गैर-विभाजित टॉरिक बंडलों के लिए दर्पण प्रमेय: सार और परिचय

लिंक की तालिका

• सार और परिचय
• जीनस-शून्य ग्रोमोव-विटन सिद्धांत
• टॉरिक बंडल
• टॉरिक बंडलों के लैग्रेंजियन शंकु
• प्रोजेक्टिव बंडलों के उत्पाद के लिए दर्पण प्रमेय
• टॉरिक बंडलों के लिए दर्पण प्रमेय
• परिशिष्ट A. इक्विवेरिएंट फ़ूरियर रूपांतरण और संदर्भ

अमूर्त

हम टॉरिक बंडलों के लिए एक I-फ़ंक्शन का निर्माण करते हैं जो एक (ज़रूरी नहीं कि विभाजित) वेक्टर बंडल के फ़ाइबरवाइज़ GIT भागफल के रूप में प्राप्त होता है। यह विभाजित टॉरिक बंडलों के लिए ब्राउन के I-फ़ंक्शन [5] और गैर-विभाजित प्रोजेक्टिव बंडलों के लिए I-फ़ंक्शन [21] का एक सामान्यीकरण है। दर्पण प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हम टॉरिक बंडलों के गिवेंटल लैग्रेंजियन शंकुओं पर बिंदुओं का एक लक्षण वर्णन स्थापित करते हैं और प्रोजेक्टिव बंडलों के फ़ाइबर उत्पाद के मुड़ ग्रोमोव-विटन सिद्धांत के लिए एक दर्पण प्रमेय सिद्ध करते हैं। पूर्व परिणाम विभाजित टॉरिक बंडलों [5] के लिए ब्राउन के लक्षण वर्णन को गैर-विभाजित मामले में सामान्यीकृत करता है।

1 परिचय

चिकनी प्रोजेक्टिव वैरायटी एक्स का जीनस-जीरो ग्रोमोव-विटन सिद्धांत सिम्पलेक्टिक ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति और दर्पण समरूपता में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसका अध्ययन एक दर्पण प्रमेय [13] द्वारा किया जा सकता है, अर्थात, गिवेंटल लैग्रेंजियन शंकु LX [14] पर एक सुविधाजनक बिंदु (जिसे I-फ़ंक्शन कहा जाता है) ढूंढकर। शंकु LX एक अनंत-आयामी सिम्पलेक्टिक वेक्टर स्पेस HX का एक लैग्रेंजियन सबमैनिफ़ोल्ड है, जिसे गिवेंटल स्पेस कहा जाता है, और इसे जीनस-जीरो गुरुत्वाकर्षण ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट द्वारा परिभाषित किया जाता है। एक्स के लिए एक दर्पण प्रमेय हमें एक्स के जीनस-जीरो ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट की गणना करने और क्वांटम कोहोमोलॉजी का अध्ययन करने में सक्षम बनाता है।

यह ब्राउन के परिणाम [5, प्रमेय 2] का सामान्यीकरण है, जो विभाजित टॉरिक बंडलों के लिए समान लक्षण वर्णन देता है। अन्य किस्मों/स्टैक के लिए भी समान लक्षण वर्णन परिणाम हैं; देखें [8, 23, 11]।

यह परिणाम गैर-विभाजित प्रक्षेपी बंडलों के लिए दर्पण प्रमेय का एक सीधा सामान्यीकरण है [21, प्रमेय 3.3]। प्रमाण का मुख्य घटक क्वांटम रीमैन-रोच प्रमेय [9, कोरोलरी 4] और प्रसिद्ध तथ्य [24] है कि एक किस्म एक्स पर एक उत्तल वेक्टर बंडल के एक नियमित खंड के शून्य स्थान के ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट एक्स के मुड़ ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट द्वारा दिए गए हैं।

पेपर की योजना इस प्रकार है। सेक्शन 2 में, हम ग्रोमोवविटन इनवेरिएंट की परिभाषा को याद करते हैं, और गैर-समतुल्य/समतुल्य/मुड़ गिवेंटल शंकु और क्वांटम रीमैन-रोच प्रमेय का परिचय देते हैं। सेक्शन 3 में, हम विभाजित/गैर-विभाजित टॉरिक बंडलों की अवधारणा का परिचय देते हैं, और सह-समरूपता की संरचना और प्रभावी वक्र वर्गों द्वारा उत्पन्न सेमीग्रुप्स का सारांश देते हैं, जिनकी बाद के अनुभागों में आवश्यकता होगी। सेक्शन 4 में, हम टॉरिक बंडल के लैग्रेंजियन शंकु पर बिंदुओं के लिए एक अभिलक्षणिक प्रमेय (प्रमेय 4.2) स्थापित करते हैं। सेक्शन 5 में, हम B पर प्रोजेक्टिव बंडलों के फाइबर उत्पाद के मुड़े हुए ग्रोमोव-विटन सिद्धांत के लिए एक दर्पण प्रमेय साबित करते हैं। सेक्शन 6 में, हम इस पेपर के मुख्य परिणाम (प्रमेय 6.1) को साबित करते हैं, जो कि (संभवतः गैर-विभाजित) टॉरिक बंडलों के लिए एक दर्पण प्रमेय है। परिशिष्ट A में, हम संक्षेप में गिवेनटल शंकुओं के फूरियर रूपांतरण की व्याख्या करते हैं, तथा जाँच करते हैं कि हमारा I-फ़ंक्शन, सदिश बंडल के I-फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण के साथ मेल खाता है।

आभार । लेखक इस शोध-पत्र के लेखन के दौरान उनके मार्गदर्शन और उत्साही समर्थन के लिए हिरोशी इरिटानी के प्रति बहुत आभारी हैं। वह बहुत उपयोगी चर्चाओं के लिए युआन-पिन ली और फूमिहिको सांडा को भी धन्यवाद देना चाहेंगे। इस कार्य को JSPS KAKENHI अनुदान संख्या 22KJ1717 द्वारा समर्थित किया गया था।