Комбинаторика линейной устойчивости гамильтоновых систем произвольной размерности: Предварительные сведения

Таблица ссылок

• Абстрактный
• Введение
• Предварительные сведения
• B-подпись
• Последовательность GIT: малые размеры
• Последовательность GIT: произвольное измерение
• Приложение A. Устойчивость, теорема Крейна–Мозера, уточнения и литература

2. Предварительные сведения

Чтобы вспомнить определение последовательности GIT, нам понадобится следующее понятие.

Определение 2.1 (коэффициент GIT). Пусть G — группа, действующая на топологическом пространстве X гомеоморфизмами. Фактор GIT — это фактор-пространство X//G, определяемое отношением эквивалентности x ∼ y, если замыкания G-орбит x и y пересекаются, наделенное фактор-топологией.

В частности, половина симметричной периодической орбиты представляет собой гамильтонову хорду (т.е. траекторию) из Fix(ρ) в себя. Следовательно, мы можем думать о симметричной периодической орбите двояко: либо как о замкнутой струне, либо как об открытой струне, переходящей из лагранжиана Fix(ρ) в себя.

Матрица монодромии симметричной орбиты в симметричной точке является матрицей Воненбургера, т. е. удовлетворяет условию

где

уравнения, которые гарантируют, что M симплектичен. Собственные значения M определяются значениями первого блока A (см. [FM]):

Теорема 1 (Воненбургер). Любая симплектическая матрица M ∈ Sp(2n) симплектически сопряжена с матрицей Воненбургера.

Другими словами, естественная карта

является сюръективным.

При наличии симметричной периодической орбиты указанный алгебраический факт имеет геометрическую интерпретацию: матрица монодромии в каждой точке орбиты (симплектическая матрица) симплектически сопряжена через линеаризованный поток с матрицей монодромии в любой из симметричных точек орбиты орбита (матрица Воненбургера).