Un teorema del espejo para haces tóricos no divididos: resumen e introducción

Tabla de enlaces

• Resumen e introducción
• Teoría del género cero Gromov-Witten
• Paquetes tóricos
• Conos lagrangianos de haces tóricos
• Teorema del espejo para un producto de haces proyectivos
• Teorema del espejo para haces tóricos
• Apéndice A. Transformación de Fourier equivalente y referencias

Abstracto

Construimos una función I para haces tóricos obtenidos como un cociente GIT de fibra de un haz de vectores (no necesariamente dividido). Ésta es una generalización de la función I de Brown para haces tóricos divididos [5] y de la función I para haces proyectivos no divididos [21]. Para demostrar el teorema del espejo, establecemos una caracterización de puntos en los conos lagrangianos de Givental de haces tóricos y demostramos un teorema del espejo para la teoría retorcida de Gromov-Witten de un producto fibroso de haces proyectivos. El primer resultado generaliza la caracterización de Brown para haces tóricos divididos [5] al caso no dividido.

1. Introducción

La teoría de género cero de Gromov-Witten de una variedad proyectiva suave X juega un papel importante en la geometría simpléctica, la geometría algebraica y la simetría especular. Puede estudiarse mediante un teorema del espejo [13], es decir, encontrando un punto conveniente (llamado función I) en el cono de Lagrangiano de Givental LX [14]. El cono LX es una subvariedad lagrangiana de un espacio vectorial simpléctico de dimensión infinita HX, llamado espacio de Givental, y está definido por invariantes gravitacionales de Gromov-Witten de género cero. Un teorema del espejo para X nos permite calcular invariantes de Gromov-Witten de género cero de X y estudiar la cohomología cuántica.

Esta es una generalización del resultado de Brown [5, Teorema 2], que da la misma caracterización para haces tóricos divididos. También hay resultados de caracterización similares para otras variedades/pilas; ver [8, 23, 11].

Este resultado es una generalización sencilla del teorema del espejo para haces proyectivos no divididos [21, Teorema 3.3]. El ingrediente clave de la prueba es el teorema cuántico de Riemann-Roch [9, Corolario 4] y el hecho bien conocido [24] de que las invariantes de Gromov-Witten del lugar cero de una sección regular de un fibrado vectorial convexo sobre una variedad X están dados por invariantes retorcidos de Gromov-Witten de X.

El plan del artículo es el siguiente. En la Sección 2, recordamos la definición de invariantes de Gromov-Witten e introducimos los conos de Givental no equivariantes/equivariantes/retorcidos y el teorema cuántico de Riemann-Roch. En la Sección 3, introducimos la noción de paquetes tóricos divididos/no divididos y resumimos la estructura de la cohomología y los semigrupos generados por clases de curvas efectivas, que serán necesarios en las secciones siguientes. En la Sección 4, establecemos un teorema de caracterización (Teorema 4.2) para puntos en el cono lagrangiano de un fibrado tórico. En la Sección 5, demostramos un teorema especular para la teoría retorcida de Gromov-Witten de un producto de fibra de haces proyectivos sobre B. En la Sección 6, demostramos el resultado principal (Teorema 6.1) de este artículo, es decir, un teorema especular para ( posiblemente no divididos) haces tóricos. En el Apéndice A, explicamos brevemente una transformada de Fourier de los conos de Givental y comprobamos que nuestra función I coincide con la transformada de Fourier de la función I de un paquete de vectores.

Agradecimientos . El autor está profundamente agradecido a Hiroshi Iritani por su orientación y apoyo entusiasta durante la redacción de este artículo. También quisiera agradecer a Yuan-Pin Lee y Fumihiko Sanda por las discusiones tan útiles. Este trabajo fue apoyado por la subvención número 22KJ1717 de JSPS KAKENHI.