অ-বিভক্ত টরিক বান্ডেলের জন্য একটি মিরর উপপাদ্য: বিমূর্ত এবং ভূমিকা

লিঙ্কের টেবিল

• বিমূর্ত এবং ভূমিকা
• জেনাস-শূন্য Gromov-Witten তত্ত্ব
• টরিক বান্ডিল
• টরিক বান্ডিল এর Lagrangian শঙ্কু
• প্রজেক্টিভ বান্ডেলের একটি পণ্যের জন্য মিরর উপপাদ্য
• টরিক বান্ডেলের জন্য মিরর উপপাদ্য
• পরিশিষ্ট A. সমতুল্য ফুরিয়ার ট্রান্সফরমেশন এবং রেফারেন্স

বিমূর্ত

আমরা একটি (অগত্যা বিভক্ত নয়) ভেক্টর বান্ডেলের ফাইবারওয়াইজ জিআইটি ভাগফল হিসাবে প্রাপ্ত টরিক বান্ডেলগুলির জন্য একটি আই-ফাংশন তৈরি করি। এটি বিভক্ত টরিক বান্ডেলের জন্য ব্রাউনের আই-ফাংশনের একটি সাধারণীকরণ [৫] এবং অ-বিভক্ত প্রজেক্টিভ বান্ডেলের জন্য আই-ফাংশন [২১]। মিরর উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য, আমরা টরিক বান্ডেলের গিভেন্টাল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান শঙ্কুতে বিন্দুগুলির একটি বৈশিষ্ট্য স্থাপন করি এবং প্রজেক্টিভ বান্ডেলের একটি ফাইবার পণ্যের বাঁকানো গ্রোমভ-উইটেন তত্ত্বের জন্য একটি মিরর উপপাদ্য প্রমাণ করি। প্রাক্তন ফলাফল বিভক্ত টরিক বান্ডেলের জন্য ব্রাউনের বৈশিষ্ট্যকে সাধারণীকরণ করে [৫] অ-বিভক্ত ক্ষেত্রে।

1। পরিচিতি

একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ জাত X-এর জেনাস-জিরো গ্রোমোভ-উইটেন তত্ত্ব সিম্পলিটিক জ্যামিতি, বীজগণিতীয় জ্যামিতি এবং মিরর প্রতিসাম্যে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এটি একটি মিরর উপপাদ্য দ্বারা অধ্যয়ন করা যেতে পারে [13], অর্থাৎ, Givental Lagrangian cone LX [14]-এ একটি সুবিধাজনক বিন্দু (একটি আই-ফাংশন বলা হয়) খুঁজে বের করে। শঙ্কু LX হল একটি অসীম-মাত্রিক সিমপ্লেক্টিক ভেক্টর স্পেস HX এর একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ড, যাকে বলা হয় গিভেন্টাল স্পেস, এবং জিনাস-জিরো গ্র্যাভিটেশনাল গ্রোমভ-উইটেন ইনভেরিয়েন্ট দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। X-এর জন্য একটি মিরর থিওরেম আমাদেরকে X-এর জেনাস-জিরো গ্রোমভ-উইটেন ইনভেরিয়েন্টগুলি গণনা করতে এবং কোয়ান্টাম কোহোমোলজি অধ্যয়ন করতে সক্ষম করে।

এটি ব্রাউনের ফলাফলের একটি সাধারণীকরণ [5, উপপাদ্য 2], যা বিভক্ত টরিক বান্ডিলের জন্য একই বৈশিষ্ট্য দেয়। অন্যান্য জাত/স্ট্যাকের জন্যও একই ধরনের চরিত্রায়নের ফলাফল রয়েছে; দেখুন [8, 23, 11]।

এই ফলাফলটি অ-বিভক্ত প্রজেক্টিভ বান্ডেলগুলির জন্য মিরর উপপাদ্যের একটি সরল সাধারণীকরণ [২১, উপপাদ্য 3.3]। প্রমাণের মূল উপাদান হল কোয়ান্টাম রিম্যান-রচ থিওরেম [9, কোরোলারি 4] এবং সুপরিচিত সত্য [24] যে গ্রোমভ-উইটেন বিভিন্ন X এর উপর একটি উত্তল ভেক্টর বান্ডিলের একটি নিয়মিত অংশের শূন্য অবস্থানের অপরিবর্তনীয় X-এর পেঁচানো গ্রোমোভ-উইটেন ইনভেরিয়েন্ট দ্বারা দেওয়া হয়।

নিম্নরূপ কাগজ পরিকল্পনা। বিভাগ 2-এ, আমরা গ্রোমোভ উইটেন ইনভেরিয়েন্টের সংজ্ঞা স্মরণ করি এবং নন-ইকুইভেরিয়েন্ট/ইকুইভেরিয়েন্ট/টুইস্টেড গিভেন্টাল শঙ্কু এবং কোয়ান্টাম রিম্যান-রচ উপপাদ্য প্রবর্তন করি। বিভাগ 3-এ, আমরা বিভক্ত/নন-বিভক্ত টরিক বান্ডেলের ধারণাটি প্রবর্তন করি এবং কোহোমোলজির গঠন এবং কার্যকর বক্র শ্রেণীর দ্বারা উত্পন্ন সেমিগ্রুপগুলির সংক্ষিপ্ত বিবরণ দিই, যা পরবর্তী বিভাগে প্রয়োজন হবে। বিভাগ 4-এ, আমরা একটি টরিক বান্ডেলের ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান শঙ্কুতে বিন্দুগুলির জন্য একটি চরিত্রায়ন উপপাদ্য (তত্ত্ব 4.2) স্থাপন করি। অনুচ্ছেদ 5-এ, আমরা B এর উপর প্রজেক্টিভ বান্ডেলের একটি ফাইবার পণ্যের বাঁকানো গ্রোমোভ-উইটেন তত্ত্বের জন্য একটি মিরর উপপাদ্য প্রমাণ করি। ধারা 6-এ, আমরা এই কাগজের প্রধান ফলাফল (উপাদ্য 6.1) প্রমাণ করি, অর্থাৎ (এর জন্য একটি আয়না উপপাদ্য) সম্ভবত অ-বিভক্ত) টরিক বান্ডিল। পরিশিষ্ট A-তে, আমরা সংক্ষেপে গিভেন্টাল শঙ্কুর একটি ফুরিয়ার রূপান্তর ব্যাখ্যা করি এবং পরীক্ষা করি যে আমাদের আই-ফাংশন একটি ভেক্টর বান্ডেলের আই-ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তরের সাথে মিলে যায়।

স্বীকৃতি এই কাগজটি লেখার সময় তার নির্দেশিকা এবং উত্সাহী সমর্থনের জন্য লেখক হিরোশি ইরিতানির কাছে গভীরভাবে কৃতজ্ঞ। তিনি ইউয়ান-পিন লি এবং ফুমিহিকো সান্দাকে খুব সহায়ক আলোচনার জন্য ধন্যবাদ জানাতে চান। এই কাজটি JSPS KAKENHI অনুদান নম্বর 22KJ1717 দ্বারা সমর্থিত ছিল।