Расширения схем Гильберта: стабильность GIT

Таблица ссылок

• Аннотация и введение
• Предыстория тропической перспективы
• Расширенная конструкция
• Стабильность GIT
• Перспектива стека
• Канонический стек модулей
• Рекомендации

4. Стабильность GIT

В этом разделе мы приводим некоторые результаты, аналогичные результатам [GHH19], для описания различных условий устойчивости GIT на схеме X[n] относительно возможного выбора G-линеаризованных линейных расслоений, описанных в предыдущем разделе. В частности, мы показываем, что эти условия устойчивости не зависят от структуры схемы длины m нульмерных подсхем, а могут быть сведены к комбинаторным критериям на конфигурациях из n точек.

4.1 Критерий Гильберта-Мамфорда

В этом разделе мы напомним определение инвариантов Гильберта–Мамфорда и дадим численный критерий устойчивости и полустабильности в терминах этих инвариантов.

Пусть H — редуктивная группа, действующая на схеме S, собственной над алгебраически замкнутым полем k. Пусть L — H-линеаризованное обильное линейное расслоение. Тогда 1-параметрическая подгруппа группы H (обозначенная для удобства 1-PS) определяется как гомоморфизм

4.2 Действие 1-параметрической подгруппы

4.3. Ограниченные и комбинаторные веса

В этом разделе мы объясняем связь между тем, что [GHH19] называет ограниченными и комбинаторными весами инвариантов Гильберта-Мамфорда.

Сохраняя обозначения, насколько это возможно, в соответствии с [GHH19], пусть

— универсальное семейство с первой и второй проекциями p и q. Линейный пакет

относительно обилен, когда l ≫ 0, и G-линеаризован, точно так же, как в разделе 2.2.1 [GHH19].

Связь между ограниченными и комбинаторными весами. Следующие леммы описывают, как инвариант Гильберта-Мамфорда можно разложить в сумму инвариантов.

Обратите внимание, что, хотя комбинаторный вес зависит от выбора линеаризованного линейного расслоения, ограниченный вес этого не делает. Аналогично [GHH19] мы можем показать, что ограниченному весу, как следует из его названия, можно задать верхнюю границу.

Следующий результат основан на лемме 2.3 из [GHH19] с некоторыми небольшими изменениями, чтобы соответствовать нашим условиям.

Давайте теперь обсудим, как ограниченный вес влияет на общее условие устойчивости. Следующая лемма взята непосредственно из [GHH19], но для удобства мы напомним здесь их доказательство.

Доказательство . Как мы показали, ограниченный вес можно выразить как

это всего лишь вопрос выбора достаточно большого значения l , чтобы комбинаторный вес превзошел ограниченный вес. Это позволяет нам эффективно считать ограниченный вес пренебрежимо малым и игнорировать его в наших вычислениях.

Замечание 4.3.5. Заметим здесь, что такой Z не обязательно будет гладко носителем, и не каждая точка носителя Z не обязательно будет содержаться в ∆-компоненте.

Повторяя этот процесс по всем k ∈ {1, . . . , n} даст нам описание L, и мы сможем сформировать G-линеаризованное линейное расслоение M из этого линейного расслоения способом, описанным в начале этого раздела. Более подробно о том, почему это дает положительный комбинаторный вес, см. в доказательстве следующей леммы. Обратите внимание, что это не единственное условие устойчивости GIT, при котором Z стабилен.

Доказательство . Ясно, что комбинаторный вес можно записать в виде суммы

4.4 Полустабильный локус и коэффициент GIT

Доказательство . Это следует из лемм 4.3.3 и 4.3.7. Действительно, по лемме 4.3.3, если комбинаторный вес можно записать в виде

Доказательство . Выберем произвольное G-линеаризованное линейное расслоение M, не обязательно построенное, как указано выше, относительно которого Z имеет инвариант Гильберта-Мамфорда.

Доказательство . Это следует непосредственно из лемм 4.4.1 и 4.4.2.

Теперь мы можем описать факторы GIT, возникающие в результате этих конструкций. Позволять

Тогда вспомним из леммы 3.1.13 изоморфизм

Таким образом, для всех вариантов линеаризованного линейного расслоения, описанных выше, фактор GIT по базе ведет себя следующим образом:

Доказательство . Этот результат следует непосредственно из относительного критерия Гильберта-Мамфорда из [GHH15].