Autor:  (1) CALLA TSCHANZ.  Tabla de enlaces   Resumen e introducción   Antecedentes de la perspectiva tropical   La construcción ampliada   Estabilidad GIT   Perspectiva de pila   La pila de módulos canónicos   Referencias  4. Estabilidad de GIT  En esta sección, configuramos algunos resultados análogos a los de [GHH19] para describir varias condiciones de estabilidad GIT en el esquema X[n] con respecto a las posibles opciones de haces de líneas G-linealizadas descritas en la sección anterior. En particular, mostramos que estas condiciones de estabilidad no dependen de la estructura del esquema de los subesquemas de dimensión cero de longitud m, sino que pueden reducirse a criterios combinatorios en configuraciones de n puntos.  4.1 Criterio de Hilbert-Mumford  En esta sección recordaremos la definición de invariantes de Hilbert-Mumford y daremos un criterio numérico para la estabilidad y semiestabilidad en términos de estas invariantes.  Sea H un grupo reductor que actúa según un esquema S, que es propio sobre un campo algebraicamente cerrado k. Sea L un paquete de líneas amplias H-linealizado. Entonces, un subgrupo de 1 parámetro de H (denotado 1-PS por conveniencia) se define como un homomorfismo   4.2 Acción del subgrupo de 1 parámetro   4.3 Pesos acotados y combinatorios  En esta sección, explicamos la relación entre lo que [GHH19] llama los pesos acotados y combinatorios de las invariantes de Hilbert-Mumford.  Manteniendo la notación lo más consistente posible con [GHH19], dejemos   ser la familia universal, con primera y segunda proyecciones p y q. El paquete de líneas   es relativamente amplio cuando l ≫ 0 y está G-linealizado, exactamente como en la Sección 2.2.1 de [GHH19].    Los siguientes lemas describen cómo el invariante de Hilbert-Mumford se puede descomponer en una suma de invariantes.  Relación entre pesos acotados y combinatorios.  Tenga en cuenta que, mientras que el peso combinatorio depende de la elección del paquete de líneas linealizado, el peso acotado no. De manera similar a [GHH19], podemos demostrar que al peso acotado, como su nombre indica, se le puede dar un límite superior.   El siguiente resultado se basa en el Lema 2.3 de [GHH19], con algunas ligeras modificaciones para adaptarse a nuestra configuración.   Analicemos ahora cómo el peso limitado afecta la condición de estabilidad general. El siguiente lema es inmediato de [GHH19], pero recordamos aquí su demostración por conveniencia.     . Como hemos demostrado, el peso acotado se puede expresar como  Prueba  es sólo cuestión de elegir un valor de   lo suficientemente grande como para que el peso combinatorio supere al peso acotado. Esto nos permite tratar efectivamente el peso acotado como insignificante e ignorarlo en nuestros cálculos.  l    4.3.5. Tenga en cuenta aquí que tal Z no necesariamente estará soportado suavemente, ni todos los puntos del soporte de Z estarán necesariamente contenidos en una componente ∆.  Observación  Repitiendo este proceso en todo k ∈ {1, . . . , n} nos dará una descripción de L y podemos formar el paquete de líneas linealizado G M a partir de este paquete de líneas de la manera descrita al comienzo de esta sección. Para obtener más detalles sobre por qué esto produce un peso combinatorio positivo, consulte la prueba del siguiente lema. Tenga en cuenta que esta no es la única condición de estabilidad GIT para la cual Z es estable.     . Está claro que el peso combinatorio se puede escribir como una suma  Prueba  4.4 Locus semiestable y cociente GIT     . Esto se desprende de los Lemas 4.3.3 y 4.3.7. De hecho, según el Lema 4.3.3, si el peso combinatorio se puede escribir en la forma  Prueba    . Elijamos un paquete de líneas G-linealizado arbitrario M, no necesariamente construido como arriba, con respecto al cual Z tiene invariante de Hilbert-Mumford  Prueba    . Esto se desprende directamente de los Lemas 4.4.1 y 4.4.2. Prueba  Ahora podemos describir los cocientes GIT resultantes de estas construcciones. Dejar   Luego recordamos del Lema 3.1.13, el isomorfismo   Para todas las opciones de paquete de líneas linealizadas descritas anteriormente, el cociente GIT en la base se comporta de la siguiente manera     . Este resultado se deriva directamente del criterio relativo de Hilbert-Mumford de [GHH15].  Prueba  Este documento está   bajo licencia CC 4.0. disponible en arxiv

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