हिल्बर्ट योजनाओं के लिए विस्तार: जीआईटी स्थिरता

लिंक की तालिका

• सार और परिचय
• उष्णकटिबंधीय परिप्रेक्ष्य पर पृष्ठभूमि
• विस्तारित निर्माण
• जीआईटी स्थिरता
• स्टैक परिप्रेक्ष्य
• विहित मॉड्यूली स्टैक
• संदर्भ

4. जीआईटी स्थिरता

इस खंड में, हमने पिछले खंड में वर्णित G-रैखिकीकृत लाइन बंडलों के संभावित विकल्पों के संबंध में योजना X[n] पर विभिन्न GIT स्थिरता स्थितियों का वर्णन करने के लिए [GHH19] के अनुरूप कुछ परिणाम निर्धारित किए हैं। विशेष रूप से, हम दिखाते हैं कि ये स्थिरता स्थितियाँ m लंबाई वाले शून्य-आयामी उप-योजनाओं की योजना संरचना पर निर्भर नहीं करती हैं, बल्कि इसके बजाय n बिंदुओं के विन्यास पर संयोजन मानदंड तक कम की जा सकती हैं।

4.1 हिल्बर्ट-मम्फोर्ड मानदंड

इस अनुभाग में, हम हिल्बर्ट-मम्फोर्ड अपरिवर्तनशीलताओं की परिभाषा को याद करेंगे और इन अपरिवर्तनशीलताओं के संदर्भ में स्थिरता और अर्ध-स्थिरता के लिए एक संख्यात्मक मानदंड देंगे।

मान लीजिए H एक स्कीम S पर काम करने वाला एक रिडक्टिव ग्रुप है, जो बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k पर उचित है। मान लीजिए L एक H-रैखिकीकृत पर्याप्त लाइन बंडल है। फिर H का 1-पैरामीटर उपसमूह (सुविधा के लिए 1-PS द्वारा दर्शाया गया) एक होमोमोर्फिज्म के रूप में परिभाषित किया गया है

4.2 1-पैरामीटर उपसमूह की कार्रवाई

4.3 सीमित और संयोजन भार

इस अनुभाग में, हम हिल्बर्ट-मम्फोर्ड इनवेरिएंट के परिबद्ध और संयोजक भार के बीच संबंध की व्याख्या करते हैं।

संकेतन को [GHH19] के साथ यथासंभव सुसंगत रखते हुए,

सार्वभौमिक परिवार हो, जिसमें प्रथम और द्वितीय प्रक्षेपण p और q हों। रेखा बंडल

जब l ≫ 0 होता है तो यह अपेक्षाकृत पर्याप्त होता है और G-रैखिक होता है, ठीक वैसे ही जैसे [GHH19] के अनुभाग 2.2.1 में है।

बद्ध और संयोजन भार के बीच संबंध। निम्नलिखित लेम्मा बताते हैं कि हिल्बर्ट-मम्फोर्ड इनवेरिएंट को इनवेरिएंट के योग में कैसे विघटित किया जा सकता है।

ध्यान दें कि, जबकि संयोजक भार रैखिकीकृत लाइन बंडल के चयन पर निर्भर करता है, सीमित भार नहीं करता है। [GHH19] के समान, हम दिखा सकते हैं कि सीमित भार, जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, को एक ऊपरी सीमा दी जा सकती है।

निम्नलिखित परिणाम [GHH19] के लेम्मा 2.3 पर आधारित है, जिसमें हमारी सेटिंग के अनुरूप कुछ मामूली संशोधन किए गए हैं।

आइए अब चर्चा करें कि सीमित भार समग्र स्थिरता की स्थिति को कैसे प्रभावित करता है। निम्नलिखित लेम्मा [GHH19] से तत्काल है, लेकिन हम सुविधा के लिए यहाँ उनके प्रमाण को याद करते हैं।

प्रमाण . जैसा कि हमने दिखाया है कि परिबद्ध भार को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

यह केवल l का इतना बड़ा मान चुनने का मामला है कि संयोजन भार सीमित भार पर हावी हो जाए। यह हमें प्रभावी रूप से सीमित भार को नगण्य मानने और अपनी गणनाओं में इसे अनदेखा करने की अनुमति देता है।

टिप्पणी 4.3.5. यहाँ ध्यान दें कि ऐसा Z आवश्यक रूप से सुचारू रूप से समर्थित नहीं होगा, न ही Z के समर्थन का प्रत्येक बिंदु आवश्यक रूप से Δ-घटक में समाहित होगा।

इस प्रक्रिया को सभी k ∈ {1, . . . , n} पर दोहराने से हमें L का विवरण मिलेगा और हम इस खंड की शुरुआत में बताए गए तरीके से इस लाइन बंडल से G-रैखिकीकृत लाइन बंडल M बना सकते हैं। इस बारे में अधिक जानकारी के लिए कि यह एक सकारात्मक संयोजन भार क्यों देता है, निम्नलिखित लेम्मा का प्रमाण देखें। ध्यान दें कि यह एकमात्र GIT स्थिरता स्थिति नहीं है जिसके लिए Z स्थिर है।

प्रमाण . यह स्पष्ट है कि संयोजक भार को योग के रूप में लिखा जा सकता है

4.4 अर्धस्थिर बिन्दुपथ और जीआईटी भागफल

प्रमाण । यह लेम्मा 4.3.3 और 4.3.7 से अनुसरण करता है। वास्तव में, लेम्मा 4.3.3 के अनुसार, यदि संयोजन भार को इस रूप में लिखा जा सकता है

प्रमाण . आइए हम एक मनमाना G-रैखिक रेखा बंडल M चुनें, जो जरूरी नहीं कि ऊपर बताए अनुसार बनाया गया हो, जिसके संबंध में Z में हिल्बर्ट-ममफोर्ड अपरिवर्तनीय है

प्रमाण . यह लेम्मा 4.4.1 और 4.4.2 से सीधे अनुसरण करता है।

अब हम इन निर्माणों से प्राप्त GIT भागफल का वर्णन कर सकते हैं।

फिर हम लेम्मा 3.1.13 से समरूपता को याद करते हैं

उपरोक्त वर्णित रैखिकीकृत रेखा बंडल के सभी विकल्पों के लिए, आधार पर जीआईटी भागफल इस प्रकार व्यवहार करता है

प्रमाण . यह परिणाम [GHH15] के सापेक्ष हिल्बर्ट-ममफोर्ड मानदंड से सीधे निकलता है।