Combinatória de estabilidade linear para sistemas hamiltonianos em dimensão arbitrária: Preliminares

Tabela de Links

• Abstrato
• Introdução
• Preliminares
• A assinatura B
• Sequência GIT: dimensões baixas
• Sequência GIT: dimensão arbitrária
• Apêndice A. Estabilidade, teorema de Krein-Moser e refinamentos e referências

2. Preliminares

Para recordar a definição da sequência GIT, precisamos da seguinte noção.

Definição 2.1 (quociente GIT). Seja G um grupo atuando em um espaço topológico X por homeomorfismos. O quociente GIT é o espaço quociente X//G definido pela relação de equivalência x ∼ y se os fechamentos das órbitas G de xey se cruzam, dotados da topologia quociente.

Em particular, metade da órbita periódica simétrica é uma corda hamiltoniana (ou seja, trajetória) de Fix(ρ) para si mesma. Portanto, podemos pensar em uma órbita periódica simétrica de duas maneiras, ou como uma corda fechada, ou como uma corda aberta do Lagrangeano Fix(ρ) para si mesmo.

A matriz monodromia de uma órbita simétrica em um ponto simétrico é uma matriz de Wonenburger, ou seja, satisfaz

onde

equações que garantem que M é simplético. Os autovalores de M são determinados pelos do primeiro bloco A (ver [FM]):

Teorema 1 (Wonenburger). Toda matriz simplética M ∈ Sp(2n) é conjugada simpleticamente a uma matriz de Wonenburger.

Em outras palavras, o mapa natural

é sobrejetivo.

Na presença de uma órbita periódica simétrica, o fato algébrico acima tem uma interpretação geométrica: a matriz de monodromia em cada ponto da órbita (uma matriz simplética) é conjugada simpleticamente através do fluxo linearizado para a matriz de monodromia em qualquer um dos pontos simétricos de a órbita (uma matriz Wonenburger).