Ein Spiegelsatz für nicht-geteilte torische Bündel: Zusammenfassung und Einführung

Linktabelle

• Zusammenfassung und Einleitung
• Gattung-Null-Gromov-Witten-Theorie
• Torische Bündel
• Lagrangesche Kegel torischer Bündel
• Spiegelsatz für ein Produkt projektiver Bündel
• Spiegelsatz für torische Bündel
• Anhang A. Äquivariante Fouriertransformation und Referenzen

Abstrakt

Wir konstruieren eine I-Funktion für torische Bündel, die als faserweiser GIT-Quotient eines (nicht notwendigerweise gespaltenen) Vektorbündels erhalten wird. Dies ist eine Verallgemeinerung von Browns I-Funktion für gespaltene torische Bündel [5] und der I-Funktion für nicht gespaltene projektive Bündel [21]. Um den Spiegelsatz zu beweisen, stellen wir eine Charakterisierung von Punkten auf den Givental-Lagrange-Kegeln torischer Bündel auf und beweisen einen Spiegelsatz für die verdrehte Gromov-Witten-Theorie eines Faserprodukts projektiver Bündel. Das erstgenannte Ergebnis verallgemeinert Browns Charakterisierung für gespaltene torische Bündel [5] auf den nicht gespaltenen Fall.

1. Einleitung

Die Gromov-Witten-Theorie vom Geschlecht Null einer glatten projektiven Varietät X spielt eine bedeutende Rolle in der symplektischen Geometrie, der algebraischen Geometrie und der Spiegelsymmetrie. Sie kann mit einem Spiegelsatz [13] untersucht werden, d. h. indem man einen geeigneten Punkt (eine sogenannte I-Funktion) auf dem Givental-Lagrangeschen Kegel LX [14] findet. Der Kegel LX ist eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit eines unendlichdimensionalen symplektischen Vektorraums HX, der Givental-Raum genannt wird, und ist durch Gravitations-Gromov-Witten-Invarianten vom Geschlecht Null definiert. Ein Spiegelsatz für X ermöglicht es uns, Gromov-Witten-Invarianten vom Geschlecht Null von X zu berechnen und die Quantenkohomologie zu untersuchen.

Dies ist eine Verallgemeinerung des Brownschen Ergebnisses [5, Theorem 2], das die gleiche Charakterisierung für gespaltene torische Bündel ergibt. Es gibt auch ähnliche Charakterisierungsergebnisse für andere Varietäten/Stapel; siehe [8, 23, 11].

Dieses Ergebnis ist eine einfache Verallgemeinerung des Spiegelsatzes für nicht zerlegte projektive Bündel [21, Satz 3.3]. Der Schlüssel zum Beweis ist der Quantensatz von Riemann und Roch [9, Korollar 4] und die bekannte Tatsache [24], dass Gromov-Witten-Invarianten der Nullstelle eines regulären Abschnitts eines konvexen Vektorbündels über einer Varietät X durch verdrillte Gromov-Witten-Invarianten von X gegeben sind.

Der Aufbau des Papiers ist wie folgt. In Abschnitt 2 erinnern wir an die Definition der Gromov-Witten-Invarianten und führen die nicht-äquivarianten/äquivarianten/verdrehten Givental-Kegel und den Quantensatz von Riemann-Roch ein. In Abschnitt 3 führen wir den Begriff der gespaltenen/nicht-gespaltenen torischen Bündel ein und fassen die Struktur der Kohomologie und der von effektiven Kurvenklassen erzeugten Halbgruppen zusammen, die in den folgenden Abschnitten benötigt werden. In Abschnitt 4 stellen wir einen Charakterisierungssatz (Satz 4.2) für Punkte auf dem Lagrange-Kegel eines torischen Bündels auf. In Abschnitt 5 beweisen wir einen Spiegelsatz für die verdrehte Gromov-Witten-Theorie eines Faserprodukts projektiver Bündel über B. In Abschnitt 6 beweisen wir das Hauptergebnis (Satz 6.1) dieses Papiers, d. h. einen Spiegelsatz für (möglicherweise nicht-gespaltene) torische Bündel. In Anhang A erklären wir kurz eine Fourier-Transformation von Givental-Kegeln und überprüfen, ob unsere I-Funktion mit der Fourier-Transformation der I-Funktion eines Vektorbündels übereinstimmt.

Danksagungen . Der Autor ist Hiroshi Iritani zutiefst dankbar für seine Anleitung und enthusiastische Unterstützung beim Schreiben dieses Artikels. Er möchte auch Yuan-Pin Lee und Fumihiko Sanda für sehr hilfreiche Diskussionen danken. Diese Arbeit wurde durch JSPS KAKENHI Grant Nummer 22KJ1717 unterstützt.