Hilbert 체계 확장: GIT 안정성

~에 의해 Eigenvector Initialization Publication4m2024/06/11

너무 오래; 읽다

이 논문에서는 표면의 "힐베르트 체계"(기하학적 객체)를 퇴화시키고 안정성과 다른 구성과의 연결을 탐색하는 방법을 개선합니다.

작가:

(1) 칼라 츠찬츠.

링크 표

4. GIT 안정성

이 섹션에서는 이전 섹션에서 설명한 G-선형화 라인 묶음의 가능한 선택과 관련하여 체계 X[n]에 대한 다양한 GIT 안정성 조건을 설명하기 위해 [GHH19]의 결과와 유사한 일부 결과를 설정합니다. 특히, 우리는 이러한 안정성 조건이 길이 m개의 0차원 하위 체계의 체계 구조에 의존하지 않고 대신 n 포인트 구성에 대한 조합 기준으로 축소될 수 있음을 보여줍니다.

4.1 Hilbert-Mumford 기준

이 섹션에서 우리는 Hilbert-Mumford 불변의 정의를 상기하고 이러한 불변의 관점에서 안정성과 준안정성에 대한 수치적 기준을 제시할 것입니다.

H를 대수적으로 닫힌 필드 k에 대해 고유한 체계 S에 작용하는 환원 그룹으로 설정합니다. L을 H-선형화된 앰플 라인 번들로 설정합니다. 그런 다음 H의 1-매개변수 하위 그룹(편의상 1-PS로 표시됨)은 동형사상으로 정의됩니다.

4.2 1-파라미터 하위 그룹의 동작

4.3 제한 가중치와 조합 가중치

이 섹션에서는 [GHH19]가 Hilbert-Mumford 불변량의 경계 가중치와 조합 가중치라고 부르는 것 사이의 관계를 설명합니다.

표기법을 [GHH19]와 최대한 일관되게 유지하면서

첫 번째와 두 번째 투영 p와 q를 갖는 우주가족이 됩니다. 라인 번들

l ≫ 0일 때 상대적으로 충분하며 [GHH19]의 섹션 2.2.1에서와 마찬가지로 G-선형화됩니다.

제한된 가중치와 조합 가중치 간의 관계. 다음 기본정리는 Hilbert-Mumford 불변량이 불변량의 합으로 분해될 수 있는 방법을 설명합니다.

조합 가중치는 선형화된 라인 묶음의 선택에 따라 달라지지만 제한된 가중치는 그렇지 않습니다. [GHH19]와 유사하게, 이름에서 알 수 있듯이 제한된 가중치에 상한이 주어질 수 있음을 보여줄 수 있습니다.

다음 결과는 [GHH19]의 Lemma 2.3을 기반으로 하며 설정에 맞게 약간 수정되었습니다.

이제 제한된 가중치가 전체 안정성 조건에 어떻게 영향을 미치는지 논의해 보겠습니다. 다음 보조 정리는 [GHH19]에서 바로 나온 것이지만 편의상 여기서는 그 증명을 기억해 보겠습니다.

증거 . 제한된 가중치는 다음과 같이 표현될 수 있음을 보여주었습니다.

조합 가중치가 제한된 가중치를 압도할 만큼 충분히 큰 l 값을 선택하는 문제일 뿐입니다. 이를 통해 제한된 가중치를 무시할 수 있는 것으로 효과적으로 처리하고 계산에서 이를 무시할 수 있습니다.

참고 4.3.5. 여기서, 이러한 Z는 반드시 원활하게 지지되는 것은 아니며 Z의 모든 지지점이 반드시 Δ 성분에 포함되는 것도 아닙니다.

모든 k ∈ {1, . . . , n}은 L에 대한 설명을 제공하고 이 섹션의 시작 부분에서 설명한 방식으로 이 라인 번들에서 G-선형화된 라인 번들 M을 형성할 수 있습니다. 이것이 양의 조합 가중치를 생성하는 이유에 대한 자세한 내용은 다음 기본 정리의 증명을 참조하세요. 이것이 Z가 안정적인 유일한 GIT 안정성 조건은 아니라는 점에 유의하십시오.