Tổ hợp ổn định tuyến tính cho hệ Hamilton theo chiều tùy ý: Sơ bộ

từ tác giả Graph Theory2m2024/06/04

dài quá đọc không nổi

Các nhà nghiên cứu nghiên cứu độ ổn định tuyến tính và sự phân nhánh trong các hệ Hamilton, sử dụng các phương pháp tôpô/tổ hợp để tinh chỉnh định lý Krein–Moser.

featured image - Tổ hợp ổn định tuyến tính cho hệ Hamilton theo chiều tùy ý: Sơ bộ

tác giả:

(1) Agustin Moreno;

(2) Francesco Ruscelli.

Bảng liên kết

2. Sơ bộ

Để nhớ lại định nghĩa của dãy GIT, chúng ta cần khái niệm sau.

Định nghĩa 2.1 (thương GIT). Cho G là một nhóm hoạt động trên không gian tôpô X bằng phép đồng cấu. Thương số GIT là không gian thương X//G được xác định bởi quan hệ tương đương x ∼ y nếu các bao đóng của quỹ đạo G của x và y giao nhau, có cấu trúc liên kết thương.

Đặc biệt, một nửa quỹ đạo tuần hoàn đối xứng là dây Hamilton (tức là quỹ đạo) từ Fix(ρ) tới chính nó. Do đó, chúng ta có thể nghĩ quỹ đạo tuần hoàn đối xứng theo hai cách, hoặc là một chuỗi đóng, hoặc là một chuỗi mở từ Fix(ρ) đến chính nó.

Ma trận đơn điệu của quỹ đạo đối xứng tại một điểm đối xứng là ma trận Wonenburger, tức là nó thỏa mãn

Ở đâu

các phương trình đảm bảo rằng M là đối xứng. Các giá trị riêng của M được xác định bởi các giá trị của khối A đầu tiên (xem [FM]):

Định lý 1 (Wonenburger). Mọi ma trận đối xứng M ∈ Sp(2n) được liên hợp đối xứng với ma trận Wonenburger.

Nói cách khác, bản đồ tự nhiên

là tính từ.

Với sự có mặt của quỹ đạo tuần hoàn đối xứng, thực tế đại số trên có cách giải thích hình học: ma trận đơn sắc tại mỗi điểm của quỹ đạo (ma trận đối xứng) được liên hợp đối xứng thông qua dòng tuyến tính hóa đến ma trận đơn sắc tại bất kỳ điểm đối xứng nào của quỹ đạo (ma trận Wonenburger).