হিলবার্ট স্কিমগুলির সম্প্রসারণ: জিআইটি স্থিতিশীলতা

লিঙ্কের টেবিল

• বিমূর্ত এবং ভূমিকা
• গ্রীষ্মমন্ডলীয় পরিপ্রেক্ষিতে পটভূমি
• প্রসারিত নির্মাণ
• জিআইটি স্থায়িত্ব
• স্ট্যাক দৃষ্টিকোণ
• ক্যানোনিকাল মডুলি স্ট্যাক
• তথ্যসূত্র

4. GIT স্থায়িত্ব

এই বিভাগে, আমরা পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত G-লিনিয়ারাইজড লাইন বান্ডেলগুলির সম্ভাব্য পছন্দগুলির ক্ষেত্রে X[n] স্কিমের বিভিন্ন GIT স্থিতিশীলতার অবস্থা বর্ণনা করার জন্য [GHH19] এর সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ কিছু ফলাফল সেট আপ করেছি। বিশেষ করে, আমরা দেখাই যে এই স্থায়িত্বের শর্তগুলি দৈর্ঘ্য m শূন্য-মাত্রিক সাবস্কিমগুলির স্কিম কাঠামোর উপর নির্ভর করে না, তবে পরিবর্তে n পয়েন্টগুলির কনফিগারেশনের সমন্বিত মানদণ্ডে হ্রাস করা যেতে পারে।

4.1 হিলবার্ট-মামফোর্ড মানদণ্ড

এই বিভাগে, আমরা হিলবার্ট-মামফোর্ড ইনভেরিয়েন্টের সংজ্ঞাটি স্মরণ করব এবং এই পরিবর্তনগুলির পরিপ্রেক্ষিতে স্থিতিশীলতা এবং আধা-স্থিতিশীলতার জন্য একটি সংখ্যাসূচক মানদণ্ড দেব।

ধরা যাক H একটি হ্রাসকারী গোষ্ঠী যা একটি স্কিম S এর উপর কাজ করে, যা বীজগণিতভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের k এর উপর সঠিক। ধরা যাক L একটি H-লিনিয়ারাইজড এম্পল লাইন বান্ডিল। তারপর H-এর একটি 1-প্যারামিটার সাবগ্রুপ (সুবিধার জন্য 1-PS চিহ্নিত) একটি হোমোমর্ফিজম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

4.2 1-প্যারামিটার সাবগ্রুপের অ্যাকশন

4.3 আবদ্ধ এবং সম্মিলিত ওজন

এই বিভাগে, আমরা হিলবার্ট-মামফোর্ড ইনভেরিয়েন্টের আবদ্ধ এবং সমন্বিত ওজনকে [GHH19] বলে কিসের মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা করি।

স্বরলিপিটি [GHH19] এর সাথে যতটা সম্ভব সামঞ্জস্যপূর্ণ রাখা, যাক

প্রথম এবং দ্বিতীয় অনুমান p এবং q সহ সর্বজনীন পরিবার হোন। লাইন বান্ডিল

l ≫ 0 হলে তুলনামূলকভাবে যথেষ্ট এবং G-রৈখিক হয়, ঠিক যেমন [GHH19] এর ধারা 2.2.1-এ।

আবদ্ধ এবং সমন্বিত ওজনের মধ্যে সম্পর্ক। নিম্নলিখিত লেমাগুলি বর্ণনা করে যে কীভাবে হিলবার্ট-মামফোর্ড অপরিবর্তনীয় পদার্থকে একটি সমষ্টিতে পচন করা যায়।

উল্লেখ্য যে, যেখানে সমন্বিত ওজন লিনিয়ারাইজড লাইন বান্ডেলের পছন্দের উপর নির্ভর করে, আবদ্ধ ওজন নির্ভর করে না। একইভাবে [GHH19], আমরা দেখাতে পারি যে আবদ্ধ ওজন, এর নাম অনুসারে, একটি উপরের সীমা দেওয়া যেতে পারে।

নিম্নলিখিত ফলাফলটি [GHH19]-এর Lemma 2.3-এর উপর ভিত্তি করে, আমাদের সেটিং অনুসারে কিছু সামান্য পরিবর্তন সহ।

সীমাবদ্ধ ওজন সামগ্রিক স্থিতিশীলতার অবস্থাকে কীভাবে প্রভাবিত করে তা এখন আলোচনা করা যাক। নিম্নলিখিত লেমাটি [GHH19] থেকে অবিলম্বে, কিন্তু আমরা সুবিধার জন্য এখানে তাদের প্রমাণ স্মরণ করি।

প্রমাণ আমরা দেখিয়েছি যে আবদ্ধ ওজন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

সম্মিলিত ওজনকে বাউন্ডেড ওজনকে ওভারপাওয়ার করার জন্য l এর যথেষ্ট বড় মান বেছে নেওয়ার ব্যাপার মাত্র। এটি আমাদের কার্যকরভাবে আবদ্ধ ওজনকে নগণ্য হিসাবে বিবেচনা করতে এবং আমাদের গণনায় এটিকে উপেক্ষা করতে দেয়।

মন্তব্য 4.3.5। মনে রাখবেন, এখানে, এই ধরনের Z অগত্যা মসৃণভাবে সমর্থিত হবে না, অথবা Z-এর সমর্থনের প্রতিটি বিন্দু অগত্যা একটি ∆-কম্পোনেন্টে থাকবে না।

এই প্রক্রিয়াটি সমস্ত k ∈ {1, . . . , n} আমাদেরকে L-এর একটি বর্ণনা দেবে এবং আমরা এই বিভাগের শুরুতে বর্ণিত পদ্ধতিতে এই লাইন বান্ডিল থেকে G-লিনিয়ারাইজড লাইন বান্ডিল M তৈরি করতে পারি। কেন এটি একটি ইতিবাচক সমন্বিত ওজন দেয় সে সম্পর্কে আরও বিশদ বিবরণের জন্য, নিম্নলিখিত লেমার প্রমাণটি দেখুন। মনে রাখবেন যে এটি একমাত্র GIT স্থিতিশীলতার শর্ত নয় যার জন্য Z স্থিতিশীল।

প্রমাণ এটা স্পষ্ট যে সমন্বিত ওজন একটি যোগফল হিসাবে লেখা হতে পারে

4.4 সেমিস্টেবল লোকাস এবং GIT ভাগফল

প্রমাণ এটি লেমাস 4.3.3 এবং 4.3.7 থেকে অনুসরণ করে। প্রকৃতপক্ষে, লেমা 4.3.3 দ্বারা, যদি সমন্বিত ওজন আকারে লেখা যায়

প্রমাণ আসুন আমরা একটি নির্বিচারে জি-লিনিয়ারাইজড লাইন বান্ডেল M বেছে নিই, উপরে যেমনটি অগত্যা তৈরি নয়, যার ক্ষেত্রে Z-এর হিলবার্ট-মামফোর্ড অপরিবর্তনীয় রয়েছে

প্রমাণ এটি লেমাস 4.4.1 এবং 4.4.2 থেকে সরাসরি অনুসরণ করে।

আমরা এখন এই নির্মাণের ফলে GIT ভাগফল বর্ণনা করতে পারি। দিন

তারপর আমরা লেমা 3.1.13 থেকে স্মরণ করি, আইসোমরফিজম

উপরে বর্ণিত লিনিয়ারাইজড লাইন বান্ডেলের সমস্ত পছন্দের জন্য, বেসের GIT ভাগফল তাই নিম্নরূপ আচরণ করে

প্রমাণ এই ফলাফলটি [GHH15] এর আপেক্ষিক হিলবার্ট-মামফোর্ড মানদণ্ড থেকে সরাসরি অনুসরণ করে।