非分割トーリックバンドルのミラー定理: 概要と導入

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• 概要と序文
• 種数ゼロのグロモフ・ヴィッテン理論
• トーリックバンドル
• トーリック束のラグランジアン円錐
• 射影束の積に対するミラー定理
• トーリック束のミラー定理
• 付録A. 同変フーリエ変換と参考文献

抽象的な

我々は、（必ずしも分割されていない）ベクトルバンドルのファイバーごとの GIT 商として得られるトーリックバンドルの I 関数を構築する。これは、分割トーリックバンドルの Brown の I 関数 [5] と非分割射影バンドルの I 関数 [21] の一般化である。ミラー定理を証明するために、トーリックバンドルのギベンタルラグランジアン円錐上の点の特徴付けを確立し、射影バンドルのファイバー積のねじれグロモフ-ウィッテン理論のミラー定理を証明する。前者の結果は、分割トーリックバンドルの Brown の特徴付け [5] を非分割の場合に一般化するものである。

1. はじめに

滑らかな射影多様体 X の種数ゼロのグロモフ-ウィッテン理論は、シンプレクティック幾何学、代数幾何学、ミラー対称性において重要な役割を果たします。これはミラー定理 [13]、つまりギブンタルラグランジアン円錐 LX [14] 上の便利な点 (I 関数と呼ばれる) を見つけることによって研究できます。円錐 LX は、ギブンタル空間と呼ばれる無限次元シンプレクティックベクトル空間 HX のラグランジアン部分多様体であり、種数ゼロの重力グロモフ-ウィッテン不変量によって定義されます。X のミラー定理により、X の種数ゼロのグロモフ-ウィッテン不変量を計算し、量子コホモロジーを研究することができます。

これはブラウンの結果[5、定理2]の一般化であり、分割トーリックバンドルに対して同じ特徴付けを与える。他の多様体/スタックに対しても同様の特徴付け結果がある。[8、23、11]を参照。

この結果は、非分割射影バンドルに対するミラー定理の直接的な一般化である [21、定理 3.3]。証明の重要な要素は、量子リーマン-ロッホ定理 [9、系 4] と、多様体 X 上の凸ベクトルバンドルの正則切断の零軌跡のグロモフ-ウィッテン不変量が、X のねじれたグロモフ-ウィッテン不変量によって与えられるというよく知られた事実 [24] である。

本論文の計画は以下の通りである。第 2 節では、グロモフ・ウィッテン不変量の定義を振り返り、非同変/同変/ねじれギベンタル円錐と量子リーマン・ロッホの定理を紹介する。第 3 節では、分割/非分割トーリックバンドルの概念を紹介し、コホモロジーの構造と有効曲線類によって生成される半群をまとめる。これらは、以降の節で必要になる。第 4 節では、トーリックバンドルのラグランジアン円錐上の点に対する特性定理 (定理 4.2) を確立する。第 5 節では、B 上の射影バンドルのファイバー積のねじれグロモフ・ウィッテン理論に対するミラー定理を証明する。第 6 節では、本論文の主な結果 (定理 6.1)、つまり (おそらく非分割の) トーリックバンドルに対するミラー定理を証明する。付録 A では、ギブンタル円錐のフーリエ変換について簡単に説明し、I 関数がベクトル束の I 関数のフーリエ変換と一致することを確認します。

謝辞. 本論文の執筆中にご指導とご支援をいただいた入谷宏氏に深く感謝申し上げます。また、有益な議論をしていただいた李元斌氏と三田文彦氏にも感謝申し上げます。本研究はJSPS科研費22KJ1717の助成を受けています。