Erweiterungen für Hilbert-Schemata: die erweiterte Konstruktion

Linktabelle

• Zusammenfassung und Einleitung
• Hintergrund zur tropischen Perspektive
• Der erweiterte Bau
• GIT-Stabilität
• Stapelperspektive
• Der kanonische Modulstapel
• Verweise

3. Die erweiterte Konstruktion

Ausgabe der erweiterten Konstruktion. Die erweiterte Degeneration X[n] ! C[n], die wir in diesem Abschnitt konstruieren, hat die folgenden Eigenschaften:

3.1 Die Explosionen

In dieser erweiterten Degenerationskonstruktion werden wir Schemata entlang von Weil-Teilern aufblasen. Eine Konsequenz der Art und Weise, wie diese Blow-ups definiert werden, ist, dass die Blow-up-Morphimen nur Komponenten mit einer Kodimension von mindestens 2 kontrahieren.

die Morphismen, die jedem einzelnen Blow-up entsprechen. Wir haben daher die Gleichheit

Wir legen nun die folgende Terminologie fest.

Proposition 3.1.5. Das folgende vergrößerte Diagramm kommutiert

Beweis . Dies ergibt sich unmittelbar aus der örtlichen Beschreibung der Explosionen oben.

Wir erweitern nun die Definition der ∆1-Komponenten auf die Schemata X[n] und legen einige zusätzliche Begriffe fest.

Bevor wir fortfahren, legen wir einige Begriffe fest, die uns bei der Beschreibung der erweiterten Komponenten helfen werden.

Definition 3.1.11. Wir bezeichnen eine irreduzible Komponente einer ∆-Komponente als Blase. Die Begriffe, dass zwei Blasen gleich sind und dass eine Blase in einer bestimmten Faser ausgedehnt ist, sind wie in den Definitionen 3.1.4 und 3.1.9.

Nun stellen wir fest, dass es eine natürliche Einbeziehung gibt

was wiederum eine natürliche Einbeziehung bewirkt

auf der Grundlage von Anweisungen und handelt durch

auf den ∆-Komponenten.

Beweis . Dies folgt unmittelbar aus [GHH19].

die wir im vorigen Abschnitt beschrieben haben, sind unter der Gruppenaktion äquivariant.

Lemma 3.1.13. Wir haben den Isomorphismus

Beweis . Dies ergibt sich unmittelbar aus der obigen Beschreibung der Gruppenaktion.

Bemerkung 3.1.14. Wir missbrauchen die Notation leicht, indem wir die auf X[n] wirkende Gruppe mit G statt mit G[n] bezeichnen. Aus dem Kontext sollte immer klar sein, welche Gruppe G gemeint ist.

3.2 Einbettung in das Produkt projektiver Bündel

Lemma 3.2.1. Es gibt eine Einbettung

Daraus folgern wir, dass es Einbettungen gibt

Daher haben wir Einbettungen

Linearisierungen . Das folgende Lemma bietet eine Methode zum Erstellen aller linearisierten Linienbündel, die wir zum Variieren der GIT-Stabilitätsbedingung benötigen.