Зеркальная теорема для нерасщепимых торических расслоений: Аннотация и введение

Таблица ссылок

• Аннотация и введение
• Род-ноль Теория Громова-Виттена
• Торические связки
• Лагранжевы конусы торических расслоений
• Зеркальная теорема для произведения проективных расслоений
• Зеркальная теорема для торических расслоений
• Приложение A. Эквивариантное преобразование Фурье и ссылки

Абстрактный

Мы строим I-функцию для торических расслоений, получаемую как послойный фактор GIT векторного расслоения (не обязательно расщепляемого). Это обобщение I-функции Брауна для расщепляемых торических расслоений [5] и I-функции для нерасщепимых проективных расслоений [21]. Для доказательства зеркальной теоремы устанавливается характеризация точек на лагранжевых конусах Гивенталя торических расслоений и доказывается зеркальная теорема для скрученной теории Громова-Виттена расслоенного произведения проективных расслоений. Первый результат обобщает характеризацию Брауна для расщепленных торических расслоений [5] на случай нерасщепления.

1. Введение

Теория Громова-Виттена рода нуль гладкого проективного многообразия X играет важную роль в симплектической геометрии, алгебраической геометрии и зеркальной симметрии. Его можно изучить с помощью зеркальной теоремы [13], т. е. найдя удобную точку (называемую I-функцией) на лагранжевом конусе Гивенталя LX [14]. Конус LX представляет собой лагранжево подмногообразие бесконечномерного симплектического векторного пространства HX, называемого пространством Гивенталя, и определяется гравитационными инвариантами Громова-Виттена рода нуль. Зеркальная теорема для X позволяет нам вычислять инварианты Громова-Виттена X нулевого рода и изучать квантовые когомологии.

Это обобщение результата Брауна [5, теорема 2], которое дает ту же характеристику для расщепляемых торических расслоений. Имеются также аналогичные результаты характеристики для других сортов/стеков; см. [8, 23, 11].

Этот результат является прямым обобщением зеркальной теоремы для нерасщепляемых проективных расслоений [21, теорема 3.3]. Ключевым моментом доказательства является квантовая теорема Римана-Роха [9, следствие 4] и известный факт [24] о том, что инварианты Громова-Виттена нулевого локуса регулярного сечения выпуклого векторного расслоения над многообразием X задаются скрученными инвариантами Громова-Виттена X.

План статьи следующий. В разделе 2 мы напоминаем определение инвариантов Громова-Виттена и вводим неэквивариантные/эквивариантные/скрученные конусы Гивенталя и квантовую теорему Римана-Роха. В разделе 3 мы вводим понятие расщепленных/нерасщепляемых торических расслоений и суммируем структуру когомологий и полугрупп, порожденных эффективными классами кривых, которые понадобятся в последующих разделах. В разделе 4 мы устанавливаем теорему о характеризации (теорема 4.2) для точек на лагранжевом конусе торического расслоения. В разделе 5 мы доказываем зеркальную теорему для скрученной теории Громова-Виттена расслоенного произведения проективных расслоений над B. В разделе 6 мы доказываем основной результат (теорема 6.1) этой статьи, а именно зеркальную теорему для ( возможно, нерасщепляемые) торические расслоения. В Приложении А мы кратко объясняем преобразование Фурье конусов Гивенталя и проверяем, что наша I-функция совпадает с преобразованием Фурье I-функции векторного расслоения.

Благодарности . Автор глубоко благодарен Хироши Иритани за его руководство и активную поддержку во время написания этой статьи. Он также хотел бы поблагодарить Юань-Пин Ли и Фумихико Санда за очень полезные обсуждения. Эта работа была поддержана грантом JSPS KAKENHI № 22KJ1717.