Kombinatorik der linearen Stabilität für Hamiltonsysteme beliebiger Dimension: Vorarbeiten

Linktabelle

• Abstrakt
• Einführung
• Vorbemerkungen
• Die B-Signatur
• GIT-Sequenz: niedrige Dimensionen
• GIT-Sequenz: beliebige Dimension
• Anhang A. Stabilität, Krein-Moser-Theorem, Verfeinerungen und Referenzen

2. Vorbemerkungen

Um uns die Definition der GIT-Sequenz noch einmal ins Gedächtnis zu rufen, benötigen wir folgende Vorstellung.

Definition 2.1 (GIT-Quotient). Sei G eine Gruppe, die auf einem topologischen Raum X durch Homöomorphismen wirkt. Der GIT-Quotient ist der Quotientenraum X//G, der durch die Äquivalenzrelation x ∼ y definiert ist, wenn sich die Abschlüsse der G-Orbits von x und y schneiden, ausgestattet mit der Quotiententopologie.

Insbesondere ist die Hälfte der symmetrischen periodischen Umlaufbahn eine Hamilton-Akkord (d. h. Flugbahn) von Fix(ρ) zu sich selbst. Daher können wir uns eine symmetrische periodische Umlaufbahn auf zwei Arten vorstellen, entweder als geschlossene Saite oder als offene Saite vom Lagrange-Fix(ρ) zu sich selbst.

Die Monodromiematrix einer symmetrischen Umlaufbahn an einem Symmetriepunkt ist eine Wonenburger-Matrix, d. h. sie erfüllt

Wo

Gleichungen, die sicherstellen, dass M symplektisch ist. Die Eigenwerte von M werden durch die des ersten Blocks A bestimmt (siehe [FM]):

Theorem 1 (Wonenburger). Jede symplektische Matrix M ∈ Sp(2n) ist symplektisch konjugiert zu einer Wonenburger-Matrix.

Mit anderen Worten, die natürliche Karte

ist surjektiv.

Bei Vorhandensein einer symmetrischen periodischen Umlaufbahn hat die obige algebraische Tatsache eine geometrische Interpretation: Die Monodromiematrix an jedem Punkt der Umlaufbahn (eine symplektische Matrix) ist über den linearisierten Fluss symplektisch mit der Monodromiematrix an jedem der symmetrischen Punkte der Umlaufbahn konjugiert (eine Wonenburger-Matrix).