得られましたが、これは、DGP 項がなければ他の二重ホログラフィックセットアップでは不可能でした。ブレーン上の無質量重力を推定するための 1 つの代替方法は、ブレーン [166] に Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP) 項 [168] を含めることです。 5.3.3 ウェッジ ホログラフィー

5.3.3 ウェッジホログラフィー

二重ホログラフィックセットアップでは、外部バスは固定 CFT バスです。いくつかの論文では、世界の終わりのブレーンでは重力が巨大であり、質量のない重力では島の処方は無効であることが判明しました。著者の中には、お風呂にも引力があると考えている人もいます[8、9、162、169]。このセットアップは文献ではウェッジ ホログラフィーとして知られています。また、ウェッジ ホログラフィーではハートマン マルダセナ面が存在しないため、ウェッジ ホログラフィーにはページ曲線が存在しないと主張されました。 [13] では、HartmanMaldacena 面のもつれエントロピーが AdS および Schwarzschild ブラック ホールではゼロではなく、de-Sitter ブラック ホールではゼロであることを示しました。これは、ウェッジ ホログラフィーを使用すると、AdS およびシュワルツシルト ブラック ホールのページ曲線は取得できるが、デシッター空間では取得できないことを意味します。ウェッジホログラフィーの図による説明については、図 5.2 を参照してください。ウェッジホログラフィーでページカーブを取得できるかどうかは、議論の余地があるトピックです。 [166] では、この方向である程度の進歩が見られました。著者は、Karch-Randall ブレーンに DGP 項を含める必要があるという条件で、Karch-Randall ブレーン上に局在する無重力のページ曲線を取得できることを示しました。例を含む詳細な分析については、[170, 171] を参照してください。 。

ウェッジ ホログラフィーの数学的記述を説明するには、次のアクション [8、9、169] を考慮してください。

上の方程式には次の解があります [9]。

ダブル ホログラフィーと同様に、ウェッジ ホログラフィーにも次の 3 つの説明があります。

• 境界の説明: ( d − 1 ) 寸法欠陥を持つバルクAdSd+1の共形境界上の BCF Td。

• 中間の説明: 2 つの重力システムは、欠陥における透明な境界条件を介して相互に接続されています。

• 一括説明: BCFTdのホログラフィック双対は古典重力AdSd+1時空です。

( d + 1) 次元バルクのウェッジ ホログラフィック辞書は次のように述べられています: (d−1) 次元欠陥共形場理論のホログラフィック 双対は (d+1) 次元における古典的重力です。したがって、それは共次元 2 ホログラフィーです。では、この二重性がどのように存在するのかを理解しましょう。

Braneworld ホログラフィー [142,143] は 1 番目と 2 番目の線を関連付けますが、Karch-Randall ブレーン上の動的重力と欠陥 CFT の間の AdS/CFT 対応関係 [17] は 2 番目と 3 番目の線を接続します。したがって、( d + 1) バルクの古典的重力は、欠陥ではCFTd−1 と双対になります。ウェッジ ホログラフィーは、5.3.2 で説明した二重ホログラフィーのセットアップと同様のブラック ホールのページ曲線を取得するのに役立ちます。ハートマン・マルダセナと島の表面のもつれエントロピーを計算する必要があり、これらのエントロピーを時間とともにプロットすると、ページ曲線が得られます。

[1] (5.1) で式をすでに書きましたが、ここでは (5.1) の共変形式を書きます。この式において、a、i、j は接線方向と法線方向を表します。