Expansões para Esquemas Hilbert: a Construção Expandida

Tabela de links

• Resumo e introdução
• Antecedentes na perspectiva tropical
• A construção ampliada
• Estabilidade do TGI
• Perspectiva de pilha
• A pilha de módulos canônicos
• Referências

3. A construção ampliada

Saída da construção ampliada. A degeneração expandida X[n] ! C[n] que construímos nesta seção tem as seguintes propriedades:

3.1 As explosões

Nesta construção de degeneração expandida, estaremos explodindo esquemas ao longo dos divisores de Weil. Uma consequência da forma como essas explosões são definidas é que os morfismos de explosão contraem apenas componentes de codimensão pelo menos 2.

os morfismos correspondentes a cada explosão individual. Temos portanto a igualdade

Agora corrigimos a seguinte terminologia.

Proposição 3.1.5. O seguinte diagrama de explosão comuta

Prova . Isto é imediato a partir da descrição local das explosões acima.

Estendemos agora a definição de componentes ∆1 aos esquemas X[n] e fixamos alguma terminologia adicional.

Antes de continuarmos, fixamos alguma terminologia que nos ajudará a descrever os componentes expandidos.

Definição 3.1.11. Referimo-nos a um componente irredutível de um componente ∆ como uma bolha. As noções de duas bolhas sendo iguais e de uma bolha sendo expandida em uma determinada fibra são como nas Definições 3.1.4 e 3.1.9.

Agora, notamos que há uma inclusão natural

o que, por sua vez, induz uma inclusão natural

com base em instruções e atua por

nos componentes ∆.

Prova . Isto segue imediatamente de [GHH19].

que descrevemos na seção anterior são equivalentes sob a ação de grupo.

Lema 3.1.13. Temos o isomorfismo

Prova . Isto é imediato a partir da descrição acima da ação do grupo.

Observação 3.1.14. Abusamos um pouco da notação ao nos referirmos ao grupo agindo em X[n] por G, em vez de G[n]. Deve sempre ficar claro no contexto o que se entende pelo grupo G.

3.2 Incorporação no produto de pacotes projetivos

Lema 3.2.1. Há uma incorporação

A partir disso, deduzimos que existem incorporações

Portanto, temos incorporações

Linearizações . O lema a seguir fornece um método para construir todos os fibrados linearizados de que precisaremos para variar a condição de estabilidade do GIT.