ग्रेविटी द्वीप और मल्टीवर्स

लिंक की तालिका

अमूर्त

पावती

भाग I

अध्याय 1 परिचय

अध्याय 2: टाइप आईआईए स्ट्रिंग थ्योरी से एसयू(3) एलईसी

अध्याय 3: रोटेशन की अनुपस्थिति और उपस्थिति में मध्यवर्ती युग्मन पर थर्मल क्यूसीडी-जैसे सिद्धांतों में डिकॉन्फ़िनमेंट चरण संक्रमण

अध्याय 4: निष्कर्ष और भविष्य का दृष्टिकोण

भाग द्वितीय

अध्याय 5: परिचय

अध्याय 6: एचडी ग्रेविटी में रीस्नर-नॉर्डस्ट्रॉम ब्लैक होल के पेज कर्व्स

अध्याय 7: मध्यवर्ती युग्मन पर टीसी के ऊपर थर्मल क्यूसीडी के एम-थ्योरी डुअल से एंटैंगलमेंट एन्ट्रॉपी और पेज कर्व

अध्याय 8: मल्टी-इवेंट होराइज़न स्पेस-टाइम्स में ब्लैक होल द्वीप समूह

अध्याय 9: कार्च-रान्डेल ब्रैनवर्ल्ड में मल्टीवर्स

अध्याय 10: निष्कर्ष और भविष्य का दृष्टिकोण

परिशिष्ट ए

परिशिष्ट बी

परिशिष्ट सी

ग्रन्थसूची

भाग- II (एचडी) ग्रेविटी आइलैंड्स, और मल्टीवर्स

"भगवान पासा नहीं खेलते।" - अल्बर्ट आइंस्टीन

"भगवान न केवल पासे खेलते हैं, वह कभी-कभी पासे वहां भी फेंकते हैं जहां उन्हें देखा नहीं जा सकता।" - स्टीफन हॉकिंग

"यदि भगवान पासे वहां फेंकते हैं जहां वे दिखाई नहीं देते, तो वे हमें प्रभावित नहीं कर सकते।" - डॉन पेज

अध्याय 5 - परिचय

इस अध्याय में, हम होलोग्राफी से सूचना विरोधाभास और इसके समाधान को समझने के लिए आवश्यक सामग्रियों का परिचय प्रस्तुत करते हैं। हम खंड 5.1 में उलझाव एन्ट्रापी पर चर्चा से शुरू करते हैं, हम खंड 5.2 में सूचना विरोधाभास और पृष्ठ वक्र पर चर्चा करते हैं और अंत में हम द्वीप प्रस्ताव से 5.3 में सूचना विरोधाभास के समाधान पर चर्चा करते हैं, 5.3 में दोगुना होलोग्राफिक सेटअप और वेज होलोग्राफी। क्रमशः 1, 5.3.2 और 5.3.3

5.1 होलोग्राफिक एंटैंगलमेंट एन्ट्रॉपी: रयु-ताकायानागी और डोंग के प्रस्ताव

क्वांटम यांत्रिकी (क्यूएम) में उलझाव एन्ट्रॉपी: आइए पहले हम क्वांटम यांत्रिकी प्रणाली में उलझाव एन्ट्रॉपी पर चर्चा करें। आइए एक ऐसी प्रणाली पर विचार करें जिसकी स्थिति |ψ⟩ द्वारा निरूपित की जाती है। सिस्टम के घनत्व मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

एन्टैंगलमेंट एन्ट्रॉपी को वॉन-न्यूमैन एन्ट्रॉपी द्वारा मापा जाता है। इसके लिए, सबसे पहले हमें सिस्टम को दो सबसिस्टम ए और बी में विभाजित करना होगा। सबसिस्टम ए और बी में राज्यों को |ψ⟩A और |ψ⟩B द्वारा निरूपित किया जाता है ताकि |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ ए ⊗ |ψ⟩बी . सबसिस्टम ए का कम घनत्व मैट्रिक्स सबसिस्टम बी की स्वतंत्रता की डिग्री का पता लगाकर प्राप्त किया जाता है और इसके विपरीत।

अब, वॉन-न्यूमैन एन्ट्रॉपी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

क्वांटम फील्ड थ्योरी (क्यूएफटी) में एन्टैंगलमेंट एन्ट्रॉपी: सिस्टम को सबसिस्टम में फैक्टरिंग करके क्वांटम फील्ड थ्योरी (क्यूएफटी) में एन्टैंगलमेंट एन्ट्रॉपी की गणना करना आसान नहीं है क्योंकि क्यूएफटी में फैक्टराइजेशन हमेशा संभव नहीं होता है। क्यूएफटी में उलझाव एन्ट्रापी की गणना प्रतिकृति चाल का उपयोग करके की जाती है। सबसे पहले, आइए रेनी एन्ट्रॉपी को परिभाषित करें:

• हमें बल्क Md+1 में एक सह-आयाम दो सतह (ϵA) का पता लगाने की आवश्यकता है जो ∂A पर आधारित है।

• कई सतहों की संभावना है लेकिन हमें उस पर विचार करना होगा जो समरूपता की बाधा को पूरा करता है, यानी, ϵA सीमा क्षेत्र ए के लिए आसानी से वापस लेने योग्य है।

• उन सतहों में से जो समरूपता की बाधा को पूरा करती हैं, हमें न्यूनतम क्षेत्र के साथ एक को चुनने की जरूरत है, फिर उलझाव एन्ट्रापी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

रयु-ताकायांगी सूत्र की कुछ सीमाएँ हैं, यह समय-स्वतंत्र पृष्ठभूमि पर लागू होता है। समय पर निर्भर पृष्ठभूमि के लिए, किसी को एचआरटी फॉर्मूला [125] का उपयोग करना आवश्यक है जहां एचआरटी का मतलब हुबनी, रंगमणि और ताकायानागी है। रयू-ताकायानागी फॉर्मूला में ℏ के सभी क्रमों में क्वांटम सुधारों को [126] में शामिल किया गया था, जहां किसी को सामान्यीकृत एन्ट्रापी को चरम सीमा तक ले जाने की आवश्यकता होती है। वे सतहें जो सामान्यीकृत एन्ट्रापी को चरम सीमा तक ले जाती हैं, क्वांटम चरम सतहें (क्यूईएस) के रूप में जानी जाती हैं। यदि एक से अधिक क्वांटम चरम सतहें हैं तो हमें न्यूनतम क्षेत्रफल वाली सतह पर विचार करने की आवश्यकता है। [6] में, लेखकों ने क्यूईएस नुस्खे को द्वीप सतहों पर सामान्यीकृत किया है जहां हमें सामान्यीकृत एन्ट्रॉपी को कार्यात्मक की तरह चरमीकृत करने की आवश्यकता होती है जिसमें द्वीप सतहों से योगदान शामिल होता है। इस मामले में, चरम सतहों को क्वांटम चरम द्वीप के रूप में जाना जाता है। चूँकि, इस थीसिस में, हम खुद को समय की स्वतंत्र पृष्ठभूमि तक ही सीमित रख रहे हैं और इसलिए हम एचआरटी सूत्र पर चर्चा नहीं करेंगे।

• आइए दूसरे पद की अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करने के बाद प्रत्येक पद को αवें पद के रूप में लेबल करें जो रीमैन टेन्सर के संबंध में लैग्रेंजियन के दो बार विभेदन से प्राप्त होता है।

• हमें रीमैन टेंसर के कुछ घटकों पर निम्नलिखित परिवर्तन करने की आवश्यकता है:

इन प्रस्तावों पर चर्चा करने का कारण यह है कि जब हम डबल होलोग्राफिक सेटअप और वेज होलोग्राफी में ब्लैक होल के पेज कर्व की गणना करेंगे तो ये प्रस्ताव उपयोगी होंगे। होलोग्राफिक उलझाव एन्ट्रॉपी की गणना क्रमशः [128] और [129] में होलोग्राफिक स्ट्रेस टेंसर और सतह शब्दों से भी की गई है।

5.2 हॉकिंग की सूचना विरोधाभास और पृष्ठ वक्र

हॉकिंग की ब्लैक होल सूचना विरोधाभास एक लंबे समय से चली आ रही पहेली है जो उनके पेपर्स [130, 131] से शुरू हुई थी। जब पदार्थ एक ब्लैक होल बनाने के लिए ढह जाता है, तो पूरा पदार्थ एकवचन में संग्रहीत हो जाता है। ब्लैक होल का क्षितिज ब्लैक होल विलक्षणता को ढकता है। प्रारंभ में, सिस्टम शुद्ध अवस्था में है। हॉकिंग ने क्वांटम प्रभावों की उपस्थिति में नकारात्मक और सकारात्मक ऊर्जा वाले जोड़े में कणों के निर्माण का अध्ययन किया, और उन्होंने पाया कि नकारात्मक ऊर्जा वाला कण ब्लैक होल के अंदर फंस जाता है, जबकि सकारात्मक ऊर्जा वाला कण अनंत तक बिखर जाता है, वही हमें प्राप्त होता है हॉकिंग विकिरण में. हम क्वांटम यांत्रिकी के कारण ब्लैक होल से विकिरण प्राप्त कर सकते हैं, जो संभावित अवरोध के माध्यम से क्वांटम टनलिंग की संभावना की अनुमति देता है। ब्लैक होल के मामले में, क्षितिज संभावित अवरोधक के रूप में कार्य करता है। हॉकिंग ने ब्लैक होल से निकलने वाले कणों के स्पेक्ट्रम की गणना की और पाया कि स्पेक्ट्रम एक तापमान के साथ थर्मल विकिरण के स्पेक्ट्रम के रूप में व्यवहार करता है जिसे हॉकिंग तापमान के रूप में जाना जाता है, जो एक मिश्रित अवस्था को दर्शाता है। इसका मतलब यह है कि ब्लैक होल शुद्ध अवस्था से मिश्रित अवस्था में विकसित होता है, और इसलिए क्वांटम यांत्रिकी का एकात्मक विकास संरक्षित नहीं है। यह प्रसिद्ध "सूचना विरोधाभास" की ओर ले जाता है।

पेज ने सुझाव दिया कि जब हम क्वांटम प्रभावों को शामिल करते हैं, तो ब्लैक होल को एकात्मक विकास का पालन करना चाहिए [132]। यदि हम ब्लैक होल और विकिरण क्षेत्र को एक एकल प्रणाली मानते हैं, तो विरोधाभास को हल करने के लिए पेज वक्र प्राप्त करना चाहिए। वाष्पित होने वाले ब्लैक होल के लिए, हॉकिंग विकिरण की उलझाव एन्ट्रापी पहले पेज समय तक समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है और फिर शून्य पर वापस आ जाती है [132]। हम शाश्वत ब्लैक होल में रुचि रखते हैं, और इन ब्लैक होज़ के लिए, उलझाव एन्ट्रॉपी के शून्य तक गिरने के बजाय, पेज समय के बाद निरंतर उलझाव एन्ट्रॉपी प्राप्त होती है, और यह स्थिर मान काले रंग की थर्मल एन्ट्रॉपी के दोगुने के बराबर है छेद.

थीसिस के इस भाग में, हम साहित्य में दिए गए हालिया प्रस्तावों का उपयोग करके शाश्वत ब्लैक होल के पेज वक्र को प्राप्त करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं, उदाहरण के लिए, द्वीप प्रस्ताव, डबल होलोग्राफिक सेटअप और वेज होलोग्राफी। पेज कर्व प्राप्त करने के अलावा, हमने अन्य रोमांचक परिणाम भी प्राप्त किए हैं, जिनकी चर्चा आगामी अध्यायों में की जाएगी।

5.3 होलोग्राफी से सूचना विरोधाभास का समाधान

निम्नलिखित तीन प्रस्ताव साहित्य में उपलब्ध हैं जो ब्लैक होल सूचना विरोधाभास को हल करने के लिए होलोग्राफी के विचार से शुरू हुए थे।

5.3.1 द्वीप प्रस्ताव और एचडी ग्रेविटी तक इसका विस्तार

[6] में लेखकों ने सूचना विरोधाभास को हल करने के लिए एक विधि प्रस्तावित की है जो पृष्ठ वक्र प्राप्त करने के बराबर है। विचार यह है कि प्रारंभिक समय में हमें केवल विकिरण क्षेत्र से योगदान मिलता है जो बाद के समय में उलझाव एन्ट्रापी का भिन्न भाग देता है क्योंकि हॉकिंग विकिरण की उलझाव एन्ट्रॉपी समय के समानुपाती हो जाती है। [6] के अनुसार प्रारंभिक समय में स्थिति समान रहती है जबकि बाद के समय में ब्लैक होल का आंतरिक भाग एन्टैंगलमेंट वेज का हिस्सा बन जाता है और इसलिए बाद के समय में एन्टैंगलमेंट एन्ट्रॉपी को विकिरण के साथ-साथ ब्लैक होल के आंतरिक भाग से भी योगदान प्राप्त होता है। ब्लैक होल के आंतरिक भाग का वह भाग जो उलझाव एन्ट्रॉपी में योगदान देता है, "द्वीप" के रूप में जाना जाता है।

द्वीप नियम एक ऐसे सेटअप से प्रस्तावित किया गया था जहां हम वाष्पित होने वाले जेटी (जैकी टीटेलबोइम) ब्लैक होल और प्लैंक ब्रैन पर अनुरूप पदार्थ को दो-आयामी सीएफटी स्नान के साथ जोड़ते हैं [6]। ब्लैक होल प्लैंक ब्रैन पर समाहित है, और हॉकिंग विकिरण 2डी कंफर्मल बाथ में एकत्र किया जाता है। इस सेटअप में निम्नलिखित तीन विवरण हैं.

• 2डी-गुरुत्वाकर्षण: प्लैंक ब्रैन बाहरी सीएफटी स्नान से जुड़ा होता है, जो हॉकिंग विकिरण के लिए सिंक के रूप में कार्य करता है।

• 3D-गुरुत्वाकर्षण: द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में AdS/CFT पत्राचार के माध्यम से मीट्रिक AdS3 के साथ त्रि-आयामी गुरुत्वाकर्षण दोहरा है।

• क्यूएम: बाहरी सीएफटी स्नान की सीमा एक आयामी है जहां क्वांटम यांत्रिकी (क्यूएम) मौजूद है।

[133, 134] में विशेष जेटी ब्लैक होल के लिए प्रतिकृति चाल का उपयोग करके द्वीप सूत्र को गुरुत्वाकर्षण पथ अभिन्न से प्राप्त किया गया था। लेखकों ने डिस्कनेक्टेड और कनेक्टेड सैडल्स से पेज कर्व प्राप्त किया। डिस्कनेक्ट किए गए सैडल्स से पेज कर्व में रैखिक समय निर्भरता प्राप्त होती है, जबकि कनेक्टेड सैडल्स पेज कर्व के सीमित भाग का उत्पादन करते हैं। [133] की चर्चा एन सीमा वाले प्रतिकृति वर्महोल के लिए भी लागू होती है। द्वीप की सतह की उपस्थिति में सामान्यीकृत एन्ट्रापी इस प्रकार लिखी गई है:

जहां आर, जीएन और आई विकिरण क्षेत्र, न्यूटन स्थिरांक और द्वीप सतह का प्रतिनिधित्व कर रहे हैं। समीकरण (5.11) में दो पद शामिल हैं: द्वीप सतह का क्षेत्र और विकिरण और द्वीप क्षेत्रों से पदार्थ का योगदान। (5.11) से, हम आसानी से देख सकते हैं कि जब द्वीप की सतह अनुपस्थित होती है तो एस जीन (आर) = एस मैट आर (आर)। साहित्य में यह दिखाया गया है कि द्वीप की सतह देर से उभरती है और इसलिए प्रारंभ में पृष्ठ वक्र में रैखिक समय निर्भरता प्राप्त होती है और देर से, जब द्वीप की सतह का योगदान हावी होता है तो वाष्पित होने वाले काले रंग के लिए उलझाव एन्ट्रॉपी का पतन प्राप्त होता है छेद जबकि शाश्वत ब्लैक होल के लिए निरंतर भाग (उनके थर्मल एन्ट्रॉपी का दोगुना)। इसलिए, जब हम इन योगदानों को शामिल करते हैं, तो हमें पृष्ठ वक्र प्राप्त होता है। यदि एक से अधिक द्वीप सतहें हैं तो हमें न्यूनतम क्षेत्रफल वाले द्वीप पर विचार करना होगा। हमने [12] में श्वार्जस्चिल्ड डी-सिटर ब्लैक होल के पृष्ठ वक्र को प्राप्त करने के लिए इस प्रस्ताव का पालन किया है और इस थीसिस के अध्याय 8 में विस्तार से चर्चा की है। जेटी गुरुत्वाकर्षण और अन्य मुद्दों के संदर्भ में द्वीप प्रस्ताव के आवेदन के लिए [135-137] देखें [138-140]।

[141] में उच्च व्युत्पन्न गुरुत्वाकर्षण के लिए द्वीप प्रस्ताव को बढ़ाया गया था। प्रस्ताव बिल्कुल [6] के समान है, लेकिन हमें (5.11) के पहले पद को उस पद से बदलना होगा जो उच्च व्युत्पन्न गुरुत्वाकर्षण के उलझाव एन्ट्रापी के बारे में जानकारी दे सकता है और इसके लिए सूत्र एक्स डोंग द्वारा प्रस्तावित किया गया था। [127] और इसलिए गुरुत्वाकर्षण क्रिया में उच्च व्युत्पन्न शब्दों की उपस्थिति में द्वीप प्रस्ताव को इस प्रकार लिखा गया है [141]

जहां स्मैटर (5.11) के एस पदार्थ (आर ∪ आई) के समान है और एस गुरुत्वाकर्षण की गणना डोंग के सूत्र [127] का उपयोग करके की जाएगी। AdSd+1/CF Td पत्राचार के लिए डोंग के सूत्र नीचे दिए गए हैं[1]।

कहाँ

5.3.2 डबल होलोग्राफिक सेटअप

ब्लैक होल के पृष्ठ वक्र की गणना करने के लिए डबल होलोग्राफिक सेटअप एक अच्छा सेटअप है। जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, यह जे. मालडेसेना द्वारा प्रस्तावित सामान्य होलोग्राफी की दोहरी प्रति है। सबसे पहले, हमें थोक लेना होगा और स्थानिक निर्देशांक [142, 143] में से एक के साथ ज्यामिति को छोटा करना होगा। ऐसा करने से, कोई (डी + 1)-आयामी बल्क में एम्बेडेड डी-आयामी ज्यामिति उत्पन्न करता है। डी-डायमेंशनल ज्योमेट्री को साहित्य में एंड-ऑफ़-द-वर्ल्ड ब्रैन या करचरैंडल ब्रैन के रूप में जाना जाता है, और इस होलोग्राफी को "ब्रैनवर्ल्ड होलोग्राफी" कहा जाता है। कार्च-रान्डेल मॉडल की दो प्रतियों को जोड़कर दोगुना होलोग्राफिक सेटअप प्राप्त किया जाता है। सेटअप में ब्रैन पर रहने वाला एक शाश्वत ब्लैक होल और दो स्नानघर शामिल हैं जहां हम हॉकिंग विकिरण एकत्र कर सकते हैं। ये दो स्नानघर थर्मोफिल्ड डबल स्टेट्स के रूप में व्यवहार करते हैं क्योंकि ये सीमा अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत (बीसीएफटी) की दो प्रतियों की तरह हैं। आइए नीचे-ऊपर दृष्टिकोण का उपयोग करके AdS d+1/BCFTd पत्राचार के संदर्भ में डबल होलोग्राफी पर चर्चा करें, और सेटअप चित्र 5.1 में दिखाया गया है।

दोहरे होलोग्राफिक सेटअप में नीचे संक्षेप में तीन विवरण दिए गए हैं।

• सीमा विवरण: बल्क AdS d+1 की अनुरूप सीमा पर d- आयामी BCFT। BCFTd की सीमा ( d - 1 ) आयामी दोष है।

• मध्यवर्ती विवरण: दुनिया के अंत ब्रैन पर गुरुत्वाकर्षण दोष पर पारदर्शी सीमा स्थिति के माध्यम से बीसीएफटी से जुड़ा हुआ है।

• थोक विवरण: BCFTd का होलोग्राफिक डुअल AdSd+1 स्पेसटाइम है।

सूचना विरोधाभास को हल करने के लिए मध्यवर्ती विवरण बहुत महत्वपूर्ण है। क्योंकि इस विवरण में दुनिया के अंत ब्रैन पर रहने वाला ब्लैक होल सीधे बाहरी सीएफटी स्नान के साथ जुड़ता है। विवरण 1 में निरंतर समय स्लाइस पर उपक्षेत्र आर के वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी के रूप में एस (आर) को परिभाषित करें। कोई व्यक्ति द्वीप नियम [6] से दूसरे विवरण में एस (आर) प्राप्त कर सकता है:

जहां सामान्यीकृत एन्ट्रापी कार्यात्मक (एस जीन (आर ∪ आई)) [126] है:

एक दोगुना होलोग्राफिक सेटअप इस अर्थ में फायदेमंद है कि हम शास्त्रीय रयू-ताकायानागी फॉर्मूला [107] का उपयोग करके बहुत आसानी से एस(आर) प्राप्त कर सकते हैं। जब थोक (डी + 1) आयामी होता है तो [107]:

जहां γ थोक में दो सतहों का न्यूनतम सह-आयाम है।

चित्र 5.1 में, थोक की अनुरूप सीमा पर दो बीसीएफटी हैं। ऊर्ध्वाधर रेखा दुनिया का अंतिम भाग है जिसमें ब्लैक होल होता है। सीएफटी बाथ ब्लैक होल द्वारा उत्सर्जित हॉकिंग विकिरण को एकत्रित करता है। इस सेटअप में दो संभावित चरम सतहें हैं: हार्टमैन-माल्डेसेना [144] और द्वीप सतहें। हार्टमैन-माल्डेसेना सतह दो बीसीएफटी को जोड़ती है; यह सीएफटी स्नान से शुरू होता है, क्षितिज को पार करता है, मोड़ तक पहुंचता है, और फिर बीसीएफटी के थर्मोफील्ड डबल पार्टनर से मिलता है। हार्टमैन-माल्डेसेना सतह के लिए उलझाव एन्ट्रॉपी देर से भिन्न होती है, जो हॉकिंग की सूचना विरोधाभास को दर्शाती है। द्वीप की सतह बाहरी सीएफटी स्नान से शुरू होती है और दुनिया के अंत ब्रैन पर उतरती है। द्वीप की सतह की उलझी हुई एन्ट्रापी एक स्थिर मान (ब्लैक होल की थर्मल एन्ट्रापी का दोगुना) हो जाती है। इसलिए, इन दोनों चरम सतहों के उलझाव एन्ट्रॉपी के योगदान को मिलाकर पृष्ठ वक्र को पुनर्प्राप्त किया जाता है। दोहरे होलोग्राफिक सेटअप पर व्यापक साहित्य के लिए [7, 145-161] देखें।

कुछ लेखकों ने पाया कि जब हम ब्रैन को बाहरी सीएफटी स्नान से जोड़ते हैं तो दुनिया के अंत ब्रैन [162-165] पर गुरुत्वाकर्षण भारी होता है। कुछ कागजात में, लेखकों द्वारा यह दिखाया गया था कि हम ब्रैन पर द्रव्यमान रहित गुरुत्वाकर्षण के साथ दोगुना होलोग्राफिक सेटअप का निर्माण कर सकते हैं [11, 154, 166, 167]। हमने [11] में ऊपर से नीचे के दृष्टिकोण से डबल होलोग्राफिक सेटअप का निर्माण किया और विवरण अध्याय 7 में दिया गया है। हमारे पास एक गैर-अनुरूप स्नान (क्यूसीडी2+1) है और होलोग्राफिक डुअल एम सिद्धांत है जिसमें ओ(आर4) सुधार शामिल हैं। [1]. हमारे सेटअप में द्रव्यमान रहित ग्रेविटॉन के अस्तित्व का कारण यह है कि हमें ग्रेविटॉन के तरंग फ़ंक्शन को सामान्य करने की आवश्यकता है, दूसरा कारण ग्रेविटॉन के तरंग फ़ंक्शन पर डिरिचलेट सीमा स्थिति के कारण है, और तीसरा कारण वह अंत है -ऑफ़-द-वर्ल्ड ब्रैन में गैर-शून्य तनाव था और इसलिए ब्रैन पर "ज्वालामुखी" जैसी क्षमता में गुरुत्वाकर्षण का स्थानीयकरण संभव है। हमने अपने सेटअप में द्रव्यमान रहित गुरुत्वाकर्षण के साथ पृष्ठ वक्र प्राप्त किया, जो कि डीजीपी शब्द के बिना अन्य दोहरे होलोग्राफिक सेटअप में असंभव था। ब्रैन पर द्रव्यमान रहित गुरुत्वाकर्षण को कम करने के लिए एक वैकल्पिक विधि ब्रैन पर द्वाली-गबादाद्ज़े-पोराती (डीजीपी) शब्द [168] को शामिल करना है [166]।5.3.3 वेज होलोग्राफी

5.3.3 वेज होलोग्राफी

दोहरे होलोग्राफिक सेटअप में, बाहरी स्नान एक निश्चित सीएफटी स्नान है। कुछ शोध-पत्रों में यह पाया गया कि विश्व के अंतिम ब्रैन पर गुरुत्वाकर्षण भारी है और द्रव्यमान रहित गुरुत्वाकर्षण में द्वीप का नुस्खा मान्य नहीं है। कुछ लेखकों ने स्नान को भी गुरुत्वाकर्षण माना है [8, 9, 162, 169]। इस सेटअप को साहित्य में वेज होलोग्राफी के रूप में जाना जाता है। यह भी तर्क दिया गया कि वेज होलोग्राफी में, हार्टमैन-माल्डेसेना सतह मौजूद नहीं है और इसलिए वेज होलोग्राफी में कोई पेज कर्व नहीं है। [13] में, हमने दिखाया कि हार्टमैन माल्डेसेना सतह की उलझाव एन्ट्रॉपी एडीएस और श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल के लिए गैर-शून्य है और यह डी-सिटर ब्लैक होल के लिए शून्य है। इसका तात्पर्य यह है कि कोई व्यक्ति AdS और श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल के लिए पेज कर्व प्राप्त कर सकता है, लेकिन वेज होलोग्राफी का उपयोग करके डी-सिटर स्पेस के लिए नहीं। वेज होलोग्राफी के सचित्र विवरण के लिए चित्र 5.2 देखें। वेज होलोग्राफी में पेज कर्व मिल सकता है या नहीं यह एक बहस का विषय है। [166] में इस दिशा में कुछ प्रगति हुई है। यह लेखक द्वारा दिखाया गया था कि हम कार्च-रान्डेल ब्रैन पर स्थानीयकृत द्रव्यमान रहित गुरुत्वाकर्षण के साथ पेज वक्र प्राप्त कर सकते हैं, बशर्ते हमें कर्च-रान्डेल ब्रैन पर डीजीपी शब्द शामिल करना होगा, उदाहरणों के साथ विस्तृत विश्लेषण के लिए [170, 171] देखें। .

वेज होलोग्राफी के गणितीय विवरण का वर्णन करने के लिए, निम्नलिखित क्रिया पर विचार करें, [8, 9, 169]:

उपरोक्त समीकरण का निम्नलिखित समाधान है [9]:

डबल होलोग्राफी के समान, वेज होलोग्राफी में भी तीन विवरण हैं:

• सीमा विवरण: ( d - 1 ) आयामी दोष के साथ बल्क AdSd+1 की अनुरूप सीमा पर BCF Td।

• मध्यवर्ती विवरण: दो गुरुत्वाकर्षण प्रणालियाँ दोष पर पारदर्शी सीमा स्थिति के माध्यम से एक दूसरे से जुड़ी हुई हैं।

• थोक विवरण: BCFTd का होलोग्राफिक डुअल क्लासिकल ग्रेविटी AdSd+1 स्पेसटाइम है।

( डी +1)-आयामी बल्क के लिए वेज होलोग्राफिक शब्दकोश इस प्रकार बताया गया है: (डी−1)-आयामी दोष अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का होलोग्राफिक दोहरा (डी+1)-आयामों में शास्त्रीय गुरुत्वाकर्षण है। इसलिए यह एक सह-आयाम दो होलोग्राफी है। अब आइए समझें कि यह द्वंद्व कैसे अस्तित्व में है।

ब्रैनवर्ल्ड होलोग्राफी [142,143] पहली और दूसरी पंक्ति से संबंधित है जबकि एडीएस/सीएफटी पत्राचार [17] कार्च-रान्डेल ब्रैन पर गतिशील गुरुत्वाकर्षण और दोष सीएफटी के बीच दूसरी और तीसरी लाइन को जोड़ता है। इसलिए, दोष पर ( d + 1) बल्क में शास्त्रीय गुरुत्वाकर्षण CFTd−1 से दोगुना है। वेज होलोग्राफी हमें 5.3.2 में चर्चा किए गए डबल होलोग्राफिक सेटअप के समान ब्लैक होल के पेज कर्व को प्राप्त करने में मदद करती है। हार्टमैन-माल्डेसेना और द्वीप सतहों की उलझी हुई एंट्रोपियों की गणना करना आवश्यक है और समय के साथ इन एंट्रोपियों का प्लॉट पेज वक्र देगा।

[1] हमने पहले ही सूत्र (5.1) में लिखा है, यहां हम (5.1) का सहसंयोजक रूप लिख रहे हैं। इस सूत्र में, ए और आई, जे स्पर्शरेखीय और सामान्य दिशाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।